Universit´e Toulouse 2 le Mirail Ann´ee universitaire 2006/2007 L2 MASS. Analyse S4
TD 9. S´
eries de Fourier.
Exercice 1 Rappels. Soit f une fonction de R → R.
1. Montrer que si f est impaire, alors pour tout a ∈ R, on a Z a
−a
f (t) dt = 0.
2. Montrer que si f est une fonction paire, alors pour tout a ∈ R, on a Z a −a f (t) dt = 2 Z a 0 f (t) dt.
3. Montrer que si f est T -p´eriodique, pour tout a ∈ R, on a Z a+T a f (t) dt = Z T 0 f (t) dt. ******************** Exercice 2 Soit f la fonction 2π-p´eriodique, telle que
f (x) =
x si x ∈ [0, π] −x si x ∈] − π, 0[ 1. Repr´esenter f .
2. D´eterminer le d´eveloppement en s´erie de Fourier S de f . 3. En d´eduire X n>0 1 (2n + 1)2 puis X n>1 1 n2. ******************** Exercice 3 Soit f : R −→ R x 7−→ | sin(x)| D´eterminer le d´eveloppement en s´erie de Fourier de f .
