2. Soit z ∈ C. On note a = Re(z) et b = Im(z) . a. Exprimer e iz + e −iz − 2 comme un carré.

MPSI B Année 2017-2018 Énoncé DM 2 pour le 22/09/17 21 septembre 2019

Partie I

1. Soit w ∈ C. On note x = Re(w) et y = Im(w) . Exprimer le module et un argument de e ^iw en fonction de x et y .

2. Soit z ∈ C. On note a = Re(z) et b = Im(z) . a. Exprimer e ^iz + e ^−iz − 2 comme un carré.

b. On note

D =

e ^iz + e ^−iz 2 − 1

, S =

e ^iz + e ^−iz 2 + 1

.

Exprimer D , S et D + S et la somme de ces deux expressions à l'aide de a et b . On pourra faire apparaitre des carrés sous les modules.

Partie II

Exercice 1

Soit a, b, n des nombres entiers, on pose

D a = {(x, y) ∈ N ² tq x + y = a}

T n = {(x, y) ∈ N ² tq x + y ≤ n}

C _n = {0, 1, · · · , n} ²

Donner une expression simple de chacune des sommes suivantes

A _a = X

(x,y)∈D

x + y x

B _n = X

(x,y)∈T

x + y x

G _b,n =

n

X

x=0

x + b x

D _n = X

(x,y)∈C

x + y x

Exercice 2

Pour k entier naturel et x réel non congru à 0 modulo π , linéariser 4 sin ² x sin(2kx)

et l'exprimer comme la diérence de deux termes consécutifs d'une suite. En déduire, pour des entiers p et q xés tels que p ≤ q , une autre expression de

q

X

k=p

4 sin ² x sin(2kx)

Exercice 3

Soit n un entier strictement positif, exprimer, pour k ∈ {0, 2, . . . , n − 1} ,

n k

2n k

−

n k+1

2n k+1

à l'aide d'un quotient de deux coecients du binôme.

En déduire une expression de

n

X

k=0 n k

2n−1 k

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1