École Polytechnique MAP 361 2019/2020
PC 2 : Tribus et espaces de probabilité – Variables aléatoires réelles – Densités de probabilité
Les exercices 1 et 4 sont corrigés pour vous donner un exemple de rédaction. Les exercices 2, 3 et 6 seront discutés en PC.
1 Tribus et espaces mesurés
Exercice 1. On définitB(R)comme la plus petite tribu deRqui contient tous les intervalles de la forme ]−∞, a] avec a ∈ R. Montrer que les intervalles ]a, b], ]−∞, a[, ]a, b[, [a, b[ et [a, b]appartiennent àB(R)pour tous réels a < b.
Solution. Soita, b∈R aveca < b.
1. On a ]a, b] = ]−∞, a]c ∩]−∞, b]. Comme une tribu est stable par intersection et passage au complémentaire, on obtient que]a, b]∈ B(R).
2. On a]−∞, a[ =S
n∈N∗]−∞, a−1/n]. Comme une tribu est stable par union dénom- brable, on obtient bien que]−∞, a[∈ B(R).
3. Il suffit de remarquer que]a, b[ = ]a, b]∩]−∞, b[et d’utiliser les deux points précédents.
4. On a[a, b[ = ]−∞, b[∩[a,+∞[ = ]−∞, b[∩]−∞, a[c. Comme une tribu est stable par intersection et passage au complémentaire, on obtient le résultat escompté en utilisant le second point.
5. On a[a, b] = ]−∞, b]∩[a,+∞[ = ]−∞, b]∩]−∞, a[c. On conclut alors comme pour le point précédent.
Exercice 2. On appelle « boréliens » les ensembles dansB(R); on rappelle que la mesure de LebesgueLebest l’unique mesure sur(R,B(R))telle que Leb(]a, b[) =b−a pour touts réelsa < b.
1. Montrer que{a} ∈ B(R)pour tout a∈R.
2. Montrer que tout sous-ensemble dénombrable deR est borélien et de mesure de Le- besgue nulle.
3. SoitN ∈ B(R) un ensemble de mesure de Lebesgue nulle. Montrer queNc est dense dansR. Pour cela, on pourra montrer raisonner par l’absurde et considérert∈Rtel que il existe un voisinage ouvertO de cet élément vérifiant O∩Nc=∅.
Solution. 1. En passant au complémentaire, on voit que ]a,+∞[ ∈ B(R) pour tout a ∈ R. En considérant In = ]an,+∞[, avec an = a−1/n, et en remarquant que T
n∈N∗In= [a,+∞[on conclut que les intervalles de la forme[a,+∞[sont aussi dans B(R). Enfin, comme {a}= [a,+∞[∩]−∞, a]on conclut que {a} ∈ B(R).
Remarque : On voit par des arguments analogues que la tribuB(R) contient tous les intervalles deR. On en déduit facilement qu’elle contient tous les ensembles ouverts.
En effet, siO est un ensemble ouvert de R, alors on peut écrire O =S
x,y∈O∩Q]x, y[
et cette union porte sur un ensemble d’indices dénombrable. Enfin, en passant au complémentaire, on conclut queB(R) contient aussi tous les ensembles fermés de R. 2. SiAest un ensemble dénombrable, alors il existe une suite(xn)n∈Ntelle quexn6=xm
pour tout n6=m et A={xn:n∈N}. En écrivantA =S
n∈N{xn}et en utilisant la question précédente, on voit queA∈ B(R). NotonsLebla mesure de Lebesgue ; on a alors par union disjointeLeb(A) =P+∞
n=0Leb({xn}). Mais par définition de la mesure de Lebesgue,Leb({a}) = Leb([a, a]) =a−a= 0. On en déduit que Leb(A) = 0.
3. Pour montrer la densité deNcdansR, il faut montrer que pour tout intervalleI deR de la forme]a−ε, a+ε[avecε >0, on aI∩Nc6=∅. Si ce n’était pas le cas, on aurait I ⊂N et doncLeb(I)≤Leb(N) = 0. On aurait alors Leb(I) = 0ce qui contredit le fait queLeb(I) = 2ε >0. On conclut queNc est bien dense dansR.
Exercice 3 (Tribu engendrée par une fonction). On considère une fonction X : Ω→E. SiE est une tribu surE, montrer que
A={X−1(A) :A∈ E}
est une tribu surΩ.
Solution. Montrons queA est une tribu :
— Ω =X−1(E) avec E∈ E donc Ω∈ A.
— Soit B ∈ A. Par définition, il existe A∈ E tel queB =X−1(A). Mais, Bc= X−1(A)c
={ω ∈Ω :X(ω)∈/ A}={ω ∈Ω :X(ω)∈Ac}=X−1(Ac).
CommeE est une tribu et A∈ E, on a aussiAc∈ E et donc Bc∈ A.
— Soit (Bn)n∈N une suite d’éléments deA. Pour tout n∈ N, il existe An ∈ E tel que Bn=X−1(An). Mais
[
n∈N
Bn= [
n∈N
X−1(An) = [
n∈N
{ω∈Ω :X(ω)∈An}
= (
ω∈Ω :X(ω)∈ [
n∈N
An )
=X−1 [
n∈N
An
! . CommeE est une tribu etAn∈ E pour toutn∈N, on a aussiS
n∈NAn∈ E et donc S
n∈NBn∈ A.
2 Variables aléatoires réelles
Exercice 4(Loi uniforme). SoitU une v.a. uniforme sur[0,1]. On définitX = min(U,1−
U)etY = max(U,1−U). Trouver les lois deX etY.
Solution. La variable aléatoire Y prend ses valeurs dans [1/2,1]et pour tout t∈[1/2,1], FY(t) =P(U ≤t,1−U ≤t) =P(U ≤t, U ≥1−t) =t−(1−t) = 2t−1
donc Y suit la loi uniforme sur[1/2,1]. On remarque que X = 1−Y et on en déduit que X suit la loi uniforme sur [0,1/2].
Exercice 5. SoitXune variable aléatoire de densitéf et de fonction de répartitionF, soit un intervalleAet soit Y =1A(X). Donner la fonction de répartition deY.
Exercice 6 (Simulation par la méthode d’inversion). Comment créer des réali- sations d’une loi de probabilité donnée à l’aide d’un ordinateur ? Il existe de nombreuses méthodes différentes en fonction de la loi que l’on souhaite simuler. L’ingrédient de base de toutes ces méthodes est un générateur de (pseudo-)variables aléatoires indépendantes de la loi uniforme U([0,1]). En effet, tout bon langage de programmation est équipé d’un tel générateur. Certaines méthodes de simulation consistent à tirer une réalisation de la loi uniformeU([0,1])et à appliquer une transformation telle que le résultat suit la loi souhai- tée. D’autres méthodes plus complexes nécessitent plusieurs réalisations de la loi uniforme, qui sont combinées de sorte qu’on obtienne une réalisation de la loi souhaitée.
Pour la méthode de simulation dite d’inversion on considère une fonction de répartition F surRet on introduit son inverse généralisée définie par
p∈[0,1]7→F←(p) = inf{x;F(x)≥p} ∈R.
1. Montrer en utilisant queF est continue à droite que pour toutp∈]0,1[,F(F←(p))≥ p.
2. Montrer queF←(p)≤x si et seulement sip≤F(x) pour toutp∈]0,1[etx∈R. 3. En déduire que si U est une variable aléatoire de loi uniforme sur [0,1], la variable
aléatoireX=F←(U) a pour fonction de répartitionF.
4. Déduire de la question précédente une méthode générale de simulation de variables aléatoires réelles et l’appliquer au cas d’une variable exponentielle.
5. SoitX une variable aléatoire à valeurs réelles dont la fonction de répartitionFX est continue surR. Montrer que pour toutp∈]0,1[,F◦F←(p) =p. En déduire la loi de FX(X)?
Solution. Dans cet exercice, si cela n’est pas indiqué on prolongeF en posantF(+∞) = 1 etF(−∞) = 0.
1. Une fonction de répartition étant croissante, on en déduit que si p ∈ ]0,1[, alors I(p) :={x∈R:F(x)≥p}est un intervalle non vide de la forme[a,+∞]ou]a,+∞], aveca∈R.Montrons queI(p) = [a,+∞]. Sia= +∞, c’est évident. Supposons donc a < +∞. Le fonction F est continue à droite, donc si an est une suite strictement décroissante convergeant versa(il existe toujours une telle suite, même sia=−∞), on a F(an) ↓ F(a). Or, pour tout n, an > a donc an ∈ I et donc F(an) ≥ p. En passant à la limite, on trouve donc F(a) ≥ p ce qui prouve que a ∈ I(p). Comme a= infI(p) =F←(p), on a montré queF(x)≥p si et seulement six≥a=F←(p).
2. Pour toutt∈R,
FX(t) =P(X ≤t) =P(F←(U)≤t) =P(U ≤F(t)) =F(t).
On a donc bienFX =F.
3. Si F← possède une expression explicite, il suffit de poser X =F←(U) où U est une variable aléatoire uniforme sur [0,1] (on utilise pour cela le générateur de nombres aléatoires du logiciel). Dans le cas oùF(x) = 1−e−λx,x≥0, avecλ >0, on trouve F←(p) = −λ1ln(1 −p). Comme U et 1 −U ont même loi uniforme sur [0,1], on déduit de la question précédente que la variable −λ1ln(U) suit une loi exponentielle de paramètreλ.
4. Montrons que pour toutp∈]0,1[,F◦F←(p) =p.
On a déjà montré plus haut que F ◦F←(p) ≥ p pour tout p ∈ ]0,1[. Montrons l’inégalité dans l’autre sens. Soitp ∈]0,1[; pour toutn≥1, F←(p)−1/n < F←(p) et donc par définition deF←(p), on a F(F←(p)−1/n)< p. Comme F est supposée continue surR, on voit en passant à la limite quandn→+∞ queF(F←(p))≤p. Le même raisonnement marche également sip= 1etF←(p)<+∞.
On peut maintenant donner la loi de Y = FX(X). D’après la question 2., on peut supposer sans perte de généralité queX=FX←(U) avec U une variable uniforme sur [0,1]. On a alors
P(Y ≤t) =P(FX(FX←(U))≤t) =P(U ≤t), ∀t∈R,
et doncY suit une loi uniforme sur [0,1].
Exercice 7. Considérons une variable aléatoireXcontinue à valeurs positives représentant la durée de vie d’une ampoule, de fonction de répartition F et de densité f continue et strictement positive sur]0,+∞[. La fonction taux de panne associée est définie pour tout t >0 par
λ(t) = f(t) 1−F(t).
1. Soit g une fonction continue sur ]0,+∞[ et t ∈ ]0,+∞[, en appliquant la formule de Taylor-Lagrange à l’ordre 1 à une primitive de g (parfois appelée formule de la moyenne), montrer que
→0lim 1
Z t+
t
g(x)dx=g(t).
2. En déduire que pour toutt >0, lim→0
1
P(X∈]t, t+[|X > t) =λ(t).
On interprèteλ(t)comme le taux de panne conditionnel instantané en supposant que l’ampoule fonctionnait encore au tempst.
3. Calculer la fonction taux de panne quandX suit une loi exponentielle.
4. Montrer que l’on peut caractériser la loi deX par sa fonction taux de panne λ: plus précisément, donner une expression deF en fonction deλ.
5. Exprimer la fonction de répartition associée à un taux de panne affineλ:t7→a+bt.
Poura= 0, la loi obtenue est appeléeloi de Rayleigh.
3 Exercices qui anticipent le cours 3
Exercice 8. Calculer l’espérance et la variance des lois : uniforme sur un intervalleU([a, b]), exponentielleE(λ) et gaussienneN(µ, σ2).
Exercice 9 (Calculs de moments).
1. Montrer que si X suit la loi exponentielle de paramètreλ >0 alorsE(Xn) = λn!n; 2. Montrer que si X suit la loiN(0,1)alorsE(X2n) =Qn
k=1(2k−1) = (2n)!2nn!.
Exercice 10 (Caractérisation par les moments). Montrer que si deux variables aléatoires bornées X etY ont les mêmes moments, c’est-à-dire que E(Xn) =E(Yn) pour toutn∈N, alorsXetY ont même loi. On pourra utiliser pour cela la densité des polynômes dans l’ensemble des fonctions continues sur un compactK ⊂R et que X et Y ont même loi si et seulement si pour toute fonction continue bornéef :R→R,E(f(X)) =E(f(Y)).
Exercice 11. Soit µ une mesure de probabilité sur (R,B(R)) et f : R → R+ intégrable.
Le but de l’exercice est de montrer que pour tout >0, il existeη > 0 tel que pour tout A∈ B(R),µ(A)≤η impliqueR
Af(s)dµ(s)≤.
1. Soit >0. Montrer que il existeM ≥0 tel que, en posantB ={x∈R:f(x)≤M}, Z
A
f(s)dµ(s)≤/2 + Z
A∩B
f(s)dµ(s). 2. Conclure.
