Spécialité 1ère – Chapitre 8 Page 3
II – Paramètres d’une variables aléatoire
On considère une expérience aléatoire définie sur un univers Ω et une probabilité P associée à cette expérience.
On considère une variable aléatoire associée à cette expérience et prenant valeurs , , … de probabilités respectives , , … , .
…
= …
Définition 3 :
L’espérance mathématique de , notée , est le nombre défini par :
= + + . . . + =
La variance de , notée , est le nombre défini par :
= − ² + − ²+ . . . + − ² = − ²
La variance peut aussi se calculer de la façon suivante :
= ² + ²+ . . . + ² − =
−
L’écart-type de , noté , est défini par : ! = "
Remarque 3 :
La notation avec le symbole ∑ ne doit pas vous perturber, c’est la notation mathématique que l’on utilise pour les sommes afin d’éviter les pointillés.
Exemple 5 :Reprenons le jeu des exemples 1, 2 et 3 : = −10 ×3
6 + 3 ×1
6 + 9 ×1
6 + 15 ×1
6 = −30 + 3 + 9 + 15
6 =−3
6 = −+
, = −-, . = −10 − −0,5×3
6 + 3 −−0,5×1
6 + 9 −−0,5×1
6 + 15 −−0,5×1 6
=/-0
/ = +-,, ,.
Spécialité 1ère – Chapitre 8 Page 4
Autre calcul possible de la variance : = −10×3
6 + 3×1
6 + 9×1
6 + 15×1
6 − 1−1 23
=/-0
/ = +-,, ,.
On déduit de la variance que :
! = " = 4/-0
/ = √/-0
, ≈ +-, ++
Exemple 6 :Reprenons l’exemple 4 : = 1 ×3
6 + 2 ×2
6 + 3 ×1
6 =3 + 4 + 3 6 =10
6 =. 8 = 11 −5
33
×3
6 + 12 −5 33
×2
6 + 13 −5 33
×1 6 =.
0 ≈ -, .9
Autre calcul possible de la variance : = 1×3
6 + 2×2
6 + 3×1 6 − 15
33
=.
0 ≈ -, .9 On déduit de la variance que :
! = " = 4.
0= √.8 ≈ -, :.
Remarque 4 :
L’espérance mathématique d’une variable aléatoire peut être interprétée comme la moyenne des valeurs prises par lors d’un grand nombre de répétitions de la même expérience aléatoire.
Dans l’exemple 5, l’espérance mathématique vaut −0,5 ce qui signifie qu’en jouant un grand nombre de fois à ce jeu, la moyenne de gain est de −0,50 € par partie jouée : on a donc une perte moyenne de 50 centimes par partie jouée.
Si l’on remplace −10 par −9 dans les gains possibles du jeu, l’espérance mathématique serait égale à 0 (vérifiez-le), on dit dans ce cas que le jeu est équitable.
Généralement, l’espérance mathématique d’un jeu d’argent est négative et ce n’est pas surprenant !
Remarque 5 :
La variance et l’écart-type sont des paramètres de dispersion utilisés en statistiques (avec les mêmes notations). Plus ils sont grands, plus les valeurs de la variable aléatoire sont
dispersées autour de la moyenne (l’espérance).
L’écart-type est, en quelque sorte, une moyenne des écarts à la moyenne.
