1 Objectifs g´ en´ eraux de la formation 3

NOTE DE PRÉSENTATION

Les présents arrêtés, au nombre de trois, vous sont soumis pour visa avant présentation devant les instances consultatives.

Ils s’inscrivent dans la seconde phase du chantier de rénovation des programmes des classes préparatoires aux grandes écoles (CPGE) de la filière économique et commerciale, phase consacrée aux programmes de seconde année.

Cependant, l’écriture des nouveaux programmes de seconde année de langues vivantes étrangères, ainsi que :

- d’économie approfondie et d’économie, de sociologie et d’histoire du monde contemporain (ESH), pour l’option économique (ECE),

- d’économie et d’histoire, de géographie et de sociologie du monde contemporain, pour l’option scientifique (ECS),

- d’économie, de droit et de management et sciences de gestion, pour l’option technologique (ECT),

ayant pu être menée à bien en même temps que celle des programmes de première année, cette seconde phase ne concerne plus, en fait, pour la filière économique et commerciale, que le programme de mathématiques-informatique de chacune des trois options.

Ces programmes de seconde année de mathématiques-informatique ont été élaborés selon les mêmes principes et les mêmes modalités que les programmes de la filière économique et commerciale publiés au printemps dernier. Du 20 mai au 30 juin 2013, ils ont fait l’objet d’une consultation publique en ligne, sur le site du ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche. Les 30 commentaires recueillis ont donné lieu à des corrections substantielles.

Ces programmes entreront en vigueur à la rentrée 2014 pour les options ECE et ECS, et à la rentrée 2015 pour l’option ECT.

Les présents arrêtés n’affectent en rien les volumes horaires des enseignements concernés.

Direction générale pour l'enseignement supérieur et l’insertion professionnelle

Service de la stratégie de l’enseignement supérieur et de l’insertion professionnelle

Département de l’architecture et de la qualité des formations de niveau licence

RÉPUBLIQUE FRANÇAISE

Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche

Arrêté du 2013

relatif au programme de seconde année de mathématiques-informatique de la classe préparatoire économique et commerciale, option scientifique (ECS)

NOR ESRS A

Le ministre de l’éducation nationale et la ministre de l’enseignement supérieur et de la recherche,

Vu le code de l’éducation, et notamment ses articles D. 612-19 à D. 612-29 ;

Vu l’arrêté du 23 mars 1995 définissant la nature des classes composant les classes préparatoires économiques et commerciales aux grandes écoles ;

Vu l’arrêté du 23 mars 1995 définissant l'organisation générale des études et les horaires des classes préparatoires économiques et commerciales aux grandes écoles ;

Vu l’arrêté du 3 juillet 1995 modifié, définissant les objectifs de formation et le programme des classes préparatoires de première et seconde année économiques et commerciales, option scientifique (ECS) ; Vu l’avis du ministre de la défense en date du 2013 ;

Vu l’avis du Conseil national de l’enseignement supérieur et de la recherche en date du 2013 ; Vu l’avis du Conseil supérieur de l’éducation en date du 2013,

Arrêtent :

Article 1^er

Le programme de seconde année de mathématiques-informatique de la classe préparatoire économique et commerciale, option scientifique (ECS), figurant en annexe 1 de l’arrêté du 3 juillet 1995 modifié susvisé, est remplacé par celui annexé au présent arrêté.

Article 2

Le programme du présent arrêté entre en vigueur à compter de la rentrée universitaire 2014.

Article 3

Le directeur général de l’enseignement scolaire et la directrice générale pour l’enseignement supérieur et l’insertion professionnelle sont chargés, chacun en ce qui le concerne, de l’exécution du présent arrêté, qui sera publié au Journal officiel de la République française.

Fait le 2013

Pour le ministre de l’éducation nationale et par délégation :

Le directeur général de l’enseignement scolaire, J.-P. DELAHAYE

Pour la ministre de l’enseignement supérieur et de la recherche et par délégation :

Par empêchement de la directrice générale pour l’enseignement supérieur et l’insertion

professionnelle, J.- M. JOLION

NB : Le présent arrêté et son annexe seront consultables au Bulletin officiel du ministère de

l’enseignement supérieur et de la recherche et au Bulletin officiel du ministère de l’éducation nationale du mis en ligne sur les sites www.enseignementsup-recherche.gouv.fr et www.education.gouv.fr

ANNEXE

Table des mati` eres

1 Objectifs g´ en´ eraux de la formation 3

2 Comp´ etences d´ evelopp´ ees 3

3 Architecture des programmes 4

ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU TROISI` EME SEMESTRE 5

I - Alg` ebre lin´ eaire et bilin´ eaire 5

1 - Compl´ ements d’alg` ebre lin´ eaire . . . . 5

a) Changement de base . . . . 5

b) Trace . . . . 5

2 - ´ El´ ements propres des endomorphismes et des matrices carr´ ees, r´ eduction . . . . 6

a) Vecteurs propres et espaces propres . . . . 6

b) Recherche d’´ el´ ements propres . . . . 6

c) Propri´ et´ es g´ en´ erales . . . . 6

d) R´ eduction des endomorphismes et des matrices carr´ ees . . . . 6

3 - Alg` ebre bilin´ eaire . . . . 7

a) Produit scalaire . . . . 7

b) Espaces euclidiens . . . . 7

II - Fonctions r´ eelles d´ efinies sur R

8 1 - Introduction aux fonctions d´ efinies sur R

. . . . 8

2 - Calcul diff´ erentiel . . . . 9

a) D´ eriv´ ees partielles, gradient . . . . 9

b) D´ eriv´ ee directionnelle . . . . 9

c) Recherche d’extremum : condition d’ordre 1 . . . . 9

III - Compl´ ements de probabilit´ es ; couples et n-uplets de variables al´ eatoires r´ eelles 10 1 - Compl´ ements sur les variables al´ eatoires r´ eelles . . . . 10

a) G´ en´ eralit´ es sur les variables al´ eatoires r´ eelles . . . . 10

b) Esp´ erance et conditionnement pour les variables al´ eatoires discr` etes . . . . 11

c) Compl´ ements d’analyse . . . . 11

d) Compl´ ements sur les variables al´ eatoires ` a densit´ e . . . . 11

e) Compl´ ements sur les lois usuelles . . . . 12

2 - Couples de variables al´ eatoires . . . . 13

a) Cas g´ en´ eral ; ind´ ependance . . . . 13

b) Couples de variables al´ eatoires r´ eelles discr` etes . . . . 13

c) Couples de variables al´ eatoires r´ eelles ` a densit´ e . . . . 14

3 - n-uplets de variables al´ eatoires r´ eelles ; g´ en´ eralisation des propri´ et´ es de l’esp´ erance et de la variance . . . . 15

ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU QUATRI` EME SEMESTRE 16 I - Compl´ ements d’alg` ebre bilin´ eaire 16 1 - Endomorphismes sym´ etriques d’un espace euclidien, matrices sym´ etriques . . . . 17

2 - Projection orthogonale . . . . 17

3 - R´ eduction des endomorphismes et des matrices sym´ etriques . . . . 17

II - Fonctions r´ eelles de n variables ; recherche d’extrema 18 1 - Extension de la notion de fonction r´ eelle de n variables . . . . 18

2 - Fonctions de classe C

. . . . 18

3 - Recherche d’extrema . . . . 19

a) D´ efinition . . . . 19

b) Extrema sur un ensemble ferm´ e born´ e . . . . 19

c) Condition d’ordre 1 . . . . 20

d) Exemples de recherches d’extrema sous une contrainte quelconque . . . . 20

e) Condition d’ordre 2 . . . . 21

f) Recherche d’extrema sous contrainte d’´ egalit´ es lin´ eaires . . . . 21

III - Probabilit´ es : convergences, estimation 21 1 - Convergences et approximations . . . . 21

a) Convergence en probabilit´ e . . . . 22

b) Convergence en loi . . . . 22

2 - Estimation . . . . 23

a) Estimation ponctuelle . . . . 24

b) Estimation par intervalle de confiance, intervalle de confiance asymptotique . . . . 25

TRAVAUX PRATIQUES DE MATH´ EMATIQUES AVEC SCILAB 26 I - Liste des exigibles 26 1 - Savoir-faire et comp´ etences . . . . 26

2 - Nouvelles commandes . . . . 27

II - Liste des th` emes 27 1 - Statistiques descriptives univari´ ees . . . . 27

2 - Statistiques descriptives bivari´ ees . . . . 27

3 - Chaˆınes de Markov . . . . 27

4 - Fonctions de plusieurs variables . . . . 28 5 - Simulation de lois . . . . 28 6 - Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance . . . . 29

1 Objectifs g´ en´ eraux de la formation

Les math´ ematiques jouent un rˆ ole important en sciences ´ economiques et en gestion, dans les domaines notamment de la finance ou de la gestion d’entreprise, de la finance de march´ e, des sciences sociales.

Les probabilit´ es et la statistique interviennent dans tous les secteurs de l’´ economie et dans une grande vari´ et´ e de contextes (actuariat, biologie, ´ epid´ emiologie, finance quantitative, pr´ evision ´ economique...) o` u la mod´ elisation de ph´ enom` enes al´ eatoires ` a partir de bases de donn´ ees est indispensable.

L’objectif de la formation dans les classes pr´ eparatoires ´ economiques et commerciales n’est pas de former des professionnels des math´ ematiques, mais des personnes capables d’utiliser des outils math´ e- matiques ou d’en comprendre l’usage dans diverses situations de leur parcours acad´ emique et profes- sionnel.

Les programmes d´ efinissent les objectifs de l’enseignement de ces classes et d´ ecrivent les connaissances et les capacit´ es exigibles des ´ etudiants. Ils pr´ ecisent ´ egalement certains points de terminologie et certaines notations.

Les limites du programme sont clairement pr´ ecis´ ees. Elles doivent ˆ etre respect´ ees aussi bien dans le cadre de l’enseignement en classe que dans l’´ evaluation.

Une fonction fondamentale de l’enseignement des math´ ematiques dans ces classes est de structurer la pens´ ee des ´ etudiants et de les former ` a la rigueur et ` a la logique en insistant sur les divers types de raisonnement (par ´ equivalence, implication, l’absurde, analyse-synth` ese...).

2 Comp´ etences d´ evelopp´ ees

L’enseignement de math´ ematiques en classes pr´ eparatoires ´ economiques et commerciales vise en par- ticulier ` a d´ evelopper chez les ´ etudiants les comp´ etences suivantes :

•

Rechercher et mettre en œuvre des strat´ egies ad´ equates : savoir analyser un probl` eme,

´

emettre des conjectures notamment ` a partir d’exemples, choisir des concepts et des outils math´ e- matiques pertinents.

•

Mod´ eliser : savoir conceptualiser des situations concr` etes (ph´ enom` enes al´ eatoires ou d´ eterministes) et les traduire en langage math´ ematique, ´ elaborer des algorithmes.

•

Interpr´ eter : ˆ etre en mesure d’interpr´ eter des r´ esultats math´ ematiques dans des situations concr` etes, avoir un regard critique sur ces r´ esultats.

•

Raisonner et argumenter : savoir conduire une d´ emonstration, confirmer ou infirmer des conjec- tures.

•

Maˆ ıtriser le formalisme et les techniques math´ ematiques : savoir employer les symboles math´ ematiques ` a bon escient, ˆ etre capable de mener des calculs de mani` ere pertinente et efficace.

Utiliser avec discernement l’outil informatique.

•

Communiquer par ´ ecrit et oralement : comprendre les ´ enonc´ es math´ ematiques, savoir r´ ediger

une solution rigoureuse, pr´ esenter une production math´ ematique.

3 Architecture des programmes

Le programme de math´ ematiques de deuxi` eme ann´ ee de la fili` ere EC voie scientifique se situe dans le prolongement de celui de premi` ere ann´ ee et permet d’en consolider les acquis. Son objectif est de fournir aux ´ etudiants le bagage n´ ecessaire pour suivre les enseignements sp´ ecialis´ es de math´ ematiques,

´

economie et gestion dispens´ es en Grande ´ Ecole ou en troisi` eme ann´ ee de Licence ` a l’universit´ e.

Il s’organise autour de quatre points forts :

•

En alg` ebre lin´ eaire, on introduit la r´ eduction des endormorphismes et des matrices carr´ ees ainsi que les structures euclidiennes. Ces notions d’alg` ebre lin´ eaire trouveront des applications en analyse lors de l’optimisation des fonctions de plusieurs variables, mais aussi en probabilit´ es (´ etudes de chaˆınes de Markov) et en analyse de donn´ ees (statistiques descriptives bivari´ ees).

•

En analyse, on compl` ete l’´ etude des int´ egrales g´ en´ eralis´ ees d´ ebut´ ee en premi` ere ann´ ee de classe pr´ eparatoire et on introduit les fonctions de plusieurs variables d´ efinies sur R

ainsi que la notion de gradient. Au quatri` eme semestre, on poursuit cette ´ etude dans le but de r´ esoudre des probl` emes d’optimisation avec ou sans contraintes, cruciaux en ´ economie et en finance.

•

En probabilit´ es, l’´ etude des variables al´ eatoires discr` etes, initi´ ee au lyc´ ee et poursuivie en premi` ere ann´ ee, se prolonge au troisi` eme semestre par l’´ etude des couples et des suites de variables al´ eatoires discr` etes ; au quatri` eme semestre, les notions sur les variables al´ eatoires ` a densit´ e, abord´ ees d` es la premi` ere ann´ ee, sont compl´ et´ ees. L’ensemble des notions sera pr´ esent´ e en lien avec la simulation informatique des ph´ enom` enes al´ eatoires. Un des objectifs est de permettre, en fin de formation, une approche plus rigoureuse (et une compr´ ehension plus aboutie) des m´ ethodes de l’estimation ponctuelle ou par intervalles de confiance.

•

Les travaux pratiques de math´ ematiques avec Scilab sont organis´ es autour de six th` emes faisant intervenir divers points du programme de math´ ematiques. L’objectif est d’apprendre aux ´ etudiants

`

a utiliser Scilab de mani` ere judicieuse et autonome ainsi que de leur permettre d’illustrer ou de mod´ eliser des situations concr` etes en mobilisant leurs connaissances math´ ematiques. Les savoir- faire et comp´ etences que les ´ etudiants doivent acqu´ erir lors de ces s´ eances de travaux pratiques sont sp´ ecifi´ es dans la liste des exigibles et rappel´ es en pr´ eambule de chaque th` eme. Les nouvelles notions math´ ematiques introduites dans certains th` emes ne font pas partie des exigibles du pro- gramme. L’enseignement de ces travaux pratiques se d´ eroulera sur les cr´ eneaux horaires d´ edi´ es ` a l’informatique.

Au fur et ` a mesure de la progression, on aura ` a cœur de mettre en valeur l’interaction entre les diff´ e- rentes parties du programme.

Le programme de math´ ematiques est organis´ e en deux semestres. Ce d´ ecoupage en deux semestres d’enseignement doit ˆ etre respect´ e. En revanche, au sein de chaque semestre, aucun ordre particulier n’est impos´ e et chaque professeur conduit en toute libert´ e l’organisation de son enseignement, bien que la pr´ esentation par blocs soit fortement d´ econseill´ ee.

Le programme se pr´ esente de la mani` ere suivante : dans la colonne de gauche figurent les contenus exigibles des ´ etudiants ; la colonne de droite comporte des pr´ ecisions sur ces contenus ou des exemples d’activit´ es ou d’applications.

Les d´ eveloppements formels ou trop th´ eoriques doivent ˆ etre ´ evit´ es. Ils ne correspondent pas au cœur

de formation de ces classes pr´ eparatoires.

Les r´ esultats mentionn´ es dans le programme seront admis ou d´ emontr´ es selon les choix didactiques faits par le professeur. Pour certains r´ esultats, marqu´ es comme

esentation d’une d´ e- monstration en classe est d´ econseill´ ee.

Les s´ eances de travaux dirig´ es permettent de privil´ egier la prise en main, puis la mise en œuvre par les ´ etudiants, des techniques usuelles et bien d´ elimit´ ees, inscrites dans le corps du programme. Cette maˆıtrise s’acquiert notamment par l’´ etude de probl` emes que les ´ etudiants doivent

ˆ etre capables de r´ esoudre par eux-mˆ emes.

Le logiciel Scilab comporte de nombreuses fonctionnalit´ es permettant d’illustrer simplement certaines notions math´ ematiques. Ainsi, on utilisera d` es que possible l’outil informatique en cours de math´ ema- tiques pour visualiser et illustrer les notions ´ etudi´ ees.

ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU TROISI` EME SEMESTRE

I - Alg` ebre lin´ eaire et bilin´ eaire Dans tout ce chapitre K d´ esignera R ou C.

1 - Compl´ ements d’alg` ebre lin´ eaire

a) Changement de base

Matrice d’un endomorphisme dans une base. Rappels.

Matrice de passage de

vers

. Notation P

. P

= P

.

Formules de changement de base. X

= P

X

.

Mat

(f ) = P

Mat

(f ) P

.

Matrices semblables. Deux matrices A et B carr´ ees sont semblables s’il existe une matrice inversible P telle que B = P

AP .

A et B peuvent ˆ etre interpr´ et´ ees comme les matrices d’un mˆ eme endomorphisme dans des bases diff´ erentes.

D´ efinition d’un sous-espace stable par un endo- morphisme.

Seule la d´ efinition est exigible des ´ etudiants.

b) Trace

La trace d’une matrice carr´ ee est introduite uniquement comme outil simple et efficace en vue de la recherche de valeurs propres. Tout d´ eveloppement th´ eorique est exclu. Aucun autre r´ esultat concernant la trace n’est au programme.

Trace d’une matrice carr´ ee.

Lin´ earit´ e de la trace.

Notation Tr(A).

Invariance de la trace par changement de base. Tr(A) = Tr(P

AP ).

2 - ´ El´ ements propres des endomorphismes et des matrices carr´ ees, r´ eduction

Les espaces vectoriels consid´ er´ es dans ce chapitre sont d´ efinis sur K. Dans toute cette partie, f d´ esignera un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie, et A une matrice carr´ ee.

a) Vecteurs propres et espaces propres Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d’un endomorphisme de E et d’une ma- trice carr´ ee.

Valeurs propres des matrices triangulaires.

Spectre d’un endomorphisme et d’une matrice carr´ ee.

Notations Sp(f) et Sp(A).

Si Q est un polynˆ ome, obtention d’´ el´ ements propres de Q(f ) ` a partir d’´ el´ ements propres de f .

Si f (x) = λx alors Q(f)(x) = Q(λ)x.

Si AX = λX alors Q(A)X = Q(λ)X.

b) Recherche d’´ el´ ements propres

Polynˆ omes annulateurs d’un endomorphisme, d’une matrice carr´ ee.

Exemples des homoth´ eties, des projecteurs et des sym´ etries.

Si Q est un polynˆ ome annulateur de f (respec- tivement A) et λ une valeur propre de f (res- pectivement A), alors λ est racine de Q.

Tout endomorphisme d’un espace de dimension finie admet au moins un polynˆ ome annulateur non nul.

Toute matrice carr´ ee admet au moins un poly- nˆ ome annulateur non nul.

Aucune autre connaissance sur les polynˆ omes annulateurs ne figure au programme.

c) Propri´ et´ es g´ en´ erales

Un endomorphisme d’un espace de dimension finie admet un nombre fini de valeurs propres et ses sous-espaces propres sont en somme directe.

X

λ∈Sp(f)

dim ker(f

λId

)

dim(E).

Une concat´ enation de familles libres de sous- espaces propres associ´ es ` a des valeurs propres distinctes forme une famille libre de E.

En particulier, une famille de vecteurs propres associ´ es ` a des valeurs propres distinctes est une famille libre.

Un endomorphisme d’un espace vectoriel de di- mension n a au plus n valeurs propres.

d) R´ eduction des endomorphismes et des matrices carr´ ees f est diagonalisable si et seulement s’il existe

une base

de E compos´ ee de vecteurs propres de f .

Mat

(f ) est alors une matrice diagonale.

Caract´ erisation des endomorphismes diagonali- sables ` a l’aide des dimensions des sous-espaces propres.

f est diagonalisable si et seulement si

λ∈Sp(f)

dim ker(f

λId

) = dim(E).

f est diagonalisable si et seulement si E est somme directe des sous-espaces propres de f.

Si dim(E) = n, tout endomorphisme de E ad- mettant n valeurs propres distinctes est diago- nalisable et les sous-espaces propres sont tous de dimension 1.

Matrices diagonalisables, diagonalisation d’une matrice carr´ ee.

Interpr´ etation matricielle des r´ esultats pr´ ec´ e- dents.

A est diagonalisable si et seulement s’il existe une matrice P inversible telle que P

AP est une matrice diagonale. Les colonnes de P forment une base de

(R) constitu´ ee de vec- teurs propres de A.

Application au calcul des puissances d’un endo- morphisme ou d’une matrice carr´ ee.

3 - Alg` ebre bilin´ eaire

L’objectif de ce chapitre est d’introduire les notions fondamentales de l’alg` ebre bilin´ eaire dans le cadre euclidien, utilis´ ees en particulier lors de l’´ etude des fonctions de n variables. L’´ etude des endomor- phismes sym´ etriques sera faite au quatri` eme semestre.

Les espaces vectoriels consid´ er´ es dans ce chapitre sont des R-espaces vectoriels. On identifiera R et

(R).

a) Produit scalaire

Produit scalaire, norme associ´ ee. Un produit scalaire est une forme bilin´ eaire sy- m´ etrique, d´ efinie positive.

Produit scalaire canonique sur R

; exemples de produits scalaires.

In´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz. Cas de l’´ egalit´ e.

Vecteurs orthogonaux, sous-espaces orthogo- naux.

Familles orthogonales, familles orthonormales ou orthonorm´ ees.

On ne consid` erera que des familles finies.

Toute famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre.

Th´ eor` eme de Pythagore.

b) Espaces euclidiens

Dans ce paragraphe x, y d´ esignent des vecteurs d’un espace vectoriel et X, Y sont les colonnes coor- donn´ ees correspondantes dans une base.

Espace euclidien. Un espace euclidien est un espace vectoriel de

dimension finie sur R, muni d’un produit sca- laire.

Existence de bases orthonorm´ ees. On pourra introduire la m´ ethode de l’orthonor- malisation de Schmidt.

Coordonn´ ees et norme d’un vecteur dans une base orthonorm´ ee.

x =

i

hx, e_iie_i

,

=

i

hx, e_ii²

. Expression matricielle du produit scalaire et de

la norme euclidienne en base orthonorm´ ee.

hx, yi

=

XY ;

=

XX.

Changement de bases orthonorm´ ees. La matrice de passage est orthogonale : P

=

P .

Aucune autre connaissance sur les matrices or- thogonales n’est au programme.

Suppl´ ementaire orthogonal d’un sous-espace vectoriel.

Compl´ etion d’une famille orthonorm´ ee en une base orthonorm´ ee.

Notation F

.

II - Fonctions r´ eelles d´ efinies sur R

1 - Introduction aux fonctions d´ efinies sur R

Au troisi` eme semestre, l’objectif est de confronter les ´ etudiants ` a la notion de fonction r´ eelle de n variables, aux principales d´ efinitions tout en ´ evitant les probl` emes de nature topologique. C’est pourquoi le domaine de d´ efinition des fonctions sera syst´ ematiquement R

, muni de sa structure euclidienne canonique. L’´ etude de la continuit´ e d’une fonction en un point pathologique est hors programme, ainsi que l’´ etude des recollements de formules lorsque f est d´ efinie sur R

par plusieurs formules.

D` es que possible, les notions introduites seront illustr´ ees ` a l’aide du logiciel Scilab.

Fonctions d´ efinies sur R

` a valeurs dans R. On donnera de nombreux exemples de fonctions de 2, 3 ou n variables r´ eelles.

Les fonctions polynomiales de n variables donnent des exemples simples de fonctions d´ e- finies sur R

.

Equation du graphe d’une fonction d´ ´ efinie sur R

.

Cas des fonctions affines de n variables.

Lignes de niveau pour les fonctions de deux va- riables.

On se limitera ` a des exemples simples.

Continuit´ e d’une fonction de R

dans R. Une fonction f , d´ efinie sur R

, est continue au point x

de R

si :

0,

0,

R

,

||x−

x

α =

(x)

f (x

)|

ε.

f est continue sur R

si et seulement si f est continue en tout point de R

.

Aucune difficult´ e ne sera soulev´ ee sur ce sujet.

On mettra en avant l’analogie avec la notion de continuit´ e des fonctions d’une variable vue en premi` ere ann´ ee.

Les fonctions polynomiales de n variables sont continues sur R

. R´ esultat admis.

Op´ erations sur les fonctions continues. Somme, produit, quotient.

La composition d’une fonction continue sur R

`

a valeurs dans un intervalle I de R par une fonc- tion continue de I ` a valeurs dans R est continue.

R´ esultats admis.

2 - Calcul diff´ erentiel

L’introduction des notions diff´ erentielles concernant les fonctions num´ eriques de plusieurs variables r´ eelles se fait en se limitant aux fonctions d´ efinies sur R

. La d´ etermination de la classe d’une fonction n’est pas au programme.

La recherche d’extremum est abord´ ee ici, jusqu’` a la condition n´ ecessaire du premier ordre.

Les fonctions sont d´ esormais suppos´ ees d´ efinies et continues sur R

. a) D´ eriv´ ees partielles, gradient

Fonctions partielles en un point.

D´ eriv´ ees partielles d’ordre 1. Notation ∂

(f ).

Gradient en un point x. Notation

∇(f

)(x) est l’´ el´ ement de R

´ egal ` a (∂

(f)(x), . . . , ∂

(f)(x)).

Fonctions de classe C

sur R

. Les fonctions polynomiales de n variables sont des fonctions de classe C

sur R

. R´ esultat ad- mis.

Op´ erations sur les fonctions de classe C

. Somme, produit, quotient.

La composition d’une fonction de classe C

sur R

` a valeurs dans un intervalle I de R par une fonction de classe C

sur I ` a valeurs dans R est de classe C

.

R´ esultats admis.

Pour une fonction de classe C

: existence et unicit´ e d’un d´ eveloppement limit´ e d’ordre 1 en un point.

f (x + h) = f (x) +

)(x), hi +

u ε(0) = 0 et ε continue en 0. R´ esultat admis.

b) D´ eriv´ ee directionnelle

Droite

passant par x, de vecteur directeur u. Param´ etrisation : t

x + tu, t

R.

Si f est de classe C

, d´ eriv´ ee de la fonction g d´ efinie sur R par :

g(t) = f (x + th).

g

(t) =

)(x + th), hi.

D´ eriv´ ee directionnelle de f au point x dans la direction h.

g

(0) =

)(x), hi.

On en d´ eduira une interpr´ etation g´ eom´ etrique du gradient dans le cas o` u h est un vecteur de norme 1.

c) Recherche d’extremum : condition d’ordre 1 D´ efinition d’un extremum local, d’un extremum global.

Condition n´ ecessaire du premier ordre.

Point critique.

Si une fonction f de classe C

sur R

ad- met un extremum local en un point x, alors

∇(f

)(x) = 0.

Les points o` u le gradient s’annule sont appel´ es

points critiques. Toutes les d´ eriv´ ees direction-

nelles en ces points sont nulles.

III - Compl´ ements de probabilit´ es ; couples et n-uplets de variables al´ eatoires r´ eelles

L’objectif est double :

•

d’une part, consolider les acquis de premi` ere ann´ ee concernant les variables al´ eatoires discr` etes, et enrichir le champ des probl` emes ´ etudi´ es, avec, en particulier, l’´ etude simultan´ ee de variables al´ eatoires (vecteurs al´ eatoires de R

) ;

•

d’autre part, effectuer une ´ etude ´ el´ ementaire des lois continues usuelles discr` etes ou ` a densit´ e.

On fera des liens entre certaines lois dans le cadre des approximations et des convergences, ainsi que les liens entre statistique et probabilit´ es dans le cadre de l’estimation.

Pour l’´ etude du cas discret, on pourra utiliser les notions et les ´ enonc´ es classiques suivants sur les familles sommables absolument convergentes. Tout cours th´ eorique sur les familles sommables est fortement d´ econseill´ e et on se limitera ` a une approche heuristique.

On admet que les manipulations ensemblistes classiques (produits finis, r´ eunions d´ enombrables) d’en- sembles d´ enombrables fournissent encore des ensembles d´ enombrables. On remarquera en particulier que l’ensemble N

N est d´ enombrable. Aucune difficult´ e ne sera soulev´ ee sur ces notions, qui ne sont pas exigibles des ´ etudiants, et tout exercice ou probl` eme y faisant r´ ef´ erence devra imp´ erativement les rappeler.

Soit I un ensemble d´ enombrable infini, index´ e par N sous la forme I =

n

N} o` u ϕ est une bijection de N dans I. Si la s´ erie

u

converge absolument, alors sa somme est ind´ ependante de l’indexation ϕ, et pourra ´ egalement ˆ etre not´ ee

i∈I

u

. L’´ etude de cette convergence n’est pas un objectif du programme. On dira alors que la s´ erie est absolument convergente (ou converge absolument). Toutes les op´ erations (somme, produit, regroupement par paquets, etc.) sont alors licites. Ainsi :

•

Si I =

j∈J

I

(union disjointe) avec J un ensemble d´ enombrable et I

des ensembles d´ enombrables pour tout j, alors :

i∈I

u

=

j∈J

P

k∈Ij

u

.

•

Si I et J sont des ensembles d´ enombrables, alors :

P

i∈I

u

× P

j∈J

v

!

=

(i,j)∈I×J

u

v

.

On admettra que les th´ eor` emes ou les techniques classiques concernant les s´ eries s’´ etendent dans ce cadre.

1 - Compl´ ements sur les variables al´ eatoires r´ eelles

a) G´ en´ eralit´ es sur les variables al´ eatoires r´ eelles

σ-alg` ebre

des bor´ eliens. Aucun d´ eveloppement th´ eorique sur la tribu des bor´ eliens n’est au programme.

On admettra que pour tout bor´ elien B et pour toute variable al´ eatoire r´ eelle X d´ efinie sur (Ω,

B ] appartient ` a

σ-alg` ebre associ´ ee ` a une variable al´ eatoire X. Notation

. C’est la plus petite tribu conte- nant les ´ ev´ enements [X

x] pour tout r´ eel x.

Elle repr´ esente l’information fournie par X.

Une somme, un produit de variables al´ eatoires R´ esultat admis.

b) Esp´ erance et conditionnement pour les variables al´ eatoires discr` etes

Existence d’une esp´ erance par domination. Si X et Y sont deux variables al´ eatoires dis- cr` etes v´ erifiant 0

Y presque sˆ ure- ment, et si Y admet une esp´ erance, alors X admet ´ egalement une esp´ erance. Dans ce cas,

|E(X)|6

E(Y ). R´ esultat admis.

Croissance de l’esp´ erance pour les variables al´ eatoires discr` etes.

R´ esultat admis.

Esp´ erance conditionnelle. Si A est un ´ ev´ enement de probabilit´ e non nulle, E(X|A) est l’esp´ erance de X, si elle existe, pour la probabilit´ e conditionnelle P

.

Formule de l’esp´ erance totale. Soit X une variable al´ eatoire discr` ete d´ efinie sur (Ω,

), soit (A

) un syst` eme complet d’´ ev´ e- nements et J l’ensemble des entiers n tels que P (A

)

X admet une esp´ erance pour P si et seulement si la s´ erie :

X

(x,n)∈X(Ω)×J

x P

([X = x]) P (A

) converge absolument. Dans ce cas, pour tout n dans J , l’esp´ erance E(X|A

) est d´ efinie et

E(X) =

n∈J

E(X|A

)P(A

).

c) Compl´ ements d’analyse Reste d’une int´ egrale convergente.

Pratique de l’int´ egration par parties pour les int´ egrales sur un intervalle quelconque.

L’int´ egration par parties sera pratiqu´ ee pour des int´ egrales sur un segment, on effectuera en- suite un passage ` a la limite.

Changement de variables. Si f est continue sur ]a, b[, si ϕ est une bi- jection de ]α, β[ sur ]a, b[, croissante et de classe C

, alors les int´ egrales

Z b a

f (u)du et

α

f(ϕ(t))ϕ

(t)dt sont de mˆ eme nature et en cas de convergence sont ´ egales.

Enonc´ ´ e analogue dans le cas o` u ϕ est d´ ecrois- sante.

Les changements de variables non affines de- vront ˆ etre indiqu´ es aux candidats.

d) Compl´ ements sur les variables al´ eatoires ` a densit´ e

La notion g´en´erale d’esp´erance ou des moments d’ordre sup´erieur d’une variable al´eatoire r´eelle quel- conque est hors d’atteinte dans le cadre de ce programme. N´eanmoins, on admettra que le th´eor`eme de transfert permet de calculer l’esp´erance de

g(X)

X

Exemples simples de calculs de fonctions de r´ epartition et de densit´ es de fonctions d’une va- riable al´ eatoire ` a densit´ e.

Rappels de premi` ere ann´ ee pour des densit´ es de variables al´ eatoires de la forme aX + b (a

En compl´ ement de la premi` ere ann´ ee, les ´ etu- diants devront savoir retrouver les lois de X

et ϕ(X) avec ϕ de classe C

strictement monotone sur X(Ω).

Th´ eor` eme de transfert. Si X est une variable al´ eatoire ayant une den- sit´ e f

nulle en dehors de l’intervalle ]a, b[, avec

−∞6

a < b

+∞, et si g est une fonction continue sur ]a, b[ ´ eventuellement priv´ e d’un nombre fini de points, E(g(X)) existe et est

´ egale ` a

Z b a

g(t)f

(t)dt si et seulement si cette int´ egrale converge absolument.

On pourra le d´ emontrer dans le cas o` u g est de classe C

, avec g

strictement positive (ou strictement n´ egative) et le v´ erifier dans des cas simples.

Cette d´ emonstration n’est pas exigible.

Croissance de l’esp´ erance pour les variables al´ eatoires ` a densit´ e.

R´ esultat admis.

Variance, ´ ecart-type. Variables al´ eatoires cen- tr´ ees, centr´ ees r´ eduites.

Variance d’une variable al´ eatoire suivant une loi usuelle (uniforme sur un intervalle, exponen- tielle, normale).

Exemples de variables al´ eatoires n’admettant pas d’esp´ erance ou de variance.

Moment d’ordre r (r

N

). Notation m

(X) = E(X

).

e) Compl´ ements sur les lois usuelles

Lois γ . Esp´ erance et variance d’une variable al´ eatoire suivant une loi γ .

X suit une loi γ (ν), avec ν > 0, si X admet comme densit´ e :

f

(t) =







0 si t

0

1

Γ(ν ) t

e

si t > 0, avec Γ(ν ) =

Z +∞

0

t

e

dt. Pour le calcul des moments de la loi γ, on pourra ´ etablir Γ(ν + 1) = νΓ(ν) et Γ(n + 1) = n! pour tout entier n de N.

Transform´ ees affines de variables al´ eatoires sui- vant des lois normales.

Si X suit une loi normale, et si a et b sont deux r´ eels, avec a

ea- toire aX + b suit ´ egalement une loi normale.

Propri´ et´ e de la fonction de r´ epartition de la loi normale centr´ ee r´ eduite.

Pour tout r´ eel x : Φ(−x) = 1

Φ(x).

2 - Couples de variables al´ eatoires

a) Cas g´ en´ eral ; ind´ ependance

Loi d’un couple de variables al´ eatoires r´ eelles. La loi d’un couple (X, Y ) de variables al´ eatoires r´ eelles est donn´ ee par la fonction F

d´ efinie sur R

par :

F

(x, y) = P ([X

x]

[Y

y]).

Si deux couples (X

, Y

) et (X

, Y

) ont mˆ eme loi et si g est une fonction continue sur R

`

a valeurs dans R, alors les variables al´ eatoires g(X

, Y

) et g(X

, Y

) ont la mˆ eme loi.

R´ esultat admis.

Ind´ ependance de deux variables al´ eatoires. Deux variables al´ eatoires X et Y sont ind´ epen- dantes si et seulement si pour tous r´ eels x et y : P([X

x]

[Y

y]) = P ([X

x]) P ([Y

y]).

Caract´ erisations de l’ind´ ependance de deux va- riables al´ eatoires.

•

Deux variables al´ eatoires X et Y sont ind´ e- pendantes si et seulement si

P ([X

I]

[Y

J]) = P ([X

I ])P ([Y

J]) pour tous intervalles I et J de R.

•

X et Y sont deux variables al´ eatoires ind´ e- pendantes si et seulement si tout ´ ev´ enement A de

est ind´ ependant de tout ´ ev´ enement B de

.

R´ esultats admis.

Esp´ erance conditionnelle dans le cas de l’ind´ e- pendance.

Soit X une variable al´ eatoire discr` ete. Si Y est ind´ ependante de X et si A

est de proba- bilit´ e non nulle, alors E(X) = E(X|A).

b) Couples de variables al´ eatoires r´ eelles discr` etes Caract´ erisation de la loi d’un couple (X, Y ) de variables al´ eatoires discr` etes.

La loi d’un couple (X, Y ) de variables al´ ea- toires discr` etes est caract´ eris´ ee par la donn´ ee des valeurs P ([X = x]

[Y = y]) pour tout (x, y)

X(Ω)

Y (Ω).

Caract´ erisation de l’ind´ ependance de deux va- riables al´ eatoires discr` etes.

Deux variables al´ eatoires X et Y discr` etes sont ind´ ependantes si et seulement si pour tout (x, y)

X(Ω)

Y (Ω),

P ([X = x]

[Y = y]) = P ([X = x])P ([Y = y]).

Loi de la somme de deux variables al´ eatoires dis- cr` etes et ind´ ependantes, produit de convolution discret.

P([X+Y =z]) = P

x∈X(Ω)

P([X =x])P([Y =z−x]).

Stabilit´ e des lois binomiales et de Poisson.

Si X

et X

sont deux variables al´ ea- toires ind´ ependantes suivant respective- ment des lois

, p) et

, p), alors X

+ X

,

+ n

, p).

•

Si X

et X

sont deux variables al´ eatoires in-

d´ ependantes suivant respectivement des lois

(λ

) et

(λ

), alors X

+ X

,

+ λ

).

Loi d’une variable al´ eatoire Z = g(X, Y ) o` u g est une fonction d´ efinie sur l’ensemble des va- leurs prises par le couple (X, Y ).

On remarquera que

.

On se limitera ` a des cas simples tels que min(X, Y ), max(X, Y ), X + Y .

Esp´ erance de Z = g(X, Y ) et th´ eor` eme de transfert.

Sous r´ eserve de convergence absolue :

E(Z ) =

(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω)

g(x, y)P ([X = x]

[Y = y]).

R´ esultat admis.

Lin´ earit´ e. R´ esultat admis.

Esp´ erance d’un produit de variables al´ eatoires discr` etes ind´ ependantes.

Si X et Y sont deux variables al´ eatoires dis- cr` etes ind´ ependantes admettant une esp´ erance, alors XY admet ´ egalement une esp´ erance et E(XY ) = E(X)E(Y ). On pourra admettre ce r´ esultat.

Covariance de deux variables al´ eatoires dis- cr` etes admettant un moment d’ordre 2. Propri´ e- t´ es.

Notation Cov(X, Y ).

Bilin´ earit´ e, sym´ etrie, positivit´ e de la covariance.

Formule de Huygens. Cov(X, Y ) = E(XY )

E(X)E(Y ).

Si X et Y sont ind´ ependantes et admettent un moment d’ordre 2, leur covariance est nulle. La r´ eciproque est fausse.

Cœfficient de corr´ elation lin´ eaire.

Propri´ et´ es.

Notation ρ(X, Y ).

|ρ(X, Y

)|

1. Interpr´ etation dans le cas o` u ρ(X, Y ) =

Variance de la somme de deux variables al´ ea- toires discr` etes.

c) Couples de variables al´ eatoires r´ eelles ` a densit´ e

En cas d’utilisation du produit de convolution, la preuve de sa l´ egitimit´ e n’est pas exigible des candi- dats.

Lin´ earit´ e, positivit´ e et croissance de l’esp´ erance. R´ esultat admis.

Densit´ e de la somme Z = X + Y de deux va- riables al´ eatoires ` a densit´ e ind´ ependantes, pro- duit de convolution.

Si la fonction h d´ efinie par la relation h(x) =

Z +∞

−∞

f

(t)f

(x

t)dt est d´ efinie et continue sauf peut-ˆ etre en un nombre fini de points, c’est une densit´ e de Z .

C’est le cas si f

(ou f

) est born´ ee.

Stabilit´ e de la loi γ pour la somme. Si X

et X

sont deux variables al´ eatoires ind´ e- pendantes suivant respectivement des lois γ (ν

) et γ (ν

), alors X

+ X

,

γ (ν

+ ν

).

Stabilit´ e de la loi normale pour la somme.

Esp´ erance d’un produit de variables al´ eatoires

`

a densit´ e ind´ ependantes.

Si X et Y sont deux variables al´ eatoires ` a den-

sit´ e ind´ ependantes admettant une esp´ erance,

alors XY admet ´ egalement une esp´ erance et

E(XY ) = E(X)E(Y ). R´ esultat admis.

Variance de la somme de deux variables al´ ea- toires ` a densit´ e ind´ ependantes.

R´ esultat admis.

3 - n-uplets de variables al´ eatoires r´ eelles ; g´ en´ eralisation des propri´ et´ es de l’esp´ erance et de la variance

Dans cette partie, on ´ etend la notion de loi de couple de variables al´ eatoires ` a un vecteur al´ eatoire, puis, de mani` ere intuitive, la notion d’esp´ erance ` a une somme de variables al´ eatoires admettant chacune une esp´ erance. La d´ efinition de l’esp´ erance g´ en´ erale ou des moments d’une variable al´ eatoire dans un cadre quelconque n’´ etant pas au programme, toute difficult´ e s’y ramenant est ` a ´ ecarter. On admettra que les propri´ et´ es op´ eratoires usuelles de l’esp´ erance et la variance se g´ en´ eralisent aux variables al´ eatoires quelconques.

Loi d’un vecteur al´ eatoire ` a valeurs dans R

. Loi marginale.

La loi d’un vecteur (X

, . . . , X

) de variables al´ eatoires r´ eelles est donn´ e par la fonction F

d´ efinie sur R

par :

F

(x

, . . . , x

) = P

T

i=1

[X

x

]

. Aucune difficult´ e ne sera soulev´ ee sur cette no- tion.

Caract´ erisation de la loi d’un vecteur al´ eatoire discret ` a valeurs dans R

.

Si deux vecteurs (X

, X

, . . . , X

) et (Y

, Y

, . . . , Y

) ont mˆ eme loi et si g est une fonction continue sur R

` a valeurs dans R, alors les variables al´ eatoires r´ eelles g(X

, X

, . . . , X

) et g(Y

, Y

, . . . , Y

) ont mˆ eme loi.

Aucune difficult´ e ne sera soulev´ ee.

R´ esultat admis.

Esp´ erance d’une somme de variables al´ eatoires. Si X et Y admettent une esp´ erance, X + Y ad- met une esp´ erance et E(X +Y ) = E(X)+E(Y ).

G´ en´ eralisation ` a n variables al´ eatoires.

R´ esultats admis.

Croissance de l’esp´ erance. Si X

Y presque sˆ urement et si X et Y ad- mettent une esp´ erance, alors E(X)

E(Y ).

R´ esultat admis.

Existence d’une esp´ erance par domination. Si X et Y sont deux variables al´ eatoires v´ eri- fiant 0

Y presque sˆ urement, et si Y admet une esp´ erance, alors X admet ´ egalement une esp´ erance. Dans ce cas,

E(Y ).

R´ esultat admis.

Ind´ ependance mutuelle de n variables al´ eatoires r´ eelles.

X

, . . ., X

sont mutuellement ind´ ependantes si et seulement si :

F

(x

, . . . , x

) =

n

Q

k=1

F

(x

)

pour tous r´ eels x

, . . . , x

.

Caract´ erisation de l’ind´ ependance mutuelle de n variables al´ eatoires r´ eelles.

•

X

, . . ., X

sont mutuellement ind´ ependantes si et seulement si :

P

T

i=1

X

I

=

n

Q

i=1

P ([X

I

]) pour tous intervalles I

, . . ., I

de R.

•

X

, . . ., X

sont mutuellement ind´ ependantes si et seulement si toute famille d’´ ev´ enements (A

, . . . , A

), avec A

´ el´ ement de

, est une famille d’´ ev´ enements mutuellement ind´ e- pendants.

R´ esultat admis.

Caract´ erisation de l’ind´ ependance mutuelle de n variables al´ eatoires r´ eelles discr` etes.

P

T

i=1

[X

= x

]

=

n

Q

i=1

P([X

= x

]) pour tout (x

, . . . , x

)

X

(Ω)

. . .

X

(Ω).

R´ esultat admis.

Lemme des coalitions. Si X

, X

,. . ., X

, sont ind´ ependantes, toute variable al´ eatoire fonction de X

, X

, . . ., X

est ind´ ependante de toute variable al´ eatoire fonc- tion de X

, X

,. . ., X

.

R´ esultat admis.

Esp´ erance du produit de variables al´ eatoires in- d´ ependantes.

Si X et Y admettent une esp´ erance et sont ind´ ependantes, XY admet une esp´ erance et E(XY ) = E(X)E(Y ).

G´ en´ eralisation ` a n variables al´ eatoires mutuel- lement ind´ ependantes.

R´ esultats admis.

Variance d’une somme de variables al´ eatoires ind´ ependantes.

Si X et Y sont ind´ ependantes et admettent une variance, X + Y admet une variance et V (X + Y ) = V (X) + V (Y ).

G´ en´ eralisation ` a n variables al´ eatoires mutuel- lement ind´ ependantes.

R´ esultats admis.

Somme de variables al´ eatoires de Bernoulli in- d´ ependantes de mˆ eme param` etre.

La somme de n variables al´ eatoires de Bernoulli ind´ ependantes et de mˆ eme esp´ erance p suit la loi binomiale

Sommes de variables al´ eatoires ind´ ependantes suivant des lois de Poisson, des lois binomiales.

Loi de la somme de n variables al´ eatoires ind´ e- pendantes de loi

Pour ´ etudier la somme de n variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi

enera apr` es multiplication par λ ` a une somme de n variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi

Ind´ ependance mutuelle d’une suite infinie de va- riables al´ eatoires r´ eelles discr` etes.

ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU QUATRI` EME SEMESTRE

I - Compl´ ements d’alg` ebre bilin´ eaire

1 - Endomorphismes sym´ etriques d’un espace euclidien, matrices sym´ etriques

Endomorphismes sym´ etriques. Un endomorphisme f d’un espace vectoriel eu- clidien E est sym´ etrique si et seulement si pour tout couple (x, y) de vecteurs de E, on a :

hf

(x) , yi =

Un endomorphisme est sym´ etrique si et seule- ment si sa matrice dans une base orthonorm´ ee est sym´ etrique.

Si f est un endomorphisme sym´ etrique et si F est un sous-espace vectoriel stable par f , alors F

est stable par f .

Les sous-espaces propres d’un endomorphisme sym´ etrique f d’un espace vectoriel de dimension finie sont deux ` a deux orthogonaux.

Si (u

)

sont p vecteurs propres d’un endo- morphisme sym´ etrique f associ´ es ` a des valeurs propres distinctes, alors la famille (u

)

est une famille orthogonale.

2 - Projection orthogonale

Projection orthogonale sur un sous-espace vec- toriel F .

Notation p

. Si (u

, . . . , u

) est une base orthonorm´ ee de F ,

alors :

p

(x) =

k

P

i=1

hx, u_iiu_i

.

Si

est une base orthonorm´ ee de E et si U

, . . . , U

sont les vecteurs colonnes associ´ es aux vecteurs u

, . . . , u

dans la base

Mat

(p

) =

k

X

i=1

U

U

. Si p est un projecteur, alors p est un projecteur

orthogonal si et seulement si c’est un endomor- phisme sym´ etrique.

Caract´ erisation par minimisation de la norme. v = p

(x)

v|| = min

u∈F ||x−

u||.

Application au probl` eme des moindres carr´ es : minimisation de

B

avec A

(R) de rang p, B

(R) et X

(R).

La formule donnant la valeur de X r´ ealisant le minimum n’est pas exigible.

3 - R´ eduction des endomorphismes et des matrices sym´ etriques Si E est un espace vectoriel euclidien, tout endo-

morphisme sym´ etrique de E est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont orthogonaux.

R´ esultat admis.

Il existe une base

de E orthonorm´ ee compos´ ee

de vecteurs propres de f.

Toute matrice sym´ etrique r´ eelle est diago- nalisable avec une matrice de changement de base orthogonale.

Si A est sym´ etrique r´ eelle, il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que D = P

AP =

P AP.

Si X

, . . . , X

sont les colonnes de P, alors (X

)

est une base orthonorm´ ee de

(R), form´ ee de vecteurs propres de A as- soci´ es aux valeurs propres λ

, . . . , λ

. On a :

A =

n

X

i=1

λ

X

X

.

II - Fonctions r´ eelles de n variables ; recherche d’extrema

L’objectif est d’arriver ` a une bonne maˆıtrise des probl` emes d’extrema ` a partir d’un minimum d’outils th´ eoriques. L’espace R

sera muni de la norme euclidienne usuelle.

La d´ etermination de la nature topologique d’un ensemble n’est pas un objectif du programme ; elle devra toujours ˆ etre pr´ ecis´ ee. N´ eanmoins, il est n´ ecessaire de sensibiliser les ´ etudiants aux notions d’ouverts et de ferm´ es. Les ´ etudiants ont ´ et´ e familiaris´ es avec les fonctions continues sur R

au troisi` eme semestre, aussi on s’appuiera, pour mener une initiation ` a la topologie de R

, sur les sous-ensembles de R

d´ efinis par des in´ egalit´ es du type

R

/ϕ(x) < a} ou

R

/ϕ(x)

a} o` u ϕ est une fonction continue sur R

. On donnera ´ egalement la d´ efinition d’un ensemble born´ e.

L’´ etude de fonctions de n variables ` a valeurs dans R se limitera ` a des fonctions d´ efinies sur des sous- ensembles de R

pouvant ˆ etre d´ efinis simplement (r´ eunion, intersection finies) ` a l’aide des ensembles ferm´ es ou ouverts pr´ ec´ edents.

Les r´ esultats seront ´ enonc´ es dans le cas de fonctions de n variables. Pour les d´ emonstrations, on pourra se limiter aux cas n = 2 ou n = 3.

Aucune des d´ emonstrations de ce chapitre n’est exigible des ´ etudiants.

Dans ce paragraphe, h d´ esigne un vecteur de R

et H la colonne coordonn´ ee correspondante.

1 - Extension de la notion de fonction r´ eelle de n variables

Dans ce paragraphe, on ´ etend ` a des fonctions d´ efinies sur un sous-ensemble de R

, les notions et d´ efinitions vues au troisi` eme semestre pour des fonctions d´ efinies sur R

. Toute difficult´ e concernant la d´ etermination de la classe d’une fonction est exclue.

Extension de la notion de continuit´ e aux fonc- tions d´ efinies sur un sous-ensemble de R

.

Aucune difficult´ e th´ eorique ne sera soulev´ ee.

Extension de la notion de fonctions C

aux fonc- tions d´ efinies sur un ouvert de R

.

Aucune difficult´ e th´ eorique ne sera soulev´ ee.

Pour les fonctions C

d´ efinies sur un ouvert de R

: extension des notions de d´ eriv´ ees par- tielles, gradient, d´ eriv´ ee directionnelle, d´ evelop- pement limit´ e d’ordre 1.

2 - Fonctions de classe C

D´ eriv´ ees partielles d’ordre 2. Notation ∂

(f ).

∂

(f) = ∂

(∂

(f )).

Fonctions de classe C

sur un ouvert

de R

. Les fonctions polynomiales de n variables sont

2 n

Op´ erations sur les fonctions de classe C

. Somme, produit, quotient.

La composition d’une fonction de classe C

sur

` a valeurs dans un intervalle I de R par une fonction de classe C

sur I ` a valeurs dans R est de classe C

.

R´ esultats admis.

Th´ eor` eme de Schwarz. Si f est de classe C

sur un ouvert

de R

, alors pour tout point x de

et pour tout couple (i, j) d’entiers compris entre 1 et n :

∂

(f )(x) = ∂

(f )(x).

Th´ eor` eme admis.

Matrice hessienne en un point x. Notation

(f )(x).

Si f est de classe C

sur un ouvert

matrice hessienne est sym´ etrique en tout point de

Forme quadratique d´ efinie sur R

associ´ ee ` a une matrice sym´ etrique r´ eelle A.

q(h) =

HAH.

Existence et unicit´ e d’un d´ eveloppement limit´ e d’ordre 2 d’une fonction de classe C

sur un ouvert

f (x + h) = f (x) +

)(x), hi + 1

2 q

(h) +

ε(h) o` u ε(0) = 0, ε continue en 0 et q

est la forme quadratique associ´ ee ` a la matrice hes- sienne

(f )(x).

R´ esultat admis.

D´ eriv´ ee seconde directionnelle de f au point x dans la direction h.

La d´ eriv´ ee seconde directionnelle de f au point x dans la direction h est q

(h).

Si g(t) = f (x + th), alors g

(t) = q

(h) et donc g

(0) = q

(h).

3 - Recherche d’extrema

Dans un premier temps, on ´ etendra rapidement les notions vues au troisi` eme semestre ` a une fonction d´ efinie sur un sous-ensemble de R

.

a) D´ efinition

D´ efinition d’un extremum local, d’un extremum global.

b) Extrema sur un ensemble ferm´ e born´ e Une fonction continue sur une partie ferm´ ee born´ ee admet un maximum global et un mini- mum global.

R´ esultat admis.

Application ` a l’encadrement d’une forme qua- dratique sur R

.

Si q est une forme quadratique associ´ ee ` a une matrice sym´ etrique A, alors q admet un maxi- mum global et un minimum global sur le ferm´ e born´ e

R

/||x|| = 1}.

Il existe alors deux r´ eels α et β tels que pour tout ´ el´ ement h de R

:

α||h||

q(h)

β||h||

. c) Condition d’ordre 1

Condition n´ ecessaire du premier ordre.

Point critique.

Si une fonction de classe C

sur un ouvert

de R

admet un extremum local en un point x

de

)(x

) = 0.

Les points o` u le gradient s’annule sont appel´ es points critiques. Toutes les d´ eriv´ ees direction- nelles en ces points sont nulles.

d) Exemples de recherches d’extrema sous une contrainte quelconque

Dans tout ce paragraphe,

d´ esigne un ouvert de R

et ϕ d´ esigne une fonction de classe C

sur

note alors

=

c} l’ensemble des points v´ erifiant la contrainte ϕ(x) = c. On se placera dans le cadre o` u

est non nul pour tout ´ el´ ement x de

; on dira alors que la contrainte est non critique. L’´ etude d’une fonction le long de sa fronti` ere est l’une des applications de la maximisation sous contrainte.

Sur des exemples, on sensibilisera les ´ etudiants ` a une interpr´ etation graphique de l’optimisation sous contrainte.

D´ efinition d’un extremum local ou global sous la contrainte ϕ(x) = c d’une fonction f d´ efinie sur

Condition n´ ecessaire du premier ordre pour un extremum sous la contrainte non critique

Si f est une fonction de classe C

sur

que f atteigne un extremum local en x

sous la contrainte non critique

r´ eel λ tel que :

(

ϕ(x

) = c

∇(f

)(x

) = λ

) . R´ esultat admis.

On ne soul` evera pas de difficult´ e th´ eorique et on se limitera ` a des exemples simples.

Application ` a l’encadrement d’une forme qua- dratique : cas d’´ egalit´ e.

Si q est une forme quadratique associ´ ee ` a une

matrice sym´ etrique A, alors q admet un maxi-

mum global (respectivement un minimum glo-

bal ) sous la contrainte

= 1, en un point

correspondant ` a un vecteur propre de la ma-

trice A associ´ e ` a la plus grande valeur propre

(respectivement la plus petite).