PanaMaths Décembre 2001
Déterminer :
( )
2
lim tan
2
x
x x
π
→−
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝
+
⎠Analyse
Comme nous avons :
( )
2
lim tan tan( 2 ) tan(0) 0
x πx π
→− = − = = et
( )
2
lim 2 0
x x
→− + = , nous sommes confrontés à une forme indéterminée du type « 0
0 ». L’idée consiste ici à faire apparaître une limite connue en 0 après avoir posé x= −h 2.
Résolution
Nous allons donc considérer la fonction f définie par : tan
( )
( ) 2
f x x x
= π
+ . Posons : x= −h 2. On aura alors :
2 0
lim ( ) lim ( 2)
x f x h f h
→− = → − .
On a :
( ) ( ( ) )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
tan 2 tan 2 tan 1 sin sin
2 2 2 cos cos
h h h h h
f h h h h h h h h
π π π π π π π
π π π
− −
− = = = = =
− +
Or :
( )
0
lim sin 1
h
h h π π
→
⎛ ⎞
⎜ ⎟=
⎝ ⎠ et
( ) ( )
lim cos0 cos 0 1
h πh
→ = = .
Il vient finalement :
lim (0 2)
h f h π
→ − = . Soit :
lim2 ( )
x f x π
→− = .
Résultat final
( )
2
lim tan
2
x
x x
π π
→−
⎛ ⎞
⎜ + ⎟=
⎝ ⎠
