COMPLEXES – Feuilles d’exercices
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Ü
Retour sur les notions de 1i2D
Exercice 1 :On considère les nombres complexes suivants : et . Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique :
Exercice 2 :
Écrire les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique :
Exercice 3 :
Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants dont on donne le module r et un argument q : 1) et 3) et 5) et
2) et 4) et 6) et
Exercice 4 :
Dans le plan complexe ci-contre, on a tracé le cercle trigonométrique et placé des points.
Donner l’écriture exponentielle de l’affixe de chacun de ces points.
Ü
Forme exponentielle
Exercice 5 :Pour chacun des nombres complexes ci-dessous,
placer, avec précision, son image dans le plan complexe :
i
z1=2-3 z2 =-4-i
1
2 2z
z - z1´z2 z22
1
1
z 2
1
z z
2 1
1 1
z z - +
i
z1=1- z2 =2+2i z3=-1+i 3 z4 =2i z5 =-3
=2
r 4
= p
q r=2
6 -p
=
q r=1
3
= 7p q
= 3
r 6
=5p
q r =4
4
=3p
q 2
=1
r 2
-p
= q
1 3 p
=ei
z 2 3
-p
=e i
z z3=e-ip
=e ip
z3 2 6
5
6 2
p
= e i
z 5 4
2 1 p
= ei
z 2
6 7
-p
= e i
z
Exercice 6 :
Donner la forme exponentielle des nombres complexes suivants :
Exercice A : « Différentes formes »
1) Mettre le nombre complexes 𝑧" = "%&$ sous forme algébrique.
2) a) Mettre le nombre complexe 𝑧$ = 1 + 𝑖 sous forme trigonométrique.
b) En déduire sa forme exponentielle.
3) a) Mettre le nombre complexe 𝑧* = 2𝑒-./ sous forme algébrique.
b) Représenter ce nombre dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé (𝑂; 𝑢4⃗, 𝑣⃗).
Exercice 7 :
Donner le module et un argument des nombres complexes suivants puis déterminer leur forme algébrique :
Exercice 8 :
Effectuer les calculs ci-dessous :
Exercice 9 :
On considère le nombre complexe : .
Donner la forme exponentielle puis la forme algébrique de chacun des nombres complexes : z, z2, z3, …, z6. Exercice 10 : « a, b, c et Z »
On considère les nombres complexes suivants :
𝑎 = −2√2 + 2𝑖√2 𝑏 = −2 − 2𝑖√3 𝑐 = 2√3 − 2𝑖 On appelle A, B et C leurs images respectives dans le plan muni d’un repère orthonormé (𝑂; 𝑢4⃗, 𝑣⃗) d’unité 1 cm.
1) a) Calculer les modules de 𝑎, 𝑏 et 𝑐.
b) En déduire que les points A, B et C sont situés sur un cercle dont on précisera le centre et le rayon.
2) Donner un argument de chacun des nombres 𝑎, 𝑏 et 𝑐.
3) Déterminer la forme exponentielle, puis la forme algébrique, du nombre complexe : 𝑍 =A/×C/
DE
4) Montrer que 𝑍F = −1.
5) On appelle N le point image du nombre 𝑍.
Représenter A, B, C, N dans le repère donné.
i
z1=2 z2 =-3i z3 =-2 z4 =1-i z5 = 3+i z6 =1-i 3 z7 = 3+3i
2 3 1
8
z =- -i
=eip
z1 2 3
- p
=e i
z 3 25 4
p
= ei
z 2
3 4
- p
=e i
z 6
5
5 3
p
= e i
z 6 2
3 1 -p
= e i
z 4
3
7 2
p
= e i
z 2
6 5 8
- p
=
i
z e
3
6 2
5
p p
´
= ei ei A
3 3 4
2 8
p p
= i i
e C e
3 3 3
4
2 2 8 1
p -p p
= ´
i i i
e e e
E 2
2 2
) 2 (
2
p -p
÷÷ø çç ö è æ
= i
i
e e G
p p
´
= ei ei
B 2 2 2 p
-p
= i
i
e D e
2 2 2
2 2
5 2
2
p p -
-p
´
= i i
i
e e
F e 3 4 5 4
p p
+
= ei ei H
i
z 2
3 2 1+
=
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Exercices type bac Exercice 11 :
Toutes les réponses de l’exercice devront être justifiées.
On considère les nombres complexes suivants : 1) Déterminer la forme algébrique des nombres complexes z1, z2 et z3.
2) Déterminer le module et un argument des nombres complexes z2 et z3. 3) a) Démontrer que .
b) En déduire le module et un argument du nombre complexe z4. c) Quelle est la forme algébrique du nombre complexe z4 ?
4) On munit le plan complexe d’un repère orthonormé (O ; ; ) d’unité graphique 2 cm.
a) Démontrer que les points A, B, C et D d’affixes respectives z1, z2, z3 et z4 sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon puis construire ce cercle dans le repère (O ; ; ).
b) Placer, avec précision, les points A, B, C et D dans le repère (O ; ; ).
c) Calculer les distances AC et BD.
d) Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
Exercice 12 :
i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument .
On considère les nombres complexes suivants :
On appelle M1, M2 et M3 leurs images respectives dans le plan complexe ! rapporté au repère orthonormé (O ;
; ) d’unité graphique 1 cm.
1) Calculer la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe z1. 2) Placer les points M1, M2 et M3 dans le plan !.
3) a) Calculer, sous forme trigonométrique les nombres complexes : , et .
b) En déduire que les points M1, M2 et M3 sont situés sur un même cercle dont on précisera le centre et le rayon.
4) Démontrer que le triangle M1M2M3 est rectangle.
÷ø ç ö
è
æ p
p+
= sin6
cos6
1 3 i
z z2=z1 z3 =-z1 z4=z1e23ip
6 5
4 3
p i
e z =
u! v!
u! v! u! v!
2 p
÷ø ç ö
è
æ p+ p
= sin6
cos6 3
1 2 i
z z2=4 ÷÷
ø ö ççè
æ +
= 4 p3
3 2 1 e i
z
u! v!
1-2
z z2 -2 z3-2
Exercice B : « Géométrie complexe »
i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument .
Le plan complexe ! rapporté au repère orthonormé (O ; ; ) d’unité graphique 1 cm.
On considère les points A, B et C d’affixes respectives :
1) a) Ecrire le nombre complexe zB sous forme algébrique.
b) Placer les points A, B et C dans le plan !.
2) Déterminer les longueurs AB, AC, BC et en déduire la nature du triangle ABC.
3) Déterminer l’affixe du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un carré.
4) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.
On considère le point I d’affixe
On note " l’ensemble des points M du plan dont l’affixe z vérifie : . a) Les points A, B, C et D appartiennent-ils à l’ensemble " ?
b) Quelle est la nature de l’ensemble " ?
c) Représenter l’ensemble " dans le plan ! défini ci-dessus.
Exercice 13 :
On munit le plan complexe ! d’un repère orthonormé (O ; ; ) d’unité graphique 10 cm.
On considère le point M0 d’affixe .
Pour tout entier naturel n non nul, on note Mn le point d’affixe : . 1) a) Déterminer l’écriture exponentielle des nombres complexes z1, z2 et z3.
b) Placer les points M0, M1, M2 et M3 dans le plan ! défini ci-dessus.
2) Pour tout entier naturel n, on note rn le module du nombre complexe zn.
a) Démontrer que la suite (rn) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
b) Quelle est la limite de la suite (rn) ?
c) On considère que sur la représentation, on ne peut plus distinguer un point Mn du point O si la distance OMn est strictement inférieure à 1 mm. À l’aide de la calculatrice, indiquer la plus grande valeur notée N de n pour laquelle Mn peut être distinguée de O.
3) On admet que .
Donner l’écriture exponentielle de z6 puis construire soigneusement M6 sur la représentation.
2 p u! v!
i
zA =-1- 3 2 4
p
= i
B e
z zC =7-i
i zI =3-
4 | ) 3 (
|z- -i =
u! v!
0 =1 z
3 1
2 1
- p
= i n
n e z
z
6 6 3
2 1 ÷÷
ø çç ö è
=æ eip z
