2 sur ] ] 2. sin(x ) 1

DEVOIR A LA MAISON N°11. TS1.

Pour le jeudi 2 février 2017

I. Construire le tableau de signes des expressions suivantes : 1. sin(x ) 1

2 sur ] ] 2. sin(x ) 1

2 sur [0 2 ]

3. cos(x ) sin( x)cos( x) sur [0 2 [ 4. 1 cos(2 x) sur [0 2 ]

5. 1

2 sin(2 x) sur

 

  2 0

II. f est la fonction définie sur par f (x ) 1

2 e

x ² x 4 et f est la dérivée de f sur . 1. Construire le tableau de variation de la fonction f sur (ne pas chercher les limites).

2. Déterminer les limites de f en et + . 3. Etudier les variations de la fonction f sur .

4. Montrer que la droite d équation y 2 coupe une fois et une seule la courbe de la fonction f.

III. Pour tout entier naturel n non nul, f

est la fonction définie sur ]0 [ par f

(x ) e

e

x . 1. Construire le tableau de variation la fonction f

en faisant apparaître les limites, qui seront justifiées.

On note y

le minimum de f

sru ]0 [ et x

la valeur en laquelle il est atteint.

2. Exprimer x

et y

en fonction de n.

3. Déterminer le sens de variation et la limite de la suite ( ) ^x

.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°11. TS1

I.

1. sin(x ) 1

2 0  sin(x) 1

2 S

 

  5

6 6

On a donc le tableau de signes : x −5 π

6

6 sin(x) 1

2 2. sin(x ) 1

2 0  sin(x) 1

2 S

 

  7

6 11

6 On a donc le tableau de signes :

x 0 7

6 11

6 2 sin(x) 1

2

3. cos(x ) sin( x)cos( x) cos(x )(1 sin(x ))

Pour tout x de [0 2 [ : sin( x) 1 donc 1 sin( x) 0 et sin(x ) 1 ssi x 3 2 On a donc le tableau de signes :

x 0

2 3

2 2 cos ( x )

1 sin (x ) cos (x )(1 sin(x ))

4. 1 cos(2 x) sur [0 2 ]

Pour tout x de [0 2 ], 1 cos(2 x) 1 donc 1 cos(2 x) 0

Dans [0 2 ] : cos(2x) 1  2x 0 ou 2 x 2 ou 2 x 4  x 0 ou x ou x 2 On a donc le tableau de signes :

x 0 2 1 cos (2x)

5. 2 x 0 donc (2 x) 0 donc 1 sin(2 x) 0 donc 1

2 sin(2 x) 0.

x

2 0 1

2 sin (2 x)

II. f est la fonction définie sur par f (x ) 1

2 e

x ² x 4 et f est la dérivée de f sur . 1. f est dérivable sur . Pour tout réel x, f ( x) e

2 x 1.

f est dérivable sur . Pour tout réel x, f ( x) 2e

2.

2e

2 0  e

1  2x 0  x 0. On peut donc construire le tableau de variation de la fonction f :

x 0 + f ( x)

f (x)

1

2. lim

x

2 x donc lim

x

e

0 lim

x

x² x 4 lim

x

x² En + , on a une F I.

f(x ) e

 

  e

e^x x e^x

4

e^x

e

 

 

 

 

ex 1

ex x²

1 e^x x

4 e^x

D après le cours, lim

x

e^x

x²

lim

x

e^x

x

lim

x

e

donc lim

x

  

 



e^x x²

1 e^x x

4

e^x

0 et donc lim

x

 

 

 

 

ex 1

ex x²

1 e^x x

4

e^x

.

D autre part, lim

x

e

3. D après la question 2, le minimum de f est 1 0 donc f ( x) 0 sur . f est donc strictement croissante sur .

4. La fonction f est continue et strictement croissante sur , lim

x

f (x ) , lim

x

f (x ) et 2] ;+ [. Alors l équation f (x ) 2 admet une unique solution dans , c'est-à-dire : la droite d équation y 2 coupe une fois et une seule la courbe de la fonction f.

III.

1. f

est dérivable sur ]0;+ [.

f

(x) e

ne

x e

x² e

e

nx 1 x ²

La fonction exponentielle est strictement positive sur et x² 0 sur ]0 [ donc f

( x) est du signe de nx 1. On a donc le tableau de variation :

x 0 x

1

n + nx 1

f

(x)

On note y

ce minimum et x

la valeur en laquelle il est atteint.

2. Pour tout n de *, x

1

n et y

f

( ) ^x

^ne

^.

3. La suite ( ) ^x

est décroissante et converge vers 0.

lim

x

f (x )

lim

x

f (x ) .