  tan tan

Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre1 http:// xriadiat.e-monsite.com 1

Résumé de Cours CALCUL TRIGONOMETRIQUE

PROF: ATMANI NAJIB http:// xriadiat.e-monsite.com 1 et 2 BAC 1)Formules de transformations :

𝑐𝑜𝑠 (𝑥 − 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝑦 (1) 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 + 𝑦) = 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝑦 (2) 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 + 𝑦) = 𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 + 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝑦 (3) 𝑠𝑖𝑛 (𝑥 − 𝑦) = 𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 − 𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝑦 (4)

  ^{tan tan}

tan 1 tan tan

x y

x y x y

  

 

^et

^tan   ^{tan tan}

1 tan tan

x y

x y x y

  

 

𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = 2𝑐𝑜𝑠²𝑥 − 1 et 𝑐𝑜𝑠(2𝑥) = 1 − 2𝑠𝑖𝑛²𝑥 𝑠𝑖𝑛(2𝑥) = 2𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠x

1 cos 2 cos ²

2

x   x

et

1 cos 2

sin ²

2 x   x

cos 2 cos ² 1 2

x  x 

cos 1 2 sin ² 2 x   x

sin 2 sin cos

2 2

x x

x 

et

2 tan

tan 2

1 tan ² x x

 x



2) Les valeurs trigonométrique en fonction de :

𝑡 = 𝑡𝑎𝑛 (

2

x) : Si 𝑡 = 𝑡𝑎𝑛 (

2

x

)on a :

1)

1 ²

cos 1 t ² x   t



²⁾

sin 2

1 t ² x  t



³⁾

tan 2

1 ² x t

 t



3) Transformations des sommes en produits

Pour tous réels 𝑝 , 𝑞, on a :

sin 𝑝 + sin 𝑞 = 2sin (

2 p  q

) . 𝑐𝑜𝑠 (

2 p  q

) sin 𝑝 - sin 𝑞 = 2cos (

2 p  q

) . sin (

2 p  q

) 𝑐𝑜𝑠 𝑝+𝑐𝑜𝑠 𝑞 = 2𝑐𝑜𝑠 (

2 p q 

). 𝑐𝑜𝑠 (

2 p  q

) 𝑐𝑜𝑠 𝑝- 𝑐𝑜𝑠 𝑞 = -2sin (

2 p  q

) . sin (

2 p  q

)

4) Transformations des produits en sommes

. Pour tous réels 𝑥, 𝑦 on a :

𝑐𝑜𝑠𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 =

1

2

[𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) + 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦)]

𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑠𝑖𝑛𝑦 = −

1

2

[𝑐𝑜𝑠(𝑥 + 𝑦) − 𝑐𝑜𝑠(𝑥 − 𝑦)]

𝑠𝑖𝑛𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑦 =

1

2

[𝑠𝑖𝑛(𝑥 + 𝑦) + 𝑠𝑖𝑛(𝑥 − 𝑦)]

La linéarisation d’une expression c’est de l’écrire sous la forme d’une somme.

5) LES EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES.

a)

cos x  cos x

₀

  x x

₀

 2 k 

ou

x    x

₀

2 k 

b)

sin x  sin x

₀

   x x

₀

2 k 

ou

x     x

₀

2 k 

c)

tan x  tan x

₀

   x x

₀

k 

2) ’équation : (𝐸): 𝑎𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑏𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝑐 = 0 Soient 𝑎 et 𝑏 deux réels non nuls on a : Pour tout réel 𝑥 :

cos sin ² ² cos sin

² ² ² ²

a b

a x b x a b x x

a b a b

 

         

 

cos sin ² ² cos cos sin sin

a x b  x  a  b  x   x

où le réel 𝜑 est déterminer par :

𝑐𝑜𝑠𝜑 =

² ²

a

a  b

^{et 𝑠𝑖𝑛𝜑 =}

² ²

b a  b

 

cos sin ² ² cos

a x b  x  a  b x  

6) Les limites trigonométriques

a) 0

lim sin 1

x

x



x 

b)

0

limtan 1

x

x

 x  c)

0

limsin 1

x

ax

 ax  d)

0

lim tan 1

x

ax



ax 

e) ₂

0

1 cos 1

lim^x 2

x

 x

 

x 0 ^

6

 4



3



2 

cos x

1

2

3

2 2

2

1

0 -1

sin x

0

2 1

2 2

2

3 1 0

7) autre propriétés trigonométriques

Pour tout nombre réel x, on a :

1)

  1 cos x  1

2)

  1 sin x  1

3) cos² x + sin² x = 1 4) ^cosxcos



^x2k



^{où k }

5) ^sinxsin



^x2k



⁶⁾

^tan  ^{x k  }  ^{ tan x}

^k

7) 8) sin

tan cos

x x

 x

9)

cos(   x ) cos x

et

sin(    x ) sin x

10)

^cos  ^{  x}  ^{  cos x}

^et

^sin  ^{  x}  ^{  sin x}

11)

^cos    ^x    ^{cos x}

et

^sin    ^x   ^{sin x}

12) _{cos sin}

2 x x

   

 

  et _{sin cos}

2 x x

  

 

 

13) _{cos sin}

2 x x

 

 

  et _{sin cos}

2 x x

  

 

 

14) ^tan

 ^

^{  x}



^{tanx et}

^tan    ^x   ^{tan x}

C’est en forgeant que l’on devient forgeron » Dit un proverbe.

C’est en s’entraînant régulièrement aux calculs et exercices Que l’on devient un mathématicien

k 

 

 

2

2

1 tan 1

cos x

x

 