r r 2 x A ⎡ ⎤ 2 km mg sin 12 mgk ⎛ ⎞ 2 P P 20 2 sin 2 () 1 2 r ( t ) = = r + cos t x ( t ) = g sin t + r + sin E = mg 0 ⎜ ⎟ 0 ⎢ ⎥ 1 k ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ € € € € € € € €

Un ressort sans masse de raideur k, de longueur à vide r0 , est lié à 2 masses identiques m en ses extrêmités A1 et A2. L'ensemble glisse sans frottement sur un plan incliné d'angle α.

A t< 0, le ressort est maintenu par A1 en un point fixe O en haut du plan incliné, sans vitesse initiale.

A t = 0 , on lache A1.

On note x1 x2 x les coordonnées de A1 A2 G respectivement, où G est le centre de gravité du système. On définit par r la longueur totale du ressort .

1) Déterminer la coordonnée initiale

€

x

₂₀ de

€

A

₂. 2) Montrer que

€

r(t)=r₀+ mgsin

α

k cos

ω

t où

€

ω

² =2k m et

€

x(t) = 1

2 g ( sinα ) ^t

²

^{+ r}

0

+ mg k sinα

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

Vérifier la valeur de la coordonnée initiale de A2 déterminée dans la question 1).

Déduire les coordonnées x1(t) x2(t) en fonction du temps. Décrire très brièvement le mouvement.

3) On pose

€

E

₁

= m g sinα ω

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

. Montrer que E1 est homogène à une énergie.

(Si besoin est, on montrera l'homogénéïté de k).

4) Trouver un exemple simple et convainquant d'un système de 2 points matériels en mouvement dont l'énergie cinétique totale n'est pas égale à l'énergie cinétique du centre de gravité affecté de toute la masse du système.

5) Déterminer l'énergie cinétique du système à l'instant t, en fonction de E1 et de ωt.

6) Sans vous aider de la question précédente, déterminer l'énergie potentielle (totale) du système à l'instant t en fonction de E1 et de ωt. On fera l'hypothèse qu'à t=0 , Ep = E1 .

7) Déterminer l'énergie mécanique du système à l'instant t. Quelle loi physique constatez-vous dans le résultat?

8) Ecrire ce que vaut la variation d'énergie potentielle en termes de travail de force. On précisera de quelles forces il s'agit et on n'effectuera aucun calcul.

9) Déterminer le travail du poids

€

P r

₁ depuis l'instant 0 jusqu'à t, en fonction de E1 et ωt.

Déterminer le travail du poids

€

P r

₂ depuis l'instant 0 jusqu'à t, en fonction de E1 et ωt.

10) Déduire des questions 6) ,8) et 9) le travail global des forces de tension du ressort entre 0 et t.

11) Ecrire le théorème de l'énergie cinétique appliqué à la masse m en A1 entre 0 et t. A l'aide des questions 9) et 2) en déduire le travail de la force de tension du ressort qui s'exerce sur A1 entre 0 et t. On l'exprimera en fonction de E1 et ωt.

12) En partant de la définition du travail d'une force, donner sous forme d'une intégrale le travail de cette force de tension exercée sur A1 entre 0 et t. Calculer cette intégrale en prenant soin de n'y faire figurer qu'une seule variable. (Les calculs demandent du soin).

13) Vérifier la coïncidence des résultats des questions 11) et 12).

1) à t = 0 équilibre

€

P r

₂

+ r T

₂

+ r

R

₂

= r 0

^avec

€

T r

₂

= −k( x

₂₀

− r

₀

) r

i

d’où en projection sur x, mgsinα-k(x20-r0)=0

€

x20=r0+mg k sinα

2) Le PFD appliqué à chacune des particules conduit en projection sur le plan incliné à ::

€

md²x₁

dt² =k(x₂−x₁−r₀)+mgsinα

€

md²x₂

dt² =−k(x₂−x₁−r₀)+mgsinα

d’où par différence : :

€

(r−r₀˙ ˙ ) +2k

m(r−r₀)=0 La solution est

€

r−r₀=Acosωt+Bsinωt ^avec ω=2k/m. Les conditions initiales conduisent bien à la formule proposée pour r(t).

Le TCI appliqué à G donne

€

2m˙ ˙ x G=

∑

fext,x=2mgsinα ; l’ intégration avec le respect des conditions initiales donne la formule pour x(t).

On en déduit :

€

x₁=x−r 2=1

2 gsinαt²+mg

k sinα

(

1−cosωt

)

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

€

x₂=x+r 2=1

2 gsinαt²+2r₀+mg

k sinα

(

1+cosωt

)

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

Le mouvement est une descente uniformément accélérée du centre de gravité combinée à des oscillations des extrémités.

3)

€

m gsinα ω

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

≈

[ ]

M

[ ]

^{L 2}

[ ]

^{T −4 1}

ω² ≈

[ ]

M

[ ]

^{L 2}

[ ]

^{T −4}

[ ]

^{T 2≈}

[ ]

^M

[ ]

^L

[ ]

^{T −2}

[ ]

^{L ≈}

[

^{F L}

[ ] ]

^≈

[

^Energie

]

car

€

ω²≈ [ ]F

[ ]L[ ]^{M ≈}

[ ]M [ ]^L[ ]^T−2

[ ]L[ ]^{M ≈}[ ]^{T −2 E 1} est donc bien homogène à une énergie 4) Des haltères qui tournent autour de l’ axe perpendiculaire passant par le centre de gravité. Celui-ci est immobile.

5)

€

E_C =E_{C A1}+E_{C A2} =1

2m˙ x ₁²+1 2m˙ x ₂²

avec

€

˙

x ₁=gsinαt+mgsinα

k ωsinωt=gsinα t+sinωt ω

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ^et

€

˙

x ₂=gsinαt−mgsinα

k ωsinωt=gsinα t−sinωt ω

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

d’où

€

EC=m g

(

sinα

)

^{2 t2+sin}

2ωt ω²

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥ =E1

(

ω²t²+sin²ωt

)

6)

€

E_p=Ep pesanteur+Ep élastique=−mgx₁sinα−mgx₂sinα+1

2k r

(

−r₀

)

^{2+Cte=−mg2xsinα+1}

2k r

(

−r₀

)

^2+Cte

On s’aperçoit que pour l’énergie potentielle de pesanteur, tout se passe comme si toute la masse du système était au centre de gravité.

Ce résultat est général. Il est bon de s’en souvenir. Attention à ne pas l’appliquer à d’autres types d’énergie potentielle.

€

E_p=−mg gt²sin²α+ r₀+mg

k sinα

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ sinα

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ +1 2k 2

ω^2gsinα

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

cos²ωt+Cte soit

€

E

_p

= E

₁

( cos

²

ωt − ω

²

t

²

)

La constante est nulle si on choisit à t=0 Ep=E1. (Rappelons que ce choix arbitraire n’a aucune incidence sur une variation).

7) Em=EC+Ep=E1(sin²ωt+cos²ωt)=E1=Cte . On vérifie ainsi la conservation de l’énergie mécanique . Le système est conservatif en absence de frottement.

8)

€

ΔE

_p

= − W

_T ^r

1

+ W

_T ^r

2

+ W

_P ^r

1

+ W

_P ^r

(

2

)

de0à t

Rq : même si les tetensions sont égales et opposées , leur travail global n’est pas nul car elles n’ont pas le même déplacement chacune.

9)

€

W_P ^r

1 =mgx₁sinα=1

2E₁

[

ω²t²+2 1−

(

cosωt

) ]

€

W_P ^r

2 =mg(x₂−x₂₀)sinα=1

2E₁

[

ω²t²−2 1−

(

cosωt

) ]

10) En rassemblant les résultats des questions 6, 8, et 9 nous obtenons :

€

W_T ^r

1+W_T ^r

2=−W_P ^r

1−W_P ^r

2− ΔE_p entre 0 et t.

Le calcul conduit à –1/2 E1(ω²t²+2(1-cosωt))-1/2 E1(ω²t²-2(1-cosωt))-(E1(cos²ωt-ω²t²)-E1), soit –E1(ω²t²+cos²ωt -ω²t²-1) D’où

€

W

_T ^r

1

+ W

_T ^r

2

= E

₁

sin

²

ωt

11) Le théorème de l’énergie cinétique appliqué à A1 donne

€

ΔE_C1=W_T ^r

1 +W_P ^r

1+W_R ^r

1

avec un travail de réaction nul, cela donne

€

W_T ^r

1 =ΔE_C1−W_P ^r

1 =1

2m˙ x ₁²−0−W_P ^r

1

La question 2 donne

€

˙

x ₁=gsinα t+sinωt ω

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ ^d’où

€

W_T ^r

1 =1

2m gsinα ω

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

ω²t²+sin²ωt+2ωtsinωt−ω²t²−2 1

(

−cosωt

)

( )

D’où

€

W

_T ^r

1

= E

₁

ωt sinωt + ( cosωt −1 ) ^{+ sin}

2

ωt 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

12)

€

T r

₁

= k(r − r

₀

) r i

^d’où

€

W

_T ^r

1

= r

T

₁

.dx

₁

r i

0 t

∫ ^{= k(r − r}

⁰

^)dx

¹

0 t

∫ ^{= mgsinα cosωtdx}

¹

0 t

∫

La question 2 donne

€

dx₁=(gtsinα+mgsinα

2k ωsinωt)dt

D’où

€

cosωtdx

₁

= g sinα (t + mω sinωt

2k )cos ωt dt

0 t

∫

0 t

∫

Avec

€

tcosωt dt= tsinωt ω

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

0 t

∫

0 t

− sinωt

ω dt=gsinα tsinωt

ω + cosωt−1

ω² +1−cos2ωt 4ω²

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

0 t

∫

en intégrant par parties

D’où

€

W

_T ^r

1

= E

₁

ωt sinωt + ( cosωt −1 ) ^{+ sin}

2

ωt 2

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

13) On vérifie la coïncidence des formules obtenues en 12 et 11. Ouf !

€