Couples de variables aléatoires réelles

Couples de variables aléatoires réelles

Table des matières

1 Définition d’un couple de variables aléatoires. 2

2 Loi d’un couple de variables aléatoires réelles. 2

3 Indépendance de deux variables aléatoires. 2

4 Caractérisations de l’indépendance de deux variables aléatoires. 2

5 Espérance conditionnelle dans le cas de l’indépendance. 2

6 Définition d’un vecteur aléatoire discret à valeurs dansR². 3

7 Loi de probabilité ou loi conjointe de (X,Y). 3

8 Lois marginales. 3

9 Lois conditionnelles. 4

9.1 Loi conditionnelle deX sachant[Y =y_j]. . . 4 9.2 Loi conditionnelle deY sachant[X=x_i]. . . 4 9.3 Tableau de synthèse. . . 4

10 Indépendance de deux variables aléatoires discrètes. 4

11 Loi d’une fonction d’un couple de variables aléatoires discrètes. 5 11.1 Loi de X+Y , X et Y étant deux variables aléatoires discrètes indépendantes . . . 5 11.2 Stabilité pour la somme des lois binomiale et de Poisson . . . 5 12 Espérance d’une fonction d’un couple de variables aléatoires discrètes. 5

13 Covariance et coefficient de corrélation. 6

13.1 Covariance d’un couple variables aléatoires réelles discrètes. . . 6 13.2 Variance d’une somme de deux variables aléatoires réelles discrètes. . . 7 13.3 Coefficient de corrélation linéaire . . . 7

14 Linéarité, positivité et croissance de l’espérance. 8

15 Densité de la somme Z = X +Y de deux variables aléatoires à densité indépendantes, produit de

convolution. 8

16 Stabilité de la loiγpour la somme. 8

17 Stabilité de la loi normale pour la somme. 8

18 Espérance d’un produit de variables aléatoires à densité indépendantes. 9 19 Variance de la somme de deux variables aléatoires à densité indépendantes. 9

Généralités sur les couples de variables aléatoires

1 Définition d’un couple de variables aléatoires.

Definition 1 Soient X et Y deux variables aléatoires réelles définies sur le même espace probabilisable(Ω,A). L’appli- cation(X,Y):

Ω−→R²

ω7−→(X(ω),Y(ω)) est un couple de variables aléatoires .

2 Loi d’un couple de variables aléatoires réelles.

Definition 2 La loi d’un couple(X,Y)de variables aléatoires réelles est donnée par la fonction F_(X,Y)définie surR²par : F_(X,Y)(x,y) =P([X¶x]∩[Y ¶y]).

Théorème 3 Si deux couples(X₁,Y₁)et(X₂,Y₂)ont même loi et si g est une fonction continue surR²à valeurs dansR, alors les variables aléatoires g(X₁,Y₁)et g(X₂,Y₂)ont la même loi.

3 Indépendance de deux variables aléatoires.

Definition 4 Deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si et seulement si pour tous réels x et y : P([X¶x]∩[Y ¶y]) =P([X ¶x])P([Y ¶y]).

4 Caractérisations de l’indépendance de deux variables aléatoires.

• Deux variables aléatoiresX etY sont indépendantes si et seulement si

P([X ∈I]∩[Y ∈J]) =P([X ∈I])P([Y ∈J]) pour tous intervallesI etJ deR.

• XetY sont deux variables aléatoires indépendantes si et seulement si tout événementAdeAXest indépendant de tout événementBdeAY.

5 Espérance conditionnelle dans le cas de l’indépendance.

SoitX une variable aléatoire discrète. SiY est indépendante deX et siA∈ AY est de probabilité non nulle, alors E(X) =E(X|A).

Couples de variables aléatoires discrètes

6 Définition d’un vecteur aléatoire discret à valeurs dans R

.

Definition 5 Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes définies sur le même espace probabilisable(Ω,A). L’application(X,Y):

Ω−→R²

ω7−→(X(ω),Y(ω)) est un vecteur aléatoire discret à valeurs dansR²ou couple de variables aléatoires discrètes.

Remarque 1La tribuA(X,Y)associée au couple de variables aléatoires discrètes(X,Y)est la tribu engendrée par la famille d’événements([X=x]∩[Y =y])(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω)

Les tribusAXetAY associées respectivement aux variables aléatoiresX etY sont incluses dans la tribuA₍X,Y). En effet :∀x∈X(Ω), [X =x] = [

y∈Y(Ω)

[X =x]∩[Y= y]

∈ A(X,Y).

A(X,Y)est une tribu contenant tous les événements[X =x],x∈X(Ω)doncAX⊂ A(X,Y). Remarque 2 (X,Y)(Ω)⊂X(Ω)×Y(Ω). Lorsque(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω)\(X,Y)(Ω), P

X =x]∩[Y= y=0.

Exemple : On lancendés équilibrés. On noteX la variable aléatoire réelle donnant le nombre de 6 obtenus etY la variable aléatoire réelle donnant le nombre de 1 obtenus.

X(Ω) = [[0,n]] ,Y(Ω) = [[0,n]],X(Ω)×Y(Ω) = [[0,n]]²et(X,Y)(Ω) =¦

(i,j)∈[[0,n]]²/i+j¶n© .

7 Loi de probabilité ou loi conjointe de (X,Y).

Definition 6 On appelle loi de probabilité (ou loi conjointe ) d’un couple de variables aléatoires réelles discrètes(X,Y), l’application

X(Ω)×Y(Ω)−→[0, 1]

(x,y)7−→P [X=x]∩[Y =y] RemarqueAutre notation : SiX(Ω) =

x_i∈R/i∈I oùI ⊂NetY(Ω) =¦

y_j∈R/j∈J©

oùJ⊂N pour tout i,j

∈I×J, on noterap_{i j}=P€ X =x_i

∩”

Y =y_j—Š

.

Propriété X

(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω)

P [X=x]∩[Y =y]=1. ou en changeant de notation X

(i,j)∈I×J

p_{i j}=1.

8 Lois marginales.

Definition 7 Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires discrètes définies sur(Ω,A,P) Les lois de chacune des variables X et Y sont appelées lois marginales de X et Y

Propriété

∀x∈X(Ω), P([X =x]) = X

y∈Y(Ω)

P [X=x]∩[Y =y] .

∀y∈Y(Ω), P [Y= y]= X

x∈X(Ω)

P [X =x]∩[Y= y] .

Autres notations

∀i∈I, P [X =x_i]=X

j∈J

P€ X =x_i

∩”

Y= y_j—Š

=X

j∈J

p_{i j}

∀j∈J, P€

[Y =y_j— ) =X

i∈I

P€ X=x_i

∩”

Y= y_j—Š

=X

i∈I

p_{i j}

9 Lois conditionnelles.

9.1 Loi conditionnelle de X sachant [ Y = y

] .

Soit jun entier quelconque deJ tel queP€

[Y =y_j]Š 6=0.

∀i∈I, P_[Y=yj] [X =x_i]= P€ X=x_i

∩”

Y= y_j—Š

P€

[Y =y_j]Š Ces probabilités définissent la loi conditionnelle deX sachant[Y= y_j].

9.2 Loi conditionnelle de Y sachant [ X = x

].

Soitiun entier quelconque deI tel queP [X =x_i]6=0.

∀j∈J, P_[X=xi]€

[Y= y_j]Š

= P€ X =x_i

∩”

Y =y_j—Š

P [X=x_i] Ces probabilités définissent la loi conditionnelle deY sachant[X=x_i].

9.3 Tableau de synthèse.

LorsqueX etY sont des variables discrètes d’univers images respectifsX(Ω) =

x₁,x₂,· · ·,x_n et Y(Ω) =

y₁,y₂,· · ·,y_m , on peut représenter leur loi conjointe dans un tableau à double entrée.

x_i

y_j y₁ · · · y_j · · · y_m P X=x_i x_i p_{1 1} · · · p_1j · · · p_1m P X=x₁

... ... ... ... ... ...

x_i p_i1 · · · p_{i j} · · · p_{i m} P X=x_i

... ... ... ... ... ...

x_n p_n1 · · · p_{n j} · · · p_{n m} P X=x_n P€

Y= y_jŠ

P Y= y₁

· · · P€

Y= y_jŠ

· · · P Y= y_m

1

10 Indépendance de deux variables aléatoires discrètes.

SoientX etY deux variables aléatoires discrètes définies sur(Ω,A,P)dont la loi conjointe est définie par X(Ω) =x_i∈R/i∈I etY(Ω) =¦

y_j∈R/j∈J©

∀ i,j

∈I×J, P€ X=x_i

∩”

Y= y_j—Š

=p_{i j}

Théorème 8 Deux variables aléatoires X et Y discrètes sont indépendantes si et seulement si :

∀(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω) , P([X=x]∩[Y =y]) =P([X =x])P([Y= y]). RemarqueEn changeant les notations :

Deux variables aléatoiresX etY discrètes sont indépendantes si et seulement si :

∀ i,j

∈I×J, P€ X =x_i

∩”

Y =y_j—Š

=P [X=x_i]

×P€

[Y =y_j]Š Propriété

Soit(X,Y)un couple de variables aléatoires discrètes indépendantes.

Soithune application deX(Ω)dansR. Soitgune application deY(Ω)dansR. Alorsh(X)etg(Y)sont deux variables aléatoires dicrètes indépendantes.

11 Loi d’une fonction d’un couple de variables aléatoires discrètes.

SoientX etY deux variables aléatoires discrètes définies sur l’espace(Ω,A,P)etgune fonction deR²dansRdéfinie sur(X,Y) (Ω). Alors :Z:ω7→g(X(ω),Y(ω))est une variable aléatoire discrète. avecZ(Ω) =

g(x,y), (x,y)∈(X,Y) (Ω) . Cette variable est notée abusivementg(X,Y).

La loi deZ=g(X,Y)est définie par

∀z∈Z(Ω), P([Z=z]) = X (^x,y)^{∈(X,Y)(Ω)}

tels queg(^x,y)^=z

P [X =x]∩Y= y

Remarque :∀z∈Z(Ω), [Z=z] = S (^x,y)^{∈(X,Y)(Ω)}

tels queg(^x,y)^=z

[X =x]∩

Y= y

. Donc∀z∈Z(Ω), [Z=z]∈ A₍X,Y)et

par suiteAZ⊂ A₍X,Y).

Exemple: SiZ=X+Y alorsZ(Ω) =

x+y, (x,y)∈(X,Y) (Ω) et

∀z∈Z(Ω), P([Z=z]) = X (^x,y)^{∈(X,Y)(Ω)}

tels quex+y=z

P [X=x]∩

Y =y

11.1 Loi de X+Y , X et Y étant deux variables aléatoires discrètes indépendantes

Théorème 9 (Formule du produit de convolution)Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes indépen- dantes. Soit Z =X+Y , alors Z est une variable aléatoire discrète telle que Z(Ω) =

x+y, (x,y)∈X(Ω)×Y(Ω) et

∀z∈Z(Ω), P([Z=z]) = X

x∈X(Ω) z−x∈Y(Ω)

P([X =x])P([Y=z−x])

11.2 Stabilité pour la somme des lois binomiale et de Poisson

Théorème 10 Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes distribuées respectivement selon les lois binomiales B n₁,p

etB n₂,p

, leur somme X+Y est alors distribuée selon la loi binomialeB n₁+n₂,p .

Théorème 11 Si X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes distribuées selon les lois de Poisson respectives P(λ)etP µ

, leur somme X+Y est alors distribuée selon la loi de PoissonP λ+µ .

12 Espérance d’une fonction d’un couple de variables aléatoires discrètes.

Théorème 12 (Théorème de transfert)Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes définies sur l’espace(Ω,A,P) et g une fonction deR²dansRdéfinie sur(X,Y) (Ω). Si la série double de terme général g(x,y)P [X =x]∩

Y= y converge absolument, alors la variable aléatoire discrète Z=g(X,Y)admet une espérance et cette espérance vaut :

E(Z) = X (^x,y)^{∈(X,Y)(Ω)}

g(x,y)P [X =x]∩

Y= y= X

(^x,y)^{∈(X,Y)(Ω)}

g(x,y)P (X,Y) = (x,y)

Remarque : Dans le cas oùgest définie surX(Ω)×Y(Ω), on peut aussi écrire en cas d’absolue convergence de la série double

E(Z) = X (^x,y)^{∈X(Ω)×Y(Ω)}

g(x,y)P [X =x]∩Y= y= X (^x,y)^{∈X(Ω)×Y(Ω)}

g(x,y)P (X,Y) = (x,y)

Car lorsque(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω)\(X,Y)(Ω), P X =x]∩[Y = y=0.

Corollaire 13 ( linéarité de l’espérance)Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes définies sur le même espace probabilisé(Ω,A,P)et admettant chacune une espérance. Soient a et b deux réels quelconques, alors aX+bY est une variable aléatoire discrète admettant une espérance vérifiant

E(aX +bY) =aE(X) +bE(Y).

En particulier,∀(a,b)∈R, E(aX+b) =aE(X) +b (lorsque X admet une espérance).

Corollaire 14 Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes définies sur l’espace (Ω,A,P). Si la série double de terme général x y P [X=x]∩

Y =y

converge absolument, alors la variable aléatoire discrète Z =X Y admet une espérance et cette espérance vaut :

E(Z) = X (^x,y)^{∈X(Ω)×Y(Ω)}

x y P [X=x]∩

Y =y .

Corollaire 15 Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes définies sur l’espace(Ω,A,P). On suppose que X et Y possèdent chacune un moment d’ordre deux. Alors la variable aléatoire discrète X Y admet une espérance.

Corollaire 16 Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes définies sur l’espace(Ω,A,P). On suppose que X et Y sontindépendanteset admettent chacune une espérance. Alors la variable aléatoire discrète X Y admet une espérance et

E(X Y) =E(X)E(Y).

13 Covariance et coefficient de corrélation.

13.1 Covariance d’un couple variables aléatoires réelles discrètes.

Definition 17 Soient X et Y deux variables aléatoires discrètes définies sur l’espace(Ω,A,P)et possédant un moment d’ordre deux. Alors la variable aléatoire(X−E(X)) (Y−E(Y))possède une espérance. La covariance du couple(X,Y) est notée C ov(X,Y) et définie par :

C ov(X,Y) =E (X−E(X)) (Y−E(Y)) Conséquence :Formule de Huygens

C ov(X,Y) =E(X Y)−E(X)E(Y) Propriétés de la covariance

SoientX,Y, etZtrois variables aléatoires réelles discrètes admettant chacune un moment d’ordre deux. Alors

•C ov(X,Y) =C ov(Y,X)

•C ov(X,X) =V(X)

• ∀(a,b)∈R², C ov(aX+bY,Z) =aC ov(X,Z) +bC ov(Y,Z)

• ∀(a,b)∈R², C ov(X,aY+bZ) =aC ov(X,Y) +bC ov(X,Z)

• ∀(a,b,c,d)∈R⁴, C ov(a X+b,c Y+d) =a c C ov(X,Y)

•Plus généralement, siX₁, . . . ,X_m,Y₁, . . . ,Y_psont des variables aléatoires réelles discrètes admettant un moment d’ordre deux et sia₁, . . . ,a_m,b₁, . . . ,b_psont des réels on a :

C ov





m

X

i=1

a_iX_i,

p

X

j=1

b_jY_j



= X

(i,j)∈[[1,m]]×[[1,p]]

a_ib_j C ov(X_i,Y_j).

Definition 18 Soient X et Y deux variables aléatoire discrètes admettant un moment d’ordre deux. On dit que X et Y ne sont pas corrélées si C ov(X,Y) =0.

Propriété SiX etY sont deux variables aléatoires discrètesindépendantes admettant un moment d’ordre deux, elles ne sont pas corrélées (réciproque fausse).

13.2 Variance d’une somme de deux variables aléatoires réelles discrètes.

Théorème 19 Soient X et Y deux variables aléatoires réelles discrètes possédant un moment d’ordre deux. Alors pour tout couple de réels(a,b), on a :

V(aX+bY) =a²V(X) +b²V(Y) +2a bC ov(X,Y).

En particulier : V(X+Y) =V(X) +V(Y) +2C ov(X,Y) et V(X−Y) =V(X) +V(Y)−2C ov(X,Y).

Remarque Si X et Y sont deux variables aléatoires réelles discrètes possédant un moment d’ordre deux alors C ov(X,Y) = 1

2(V(X+Y)−V(X)−V(Y)).

PropriétéSiX etY possèdent chacune un moment d’ordre deux et ne sont pas corrélées alors : V(X+Y) =V(X) +V(Y).

En particulier siX etY possèdent chacune un moment d’ordre deux et sont indépendantes alors : V(X+Y) =V(X) +V(Y).

13.3 Coefficient de corrélation linéaire

Definition 20 Soient X, Y deux variables aléatoires réelles discrètes possédant chacune une variance non nulle. On définit alors leur coefficient de corrélation linéaireρ(X,Y)par :

ρ(X,Y) =C ov(X,Y) σ(X)σ(Y) Propriété

ρ(X,Y) ¶1 et

ρ(X,Y)

=1 si et seulement siY est une fonction quasi-affine deX c’est-à-dire∃(a,b)∈R^?×R, P(Y=a X+b) =1

Remarqueρ(X,Y)mesure le degré de dépendance affine entreX etY.

Le signe deρ(X,Y)indique siX etY varient dans le même sens (s’il est positif) ou en sens contraire s’il est négatif.

Couples de variables aléatoires à densité

14 Linéarité, positivité et croissance de l’espérance.

(1) Linéarité de l’espérance

SoitX etY deux variables aléatoires réelles à densité définies sur le même espace probabilisé(Ω,A,P) admettant chacune une espérance. Alors, pour tout couple(λ,µ)de réels, la variable aléatoireλX+µY admet une espérance et on a :

E(λX+µY) =λE(X) +µE(Y) (2) Positivité de l’espérance

SiX est une variable aléatoire à densité admettant une espérance et telle queX(Ω)⊂R⁺ alorsE(X)¾0.

(3) Croissance de l’espérance

SoitX etY deux variables aléatoires réelles à densité définies sur le même espace probabilisé(Ω,A,P) admettant chacune une espérance et vérifiantX¶Y presque sûrement alors

E(X)¶ E(Y)

15 Densité de la somme Z = X + Y de deux variables aléatoires à densité indépendantes, produit de convolution.

Théorème 21 Soit X et Y deux variables aléatoires à densité indépendantes admettant respectivement f_X et f_Y pour densité. Si la fonction h définie par la relation :

h(x) = Z+∞

−∞

f_X(t)f_Y(x−t)dt= Z+∞

−∞

f_X(x−t)f_Y(t)dt

est définie et continue sauf peut-être en un nombre fini de points, c’est une densité de X+Y . C’est le cas si f_X (ou f_Y) est bornée.

Le programme nous dit qu’en cas d’utilisation du produit de convolution, la preuve de sa légitimité n’est pas exigible.

16 Stabilité de la loi γ pour la somme.

Théorème 22 Si X₁et X₂sont deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement des loisγ(ν1) etγ(ν2), alors X₁+X₂,→γ(ν1+ν2).

17 Stabilité de la loi normale pour la somme.

Théorème 23 Soit X et Y deux variables aléatoires réelles indépendantes.

On suppose que X,→ N(m₁,σ₁²)et que Y,→ N(m₂,σ²₂). Alors : X+Y,→ N(m₁+m₂,σ²₁+σ₂²)

18 Espérance d’un produit de variables aléatoires à densité indépendantes.

Théorème 24 Si X et Y sont deux variables aléatoires à densité indépendantes admettant une espérance, alors X Y admet également une espérance et E(X Y) =E(X)E(Y)

19 Variance de la somme de deux variables aléatoires à densité indépen- dantes.

Théorème 25 Si X et Y sont deux variables aléatoires à densité indépendantes admettant une variance, alors X+Y admet également une variance et V(X+Y) =V(X) +V(Y)