Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles

Programmes des classes

préparatoires aux Grandes Ecoles

Filière : économique et commerciale Option : Scientifique (ECS)

Discipline : Mathématiques- Informatique

Seconde année

Table des mati` eres

1 Objectifs g´ en´ eraux de la formation 3

2 Comp´ etences d´ evelopp´ ees 3

3 Architecture des programmes 4

ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU TROISI` EME SEMESTRE 5

I - Alg` ebre lin´ eaire et bilin´ eaire 5

1 - Compl´ ements d’alg` ebre lin´ eaire . . . . 5

a) Changement de base . . . . 5

b) Trace . . . . 5

2 - ´ El´ ements propres des endomorphismes et des matrices carr´ ees, r´ eduction . . . . 6

a) Vecteurs propres et espaces propres . . . . 6

b) Recherche d’´ el´ ements propres . . . . 6

c) Propri´ et´ es g´ en´ erales . . . . 6

d) R´ eduction des endomorphismes et des matrices carr´ ees . . . . 6

3 - Alg` ebre bilin´ eaire . . . . 7

a) Produit scalaire . . . . 7

b) Espaces euclidiens . . . . 7

II - Fonctions r´ eelles d´ efinies sur R

8 1 - Introduction aux fonctions d´ efinies sur R

. . . . 8

2 - Calcul diff´ erentiel . . . . 9

a) D´ eriv´ ees partielles, gradient . . . . 9

b) D´ eriv´ ee directionnelle . . . . 9

c) Recherche d’extremum : condition d’ordre 1 . . . . 9

III - Compl´ ements de probabilit´ es ; couples et n-uplets de variables al´ eatoires r´ eelles 10 1 - Compl´ ements sur les variables al´ eatoires r´ eelles . . . . 10

a) G´ en´ eralit´ es sur les variables al´ eatoires r´ eelles . . . . 10

b) Esp´ erance et conditionnement pour les variables al´ eatoires discr` etes . . . . 11

c) Compl´ ements d’analyse . . . . 11

d) Compl´ ements sur les variables al´ eatoires ` a densit´ e . . . . 11

e) Compl´ ements sur les lois usuelles . . . . 12

2 - Couples de variables al´ eatoires . . . . 13

a) Cas g´ en´ eral ; ind´ ependance . . . . 13

b) Couples de variables al´ eatoires r´ eelles discr` etes . . . . 13

c) Couples de variables al´ eatoires r´ eelles ` a densit´ e . . . . 14

3 - n-uplets de variables al´ eatoires r´ eelles ; g´ en´ eralisation des propri´ et´ es de l’esp´ erance et de la variance . . . . 15

ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU QUATRI` EME SEMESTRE 16 I - Compl´ ements d’alg` ebre bilin´ eaire 16 1 - Endomorphismes sym´ etriques d’un espace euclidien, matrices sym´ etriques . . . . 17

2 - Projection orthogonale . . . . 17

3 - R´ eduction des endomorphismes et des matrices sym´ etriques . . . . 17

II - Fonctions r´ eelles de n variables ; recherche d’extrema 18 1 - Extension de la notion de fonction r´ eelle de n variables . . . . 18

2 - Fonctions de classe C

. . . . 18

3 - Recherche d’extrema . . . . 19

a) D´ efinition . . . . 19

b) Extrema sur un ensemble ferm´ e born´ e . . . . 19

c) Condition d’ordre 1 . . . . 20

d) Exemples de recherches d’extrema sous une contrainte quelconque . . . . 20

e) Condition d’ordre 2 . . . . 21

f) Recherche d’extrema sous contrainte d’´ egalit´ es lin´ eaires . . . . 21

III - Probabilit´ es : convergences, estimation 21 1 - Convergences et approximations . . . . 21

a) Convergence en probabilit´ e . . . . 22

b) Convergence en loi . . . . 22

2 - Estimation . . . . 23

a) Estimation ponctuelle . . . . 24

b) Estimation par intervalle de confiance, intervalle de confiance asymptotique . . . . 25

TRAVAUX PRATIQUES DE MATH´ EMATIQUES AVEC SCILAB 26 I - Liste des exigibles 26 1 - Savoir-faire et comp´ etences . . . . 26

2 - Nouvelles commandes . . . . 27

II - Liste des th` emes 27 1 - Statistiques descriptives univari´ ees . . . . 27

2 - Statistiques descriptives bivari´ ees . . . . 27

3 - Chaˆınes de Markov . . . . 27

4 - Fonctions de plusieurs variables . . . . 28 5 - Simulation de lois . . . . 28 6 - Estimation ponctuelle et par intervalle de confiance . . . . 29

1 Objectifs g´ en´ eraux de la formation

Les math´ ematiques jouent un rˆ ole important en sciences ´ economiques et en gestion, dans les domaines notamment de la finance ou de la gestion d’entreprise, de la finance de march´ e, des sciences sociales.

Les probabilit´ es et la statistique interviennent dans tous les secteurs de l’´ economie et dans une grande vari´ et´ e de contextes (actuariat, biologie, ´ epid´ emiologie, finance quantitative, pr´ evision ´ economique...) o` u la mod´ elisation de ph´ enom` enes al´ eatoires ` a partir de bases de donn´ ees est indispensable.

L’objectif de la formation dans les classes pr´ eparatoires ´ economiques et commerciales n’est pas de former des professionnels des math´ ematiques, mais des personnes capables d’utiliser des outils math´ e- matiques ou d’en comprendre l’usage dans diverses situations de leur parcours acad´ emique et profes- sionnel.

Les programmes d´ efinissent les objectifs de l’enseignement de ces classes et d´ ecrivent les connaissances et les capacit´ es exigibles des ´ etudiants. Ils pr´ ecisent ´ egalement certains points de terminologie et certaines notations.

Les limites du programme sont clairement pr´ ecis´ ees. Elles doivent ˆ etre respect´ ees aussi bien dans le cadre de l’enseignement en classe que dans l’´ evaluation.

Une fonction fondamentale de l’enseignement des math´ ematiques dans ces classes est de structurer la pens´ ee des ´ etudiants et de les former ` a la rigueur et ` a la logique en insistant sur les divers types de raisonnement (par ´ equivalence, implication, l’absurde, analyse-synth` ese...).

2 Comp´ etences d´ evelopp´ ees

L’enseignement de math´ ematiques en classes pr´ eparatoires ´ economiques et commerciales vise en par- ticulier ` a d´ evelopper chez les ´ etudiants les comp´ etences suivantes :

•

Rechercher et mettre en œuvre des strat´ egies ad´ equates : savoir analyser un probl` eme,

´

emettre des conjectures notamment ` a partir d’exemples, choisir des concepts et des outils math´ e- matiques pertinents.

•

Mod´ eliser : savoir conceptualiser des situations concr` etes (ph´ enom` enes al´ eatoires ou d´ eterministes) et les traduire en langage math´ ematique, ´ elaborer des algorithmes.

•

Interpr´ eter : ˆ etre en mesure d’interpr´ eter des r´ esultats math´ ematiques dans des situations concr` etes, avoir un regard critique sur ces r´ esultats.

•

Raisonner et argumenter : savoir conduire une d´ emonstration, confirmer ou infirmer des conjec- tures.

•

Maˆ ıtriser le formalisme et les techniques math´ ematiques : savoir employer les symboles math´ ematiques ` a bon escient, ˆ etre capable de mener des calculs de mani` ere pertinente et efficace.

Utiliser avec discernement l’outil informatique.

•

Communiquer par ´ ecrit et oralement : comprendre les ´ enonc´ es math´ ematiques, savoir r´ ediger

une solution rigoureuse, pr´ esenter une production math´ ematique.

3 Architecture des programmes

Le programme de math´ ematiques de deuxi` eme ann´ ee de la fili` ere EC voie scientifique se situe dans le prolongement de celui de premi` ere ann´ ee et permet d’en consolider les acquis. Son objectif est de fournir aux ´ etudiants le bagage n´ ecessaire pour suivre les enseignements sp´ ecialis´ es de math´ ematiques,

´

economie et gestion dispens´ es en Grande ´ Ecole ou en troisi` eme ann´ ee de Licence ` a l’universit´ e.

Il s’organise autour de quatre points forts :

•

En alg` ebre lin´ eaire, on introduit la r´ eduction des endormorphismes et des matrices carr´ ees ainsi que les structures euclidiennes. Ces notions d’alg` ebre lin´ eaire trouveront des applications en analyse lors de l’optimisation des fonctions de plusieurs variables, mais aussi en probabilit´ es (´ etudes de chaˆınes de Markov) et en analyse de donn´ ees (statistiques descriptives bivari´ ees).

•

En analyse, on compl` ete l’´ etude des int´ egrales g´ en´ eralis´ ees d´ ebut´ ee en premi` ere ann´ ee de classe pr´ eparatoire et on introduit les fonctions de plusieurs variables d´ efinies sur R

ainsi que la notion de gradient. Au quatri` eme semestre, on poursuit cette ´ etude dans le but de r´ esoudre des probl` emes d’optimisation avec ou sans contraintes, cruciaux en ´ economie et en finance.

•

En probabilit´ es, l’´ etude des variables al´ eatoires discr` etes, initi´ ee au lyc´ ee et poursuivie en premi` ere ann´ ee, se prolonge au troisi` eme semestre par l’´ etude des couples et des suites de variables al´ eatoires discr` etes ; au quatri` eme semestre, les notions sur les variables al´ eatoires ` a densit´ e, abord´ ees d` es la premi` ere ann´ ee, sont compl´ et´ ees. L’ensemble des notions sera pr´ esent´ e en lien avec la simulation informatique des ph´ enom` enes al´ eatoires. Un des objectifs est de permettre, en fin de formation, une approche plus rigoureuse (et une compr´ ehension plus aboutie) des m´ ethodes de l’estimation ponctuelle ou par intervalles de confiance.

•

Les travaux pratiques de math´ ematiques avec Scilab sont organis´ es autour de six th` emes faisant intervenir divers points du programme de math´ ematiques. L’objectif est d’apprendre aux ´ etudiants

`

a utiliser Scilab de mani` ere judicieuse et autonome ainsi que de leur permettre d’illustrer ou de mod´ eliser des situations concr` etes en mobilisant leurs connaissances math´ ematiques. Les savoir- faire et comp´ etences que les ´ etudiants doivent acqu´ erir lors de ces s´ eances de travaux pratiques sont sp´ ecifi´ es dans la liste des exigibles et rappel´ es en pr´ eambule de chaque th` eme. Les nouvelles notions math´ ematiques introduites dans certains th` emes ne font pas partie des exigibles du pro- gramme. L’enseignement de ces travaux pratiques se d´ eroulera sur les cr´ eneaux horaires d´ edi´ es ` a l’informatique.

Au fur et ` a mesure de la progression, on aura ` a cœur de mettre en valeur l’interaction entre les diff´ e- rentes parties du programme.

Le programme de math´ ematiques est organis´ e en deux semestres. Ce d´ ecoupage en deux semestres d’enseignement doit ˆ etre respect´ e. En revanche, au sein de chaque semestre, aucun ordre particulier n’est impos´ e et chaque professeur conduit en toute libert´ e l’organisation de son enseignement, bien que la pr´ esentation par blocs soit fortement d´ econseill´ ee.

Le programme se pr´ esente de la mani` ere suivante : dans la colonne de gauche figurent les contenus exigibles des ´ etudiants ; la colonne de droite comporte des pr´ ecisions sur ces contenus ou des exemples d’activit´ es ou d’applications.

Les d´ eveloppements formels ou trop th´ eoriques doivent ˆ etre ´ evit´ es. Ils ne correspondent pas au cœur

de formation de ces classes pr´ eparatoires.

Les r´ esultats mentionn´ es dans le programme seront admis ou d´ emontr´ es selon les choix didactiques faits par le professeur. Pour certains r´ esultats, marqu´ es comme

esentation d’une d´ e- monstration en classe est d´ econseill´ ee.

Les s´ eances de travaux dirig´ es permettent de privil´ egier la prise en main, puis la mise en œuvre par les ´ etudiants, des techniques usuelles et bien d´ elimit´ ees, inscrites dans le corps du programme. Cette maˆıtrise s’acquiert notamment par l’´ etude de probl` emes que les ´ etudiants doivent

ˆ etre capables de r´ esoudre par eux-mˆ emes.

Le logiciel Scilab comporte de nombreuses fonctionnalit´ es permettant d’illustrer simplement certaines notions math´ ematiques. Ainsi, on utilisera d` es que possible l’outil informatique en cours de math´ ema- tiques pour visualiser et illustrer les notions ´ etudi´ ees.

ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU TROISI` EME SEMESTRE

I - Alg` ebre lin´ eaire et bilin´ eaire Dans tout ce chapitre K d´ esignera R ou C.

1 - Compl´ ements d’alg` ebre lin´ eaire

a) Changement de base

Matrice d’un endomorphisme dans une base. Rappels.

Matrice de passage de

vers

. Notation P

. P

= P

.

Formules de changement de base. X

= P

X

.

Mat

(f ) = P

Mat

(f ) P

.

Matrices semblables. Deux matrices A et B carr´ ees sont semblables s’il existe une matrice inversible P telle que B = P

AP .

A et B peuvent ˆ etre interpr´ et´ ees comme les matrices d’un mˆ eme endomorphisme dans des bases diff´ erentes.

D´ efinition d’un sous-espace stable par un endo- morphisme.

Seule la d´ efinition est exigible des ´ etudiants.

b) Trace

La trace d’une matrice carr´ ee est introduite uniquement comme outil simple et efficace en vue de la recherche de valeurs propres. Tout d´ eveloppement th´ eorique est exclu. Aucun autre r´ esultat concernant la trace n’est au programme.

Trace d’une matrice carr´ ee.

Lin´ earit´ e de la trace.

Notation Tr(A).

Invariance de la trace par changement de base. Tr(A) = Tr(P

AP ).

2 - ´ El´ ements propres des endomorphismes et des matrices carr´ ees, r´ eduction

Les espaces vectoriels consid´ er´ es dans ce chapitre sont d´ efinis sur K. Dans toute cette partie, f d´ esignera un endomorphisme d’un espace vectoriel E de dimension finie, et A une matrice carr´ ee.

a) Vecteurs propres et espaces propres Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces propres d’un endomorphisme de E et d’une ma- trice carr´ ee.

Valeurs propres des matrices triangulaires.

Spectre d’un endomorphisme et d’une matrice carr´ ee.

Notations Sp(f) et Sp(A).

Si Q est un polynˆ ome, obtention d’´ el´ ements propres de Q(f ) ` a partir d’´ el´ ements propres de f .

Si f (x) = λx alors Q(f)(x) = Q(λ)x.

Si AX = λX alors Q(A)X = Q(λ)X.

b) Recherche d’´ el´ ements propres

Polynˆ omes annulateurs d’un endomorphisme, d’une matrice carr´ ee.

Exemples des homoth´ eties, des projecteurs et des sym´ etries.

Si Q est un polynˆ ome annulateur de f (respec- tivement A) et λ une valeur propre de f (res- pectivement A), alors λ est racine de Q.

Tout endomorphisme d’un espace de dimension finie admet au moins un polynˆ ome annulateur non nul.

Toute matrice carr´ ee admet au moins un poly- nˆ ome annulateur non nul.

Aucune autre connaissance sur les polynˆ omes annulateurs ne figure au programme.

c) Propri´ et´ es g´ en´ erales

Un endomorphisme d’un espace de dimension finie admet un nombre fini de valeurs propres et ses sous-espaces propres sont en somme directe.

X

λ∈Sp(f)

dim ker(f

λId

)

dim(E).

Une concat´ enation de familles libres de sous- espaces propres associ´ es ` a des valeurs propres distinctes forme une famille libre de E.

En particulier, une famille de vecteurs propres associ´ es ` a des valeurs propres distinctes est une famille libre.

Un endomorphisme d’un espace vectoriel de di- mension n a au plus n valeurs propres.

d) R´ eduction des endomorphismes et des matrices carr´ ees f est diagonalisable si et seulement s’il existe

une base

de E compos´ ee de vecteurs propres de f .

Mat

(f ) est alors une matrice diagonale.

Caract´ erisation des endomorphismes diagonali- sables ` a l’aide des dimensions des sous-espaces propres.

f est diagonalisable si et seulement si

λ∈Sp(f)

dim ker(f

λId

) = dim(E).

f est diagonalisable si et seulement si E est somme directe des sous-espaces propres de f.

Si dim(E) = n, tout endomorphisme de E ad- mettant n valeurs propres distinctes est diago- nalisable et les sous-espaces propres sont tous de dimension 1.

Matrices diagonalisables, diagonalisation d’une matrice carr´ ee.

Interpr´ etation matricielle des r´ esultats pr´ ec´ e- dents.

A est diagonalisable si et seulement s’il existe une matrice P inversible telle que P

AP est une matrice diagonale. Les colonnes de P forment une base de

(R) constitu´ ee de vec- teurs propres de A.

Application au calcul des puissances d’un endo- morphisme ou d’une matrice carr´ ee.

3 - Alg` ebre bilin´ eaire

L’objectif de ce chapitre est d’introduire les notions fondamentales de l’alg` ebre bilin´ eaire dans le cadre euclidien, utilis´ ees en particulier lors de l’´ etude des fonctions de n variables. L’´ etude des endomor- phismes sym´ etriques sera faite au quatri` eme semestre.

Les espaces vectoriels consid´ er´ es dans ce chapitre sont des R-espaces vectoriels. On identifiera R et

(R).

a) Produit scalaire

Produit scalaire, norme associ´ ee. Un produit scalaire est une forme bilin´ eaire sy- m´ etrique, d´ efinie positive.

Produit scalaire canonique sur R

; exemples de produits scalaires.

In´ egalit´ e de Cauchy-Schwarz. Cas de l’´ egalit´ e.

Vecteurs orthogonaux, sous-espaces orthogo- naux.

Familles orthogonales, familles orthonormales ou orthonorm´ ees.

On ne consid` erera que des familles finies.

Toute famille orthogonale ne contenant pas le vecteur nul est libre.

Th´ eor` eme de Pythagore.

b) Espaces euclidiens

Dans ce paragraphe x, y d´ esignent des vecteurs d’un espace vectoriel et X, Y sont les colonnes coor- donn´ ees correspondantes dans une base.

Espace euclidien. Un espace euclidien est un espace vectoriel de

dimension finie sur R, muni d’un produit sca- laire.

Existence de bases orthonorm´ ees. On pourra introduire la m´ ethode de l’orthonor- malisation de Schmidt.

Coordonn´ ees et norme d’un vecteur dans une base orthonorm´ ee.

x =

i

hx, e_iie_i

,

=

i

hx, e_ii²

. Expression matricielle du produit scalaire et de

la norme euclidienne en base orthonorm´ ee.

hx, yi

=

XY ;

=

XX.

Changement de bases orthonorm´ ees. La matrice de passage est orthogonale : P

=

P .

Aucune autre connaissance sur les matrices or- thogonales n’est au programme.

Suppl´ ementaire orthogonal d’un sous-espace vectoriel.

Compl´ etion d’une famille orthonorm´ ee en une base orthonorm´ ee.

Notation F

.

II - Fonctions r´ eelles d´ efinies sur R

1 - Introduction aux fonctions d´ efinies sur R

Au troisi` eme semestre, l’objectif est de confronter les ´ etudiants ` a la notion de fonction r´ eelle de n variables, aux principales d´ efinitions tout en ´ evitant les probl` emes de nature topologique. C’est pourquoi le domaine de d´ efinition des fonctions sera syst´ ematiquement R

, muni de sa structure euclidienne canonique. L’´ etude de la continuit´ e d’une fonction en un point pathologique est hors programme, ainsi que l’´ etude des recollements de formules lorsque f est d´ efinie sur R

par plusieurs formules.

D` es que possible, les notions introduites seront illustr´ ees ` a l’aide du logiciel Scilab.

Fonctions d´ efinies sur R

` a valeurs dans R. On donnera de nombreux exemples de fonctions de 2, 3 ou n variables r´ eelles.

Les fonctions polynomiales de n variables donnent des exemples simples de fonctions d´ e- finies sur R

.

Equation du graphe d’une fonction d´ ´ efinie sur R

.

Cas des fonctions affines de n variables.

Lignes de niveau pour les fonctions de deux va- riables.

On se limitera ` a des exemples simples.

Continuit´ e d’une fonction de R

dans R. Une fonction f , d´ efinie sur R

, est continue au point x

de R

si :

0,

0,

R

,

||x−

x

α =

(x)

f (x

)|

ε.

f est continue sur R

si et seulement si f est continue en tout point de R

.

Aucune difficult´ e ne sera soulev´ ee sur ce sujet.

On mettra en avant l’analogie avec la notion de continuit´ e des fonctions d’une variable vue en premi` ere ann´ ee.

Les fonctions polynomiales de n variables sont continues sur R

. R´ esultat admis.

Op´ erations sur les fonctions continues. Somme, produit, quotient.

La composition d’une fonction continue sur R

`

a valeurs dans un intervalle I de R par une fonc- tion continue de I ` a valeurs dans R est continue.

R´ esultats admis.

2 - Calcul diff´ erentiel

L’introduction des notions diff´ erentielles concernant les fonctions num´ eriques de plusieurs variables r´ eelles se fait en se limitant aux fonctions d´ efinies sur R

. La d´ etermination de la classe d’une fonction n’est pas au programme.

La recherche d’extremum est abord´ ee ici, jusqu’` a la condition n´ ecessaire du premier ordre.

Les fonctions sont d´ esormais suppos´ ees d´ efinies et continues sur R

. a) D´ eriv´ ees partielles, gradient

Fonctions partielles en un point.

D´ eriv´ ees partielles d’ordre 1. Notation ∂

(f ).

Gradient en un point x. Notation

∇(f

)(x) est l’´ el´ ement de R

´ egal ` a (∂

(f)(x), . . . , ∂

(f)(x)).

Fonctions de classe C

sur R

. Les fonctions polynomiales de n variables sont des fonctions de classe C

sur R

. R´ esultat ad- mis.

Op´ erations sur les fonctions de classe C

. Somme, produit, quotient.

La composition d’une fonction de classe C

sur R

` a valeurs dans un intervalle I de R par une fonction de classe C

sur I ` a valeurs dans R est de classe C

.

R´ esultats admis.

Pour une fonction de classe C

: existence et unicit´ e d’un d´ eveloppement limit´ e d’ordre 1 en un point.

f (x + h) = f (x) +

)(x), hi +

u ε(0) = 0 et ε continue en 0. R´ esultat admis.

b) D´ eriv´ ee directionnelle

Droite

passant par x, de vecteur directeur u. Param´ etrisation : t

x + tu, t

R.

Si f est de classe C

, d´ eriv´ ee de la fonction g d´ efinie sur R par :

g(t) = f (x + th).

g

(t) =

)(x + th), hi.

D´ eriv´ ee directionnelle de f au point x dans la direction h.

g

(0) =

)(x), hi.

On en d´ eduira une interpr´ etation g´ eom´ etrique du gradient dans le cas o` u h est un vecteur de norme 1.

c) Recherche d’extremum : condition d’ordre 1 D´ efinition d’un extremum local, d’un extremum global.

Condition n´ ecessaire du premier ordre.

Point critique.

Si une fonction f de classe C

sur R

ad- met un extremum local en un point x, alors

∇(f

)(x) = 0.

Les points o` u le gradient s’annule sont appel´ es

points critiques. Toutes les d´ eriv´ ees direction-

nelles en ces points sont nulles.

III - Compl´ ements de probabilit´ es ; couples et n-uplets de variables al´ eatoires r´ eelles

L’objectif est double :

•

d’une part, consolider les acquis de premi` ere ann´ ee concernant les variables al´ eatoires discr` etes, et enrichir le champ des probl` emes ´ etudi´ es, avec, en particulier, l’´ etude simultan´ ee de variables al´ eatoires (vecteurs al´ eatoires de R

) ;

•

d’autre part, effectuer une ´ etude ´ el´ ementaire des lois continues usuelles discr` etes ou ` a densit´ e.

On fera des liens entre certaines lois dans le cadre des approximations et des convergences, ainsi que les liens entre statistique et probabilit´ es dans le cadre de l’estimation.

Pour l’´ etude du cas discret, on pourra utiliser les notions et les ´ enonc´ es classiques suivants sur les familles sommables absolument convergentes. Tout cours th´ eorique sur les familles sommables est fortement d´ econseill´ e et on se limitera ` a une approche heuristique.

On admet que les manipulations ensemblistes classiques (produits finis, r´ eunions d´ enombrables) d’en- sembles d´ enombrables fournissent encore des ensembles d´ enombrables. On remarquera en particulier que l’ensemble N

N est d´ enombrable. Aucune difficult´ e ne sera soulev´ ee sur ces notions, qui ne sont pas exigibles des ´ etudiants, et tout exercice ou probl` eme y faisant r´ ef´ erence devra imp´ erativement les rappeler.

Soit I un ensemble d´ enombrable infini, index´ e par N sous la forme I =

n

N} o` u ϕ est une bijection de N dans I. Si la s´ erie

u

converge absolument, alors sa somme est ind´ ependante de l’indexation ϕ, et pourra ´ egalement ˆ etre not´ ee

i∈I

u

. L’´ etude de cette convergence n’est pas un objectif du programme. On dira alors que la s´ erie est absolument convergente (ou converge absolument). Toutes les op´ erations (somme, produit, regroupement par paquets, etc.) sont alors licites. Ainsi :

•

Si I =

j∈J

I

(union disjointe) avec J un ensemble d´ enombrable et I

des ensembles d´ enombrables pour tout j, alors :

i∈I

u

=

j∈J

P

k∈Ij

u

.

•

Si I et J sont des ensembles d´ enombrables, alors :

P

i∈I

u

× P

j∈J

v

!

=

(i,j)∈I×J

u

v

.

On admettra que les th´ eor` emes ou les techniques classiques concernant les s´ eries s’´ etendent dans ce cadre.

1 - Compl´ ements sur les variables al´ eatoires r´ eelles

a) G´ en´ eralit´ es sur les variables al´ eatoires r´ eelles

σ-alg` ebre

des bor´ eliens. Aucun d´ eveloppement th´ eorique sur la tribu des bor´ eliens n’est au programme.

On admettra que pour tout bor´ elien B et pour toute variable al´ eatoire r´ eelle X d´ efinie sur (Ω,

B ] appartient ` a

σ-alg` ebre associ´ ee ` a une variable al´ eatoire X. Notation

. C’est la plus petite tribu conte- nant les ´ ev´ enements [X

x] pour tout r´ eel x.

Elle repr´ esente l’information fournie par X.

Une somme, un produit de variables al´ eatoires sont des variables al´ eatoires.

R´ esultat admis.

b) Esp´ erance et conditionnement pour les variables al´ eatoires discr` etes

Existence d’une esp´ erance par domination. Si X et Y sont deux variables al´ eatoires dis- cr` etes v´ erifiant 0

Y presque sˆ ure- ment, et si Y admet une esp´ erance, alors X admet ´ egalement une esp´ erance. Dans ce cas,

|E(X)|6

E(Y ). R´ esultat admis.

Croissance de l’esp´ erance pour les variables al´ eatoires discr` etes.

R´ esultat admis.

Esp´ erance conditionnelle. Si A est un ´ ev´ enement de probabilit´ e non nulle, E(X|A) est l’esp´ erance de X, si elle existe, pour la probabilit´ e conditionnelle P

.

Formule de l’esp´ erance totale. Soit X une variable al´ eatoire discr` ete d´ efinie sur (Ω,

), soit (A

) un syst` eme complet d’´ ev´ e- nements et J l’ensemble des entiers n tels que P (A

)

X admet une esp´ erance pour P si et seulement si la s´ erie :

X

(x,n)∈X(Ω)×J

x P

([X = x]) P (A

) converge absolument. Dans ce cas, pour tout n dans J , l’esp´ erance E(X|A

) est d´ efinie et

E(X) =

n∈J

E(X|A

)P(A

).

c) Compl´ ements d’analyse Reste d’une int´ egrale convergente.

Pratique de l’int´ egration par parties pour les int´ egrales sur un intervalle quelconque.

L’int´ egration par parties sera pratiqu´ ee pour des int´ egrales sur un segment, on effectuera en- suite un passage ` a la limite.

Changement de variables. Si f est continue sur ]a, b[, si ϕ est une bi- jection de ]α, β[ sur ]a, b[, croissante et de classe C

, alors les int´ egrales

Z b a

f (u)du et

α

f(ϕ(t))ϕ

(t)dt sont de mˆ eme nature et en cas de convergence sont ´ egales.

Enonc´ ´ e analogue dans le cas o` u ϕ est d´ ecrois- sante.

Les changements de variables non affines de- vront ˆ etre indiqu´ es aux candidats.

d) Compl´ ements sur les variables al´ eatoires ` a densit´ e

La notion g´en´erale d’esp´erance ou des moments d’ordre sup´erieur d’une variable al´eatoire r´eelle quel- conque est hors d’atteinte dans le cadre de ce programme. N´eanmoins, on admettra que le th´eor`eme de transfert permet de calculer l’esp´erance de

g(X)

X

Exemples simples de calculs de fonctions de r´ epartition et de densit´ es de fonctions d’une va- riable al´ eatoire ` a densit´ e.

Rappels de premi` ere ann´ ee pour des densit´ es de variables al´ eatoires de la forme aX + b (a

En compl´ ement de la premi` ere ann´ ee, les ´ etu- diants devront savoir retrouver les lois de X

et ϕ(X) avec ϕ de classe C

strictement monotone sur X(Ω).

Th´ eor` eme de transfert. Si X est une variable al´ eatoire ayant une den- sit´ e f

nulle en dehors de l’intervalle ]a, b[, avec

−∞6

a < b

+∞, et si g est une fonction continue sur ]a, b[ ´ eventuellement priv´ e d’un nombre fini de points, E(g(X)) existe et est

´ egale ` a

Z b a

g(t)f

(t)dt si et seulement si cette int´ egrale converge absolument.

On pourra le d´ emontrer dans le cas o` u g est de classe C

, avec g

strictement positive (ou strictement n´ egative) et le v´ erifier dans des cas simples.

Cette d´ emonstration n’est pas exigible.

Croissance de l’esp´ erance pour les variables al´ eatoires ` a densit´ e.

R´ esultat admis.

Variance, ´ ecart-type. Variables al´ eatoires cen- tr´ ees, centr´ ees r´ eduites.

Variance d’une variable al´ eatoire suivant une loi usuelle (uniforme sur un intervalle, exponen- tielle, normale).

Exemples de variables al´ eatoires n’admettant pas d’esp´ erance ou de variance.

Moment d’ordre r (r

N

). Notation m

(X) = E(X

).

e) Compl´ ements sur les lois usuelles

Lois γ . Esp´ erance et variance d’une variable al´ eatoire suivant une loi γ .

X suit une loi γ (ν), avec ν > 0, si X admet comme densit´ e :

f

(t) =







0 si t

0

1

Γ(ν ) t

e

si t > 0, avec Γ(ν ) =

Z +∞

0

t

e

dt. Pour le calcul des moments de la loi γ, on pourra ´ etablir Γ(ν + 1) = νΓ(ν) et Γ(n + 1) = n! pour tout entier n de N.

Transform´ ees affines de variables al´ eatoires sui- vant des lois normales.

Si X suit une loi normale, et si a et b sont deux r´ eels, avec a

ea- toire aX + b suit ´ egalement une loi normale.

Propri´ et´ e de la fonction de r´ epartition de la loi normale centr´ ee r´ eduite.

Pour tout r´ eel x : Φ(−x) = 1

Φ(x).

2 - Couples de variables al´ eatoires

a) Cas g´ en´ eral ; ind´ ependance

Loi d’un couple de variables al´ eatoires r´ eelles. La loi d’un couple (X, Y ) de variables al´ eatoires r´ eelles est donn´ ee par la fonction F

d´ efinie sur R

par :

F

(x, y) = P ([X

x]

[Y

y]).

Si deux couples (X

, Y

) et (X

, Y

) ont mˆ eme loi et si g est une fonction continue sur R

`

a valeurs dans R, alors les variables al´ eatoires g(X

, Y

) et g(X

, Y

) ont la mˆ eme loi.

R´ esultat admis.

Ind´ ependance de deux variables al´ eatoires. Deux variables al´ eatoires X et Y sont ind´ epen- dantes si et seulement si pour tous r´ eels x et y : P([X

x]

[Y

y]) = P ([X

x]) P ([Y

y]).

Caract´ erisations de l’ind´ ependance de deux va- riables al´ eatoires.

•

Deux variables al´ eatoires X et Y sont ind´ e- pendantes si et seulement si

P ([X

I]

[Y

J]) = P ([X

I ])P ([Y

J]) pour tous intervalles I et J de R.

•

X et Y sont deux variables al´ eatoires ind´ e- pendantes si et seulement si tout ´ ev´ enement A de

est ind´ ependant de tout ´ ev´ enement B de

.

R´ esultats admis.

Esp´ erance conditionnelle dans le cas de l’ind´ e- pendance.

Soit X une variable al´ eatoire discr` ete. Si Y est ind´ ependante de X et si A

est de proba- bilit´ e non nulle, alors E(X) = E(X|A).

b) Couples de variables al´ eatoires r´ eelles discr` etes Caract´ erisation de la loi d’un couple (X, Y ) de variables al´ eatoires discr` etes.

La loi d’un couple (X, Y ) de variables al´ ea- toires discr` etes est caract´ eris´ ee par la donn´ ee des valeurs P ([X = x]

[Y = y]) pour tout (x, y)

X(Ω)

Y (Ω).

Caract´ erisation de l’ind´ ependance de deux va- riables al´ eatoires discr` etes.

Deux variables al´ eatoires X et Y discr` etes sont ind´ ependantes si et seulement si pour tout (x, y)

X(Ω)

Y (Ω),

P ([X = x]

[Y = y]) = P ([X = x])P ([Y = y]).

Loi de la somme de deux variables al´ eatoires dis- cr` etes et ind´ ependantes, produit de convolution discret.

P([X+Y =z]) = P

x∈X(Ω)

P([X =x])P([Y =z−x]).

Stabilit´ e des lois binomiales et de Poisson.

Si X

et X

sont deux variables al´ ea- toires ind´ ependantes suivant respective- ment des lois

, p) et

, p), alors X

+ X

,

+ n

, p).

•

Si X

et X

sont deux variables al´ eatoires in-

d´ ependantes suivant respectivement des lois

(λ

) et

(λ

), alors X

+ X

,

+ λ

).

Loi d’une variable al´ eatoire Z = g(X, Y ) o` u g est une fonction d´ efinie sur l’ensemble des va- leurs prises par le couple (X, Y ).

On remarquera que

.

On se limitera ` a des cas simples tels que min(X, Y ), max(X, Y ), X + Y .

Esp´ erance de Z = g(X, Y ) et th´ eor` eme de transfert.

Sous r´ eserve de convergence absolue :

E(Z ) =

(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω)

g(x, y)P ([X = x]

[Y = y]).

R´ esultat admis.

Lin´ earit´ e. R´ esultat admis.

Esp´ erance d’un produit de variables al´ eatoires discr` etes ind´ ependantes.

Si X et Y sont deux variables al´ eatoires dis- cr` etes ind´ ependantes admettant une esp´ erance, alors XY admet ´ egalement une esp´ erance et E(XY ) = E(X)E(Y ). On pourra admettre ce r´ esultat.

Covariance de deux variables al´ eatoires dis- cr` etes admettant un moment d’ordre 2. Propri´ e- t´ es.

Notation Cov(X, Y ).

Bilin´ earit´ e, sym´ etrie, positivit´ e de la covariance.

Formule de Huygens. Cov(X, Y ) = E(XY )

E(X)E(Y ).

Si X et Y sont ind´ ependantes et admettent un moment d’ordre 2, leur covariance est nulle. La r´ eciproque est fausse.

Cœfficient de corr´ elation lin´ eaire.

Propri´ et´ es.

Notation ρ(X, Y ).

|ρ(X, Y

)|

1. Interpr´ etation dans le cas o` u ρ(X, Y ) =

Variance de la somme de deux variables al´ ea- toires discr` etes.

c) Couples de variables al´ eatoires r´ eelles ` a densit´ e

En cas d’utilisation du produit de convolution, la preuve de sa l´ egitimit´ e n’est pas exigible des candi- dats.

Lin´ earit´ e, positivit´ e et croissance de l’esp´ erance. R´ esultat admis.

Densit´ e de la somme Z = X + Y de deux va- riables al´ eatoires ` a densit´ e ind´ ependantes, pro- duit de convolution.

Si la fonction h d´ efinie par la relation h(x) =

Z +∞

−∞

f

(t)f

(x

t)dt est d´ efinie et continue sauf peut-ˆ etre en un nombre fini de points, c’est une densit´ e de Z .

C’est le cas si f

(ou f

) est born´ ee.

Stabilit´ e de la loi γ pour la somme. Si X

et X

sont deux variables al´ eatoires ind´ e- pendantes suivant respectivement des lois γ (ν

) et γ (ν

), alors X

+ X

,

γ (ν

+ ν

).

Stabilit´ e de la loi normale pour la somme.

Esp´ erance d’un produit de variables al´ eatoires

`

a densit´ e ind´ ependantes.

Si X et Y sont deux variables al´ eatoires ` a den-

sit´ e ind´ ependantes admettant une esp´ erance,

alors XY admet ´ egalement une esp´ erance et

E(XY ) = E(X)E(Y ). R´ esultat admis.

Variance de la somme de deux variables al´ ea- toires ` a densit´ e ind´ ependantes.

R´ esultat admis.

3 - n-uplets de variables al´ eatoires r´ eelles ; g´ en´ eralisation des propri´ et´ es de l’esp´ erance et de la variance

Dans cette partie, on ´ etend la notion de loi de couple de variables al´ eatoires ` a un vecteur al´ eatoire, puis, de mani` ere intuitive, la notion d’esp´ erance ` a une somme de variables al´ eatoires admettant chacune une esp´ erance. La d´ efinition de l’esp´ erance g´ en´ erale ou des moments d’une variable al´ eatoire dans un cadre quelconque n’´ etant pas au programme, toute difficult´ e s’y ramenant est ` a ´ ecarter. On admettra que les propri´ et´ es op´ eratoires usuelles de l’esp´ erance et la variance se g´ en´ eralisent aux variables al´ eatoires quelconques.

Loi d’un vecteur al´ eatoire ` a valeurs dans R

. Loi marginale.

La loi d’un vecteur (X

, . . . , X

) de variables al´ eatoires r´ eelles est donn´ e par la fonction F

d´ efinie sur R

par :

F

(x

, . . . , x

) = P

T

i=1

[X

x

]

. Aucune difficult´ e ne sera soulev´ ee sur cette no- tion.

Caract´ erisation de la loi d’un vecteur al´ eatoire discret ` a valeurs dans R

.

Si deux vecteurs (X

, X

, . . . , X

) et (Y

, Y

, . . . , Y

) ont mˆ eme loi et si g est une fonction continue sur R

` a valeurs dans R, alors les variables al´ eatoires r´ eelles g(X

, X

, . . . , X

) et g(Y

, Y

, . . . , Y

) ont mˆ eme loi.

Aucune difficult´ e ne sera soulev´ ee.

R´ esultat admis.

Esp´ erance d’une somme de variables al´ eatoires. Si X et Y admettent une esp´ erance, X + Y ad- met une esp´ erance et E(X +Y ) = E(X)+E(Y ).

G´ en´ eralisation ` a n variables al´ eatoires.

R´ esultats admis.

Croissance de l’esp´ erance. Si X

Y presque sˆ urement et si X et Y ad- mettent une esp´ erance, alors E(X)

E(Y ).

R´ esultat admis.

Existence d’une esp´ erance par domination. Si X et Y sont deux variables al´ eatoires v´ eri- fiant 0

Y presque sˆ urement, et si Y admet une esp´ erance, alors X admet ´ egalement une esp´ erance. Dans ce cas,

E(Y ).

R´ esultat admis.

Ind´ ependance mutuelle de n variables al´ eatoires r´ eelles.

X

, . . ., X

sont mutuellement ind´ ependantes si et seulement si :

F

(x

, . . . , x

) =

n

Q

k=1

F

(x

)

pour tous r´ eels x

, . . . , x

.

Caract´ erisation de l’ind´ ependance mutuelle de n variables al´ eatoires r´ eelles.

•

X

, . . ., X

sont mutuellement ind´ ependantes si et seulement si :

P

T

i=1

X

I

=

n

Q

i=1

P ([X

I

]) pour tous intervalles I

, . . ., I

de R.

•

X

, . . ., X

sont mutuellement ind´ ependantes si et seulement si toute famille d’´ ev´ enements (A

, . . . , A

), avec A

´ el´ ement de

, est une famille d’´ ev´ enements mutuellement ind´ e- pendants.

R´ esultat admis.

Caract´ erisation de l’ind´ ependance mutuelle de n variables al´ eatoires r´ eelles discr` etes.

P

T

i=1

[X

= x

]

=

n

Q

i=1

P([X

= x

]) pour tout (x

, . . . , x

)

X

(Ω)

. . .

X

(Ω).

R´ esultat admis.

Lemme des coalitions. Si X

, X

,. . ., X

, sont ind´ ependantes, toute variable al´ eatoire fonction de X

, X

, . . ., X

est ind´ ependante de toute variable al´ eatoire fonc- tion de X

, X

,. . ., X

.

R´ esultat admis.

Esp´ erance du produit de variables al´ eatoires in- d´ ependantes.

Si X et Y admettent une esp´ erance et sont ind´ ependantes, XY admet une esp´ erance et E(XY ) = E(X)E(Y ).

G´ en´ eralisation ` a n variables al´ eatoires mutuel- lement ind´ ependantes.

R´ esultats admis.

Variance d’une somme de variables al´ eatoires ind´ ependantes.

Si X et Y sont ind´ ependantes et admettent une variance, X + Y admet une variance et V (X + Y ) = V (X) + V (Y ).

G´ en´ eralisation ` a n variables al´ eatoires mutuel- lement ind´ ependantes.

R´ esultats admis.

Somme de variables al´ eatoires de Bernoulli in- d´ ependantes de mˆ eme param` etre.

La somme de n variables al´ eatoires de Bernoulli ind´ ependantes et de mˆ eme esp´ erance p suit la loi binomiale

Sommes de variables al´ eatoires ind´ ependantes suivant des lois de Poisson, des lois binomiales.

Loi de la somme de n variables al´ eatoires ind´ e- pendantes de loi

Pour ´ etudier la somme de n variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi

enera apr` es multiplication par λ ` a une somme de n variables al´ eatoires ind´ ependantes de loi

Ind´ ependance mutuelle d’une suite infinie de va- riables al´ eatoires r´ eelles discr` etes.

ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU QUATRI` EME SEMESTRE

I - Compl´ ements d’alg` ebre bilin´ eaire

1 - Endomorphismes sym´ etriques d’un espace euclidien, matrices sym´ etriques

Endomorphismes sym´ etriques. Un endomorphisme f d’un espace vectoriel eu- clidien E est sym´ etrique si et seulement si pour tout couple (x, y) de vecteurs de E, on a :

hf

(x) , yi =

Un endomorphisme est sym´ etrique si et seule- ment si sa matrice dans une base orthonorm´ ee est sym´ etrique.

Si f est un endomorphisme sym´ etrique et si F est un sous-espace vectoriel stable par f , alors F

est stable par f .

Les sous-espaces propres d’un endomorphisme sym´ etrique f d’un espace vectoriel de dimension finie sont deux ` a deux orthogonaux.

Si (u

)

sont p vecteurs propres d’un endo- morphisme sym´ etrique f associ´ es ` a des valeurs propres distinctes, alors la famille (u

)

est une famille orthogonale.

2 - Projection orthogonale

Projection orthogonale sur un sous-espace vec- toriel F .

Notation p

. Si (u

, . . . , u

) est une base orthonorm´ ee de F ,

alors :

p

(x) =

k

P

i=1

hx, u_iiu_i

.

Si

est une base orthonorm´ ee de E et si U

, . . . , U

sont les vecteurs colonnes associ´ es aux vecteurs u

, . . . , u

dans la base

Mat

(p

) =

k

X

i=1

U

U

. Si p est un projecteur, alors p est un projecteur

orthogonal si et seulement si c’est un endomor- phisme sym´ etrique.

Caract´ erisation par minimisation de la norme. v = p

(x)

v|| = min

u∈F ||x−

u||.

Application au probl` eme des moindres carr´ es : minimisation de

B

avec A

(R) de rang p, B

(R) et X

(R).

La formule donnant la valeur de X r´ ealisant le minimum n’est pas exigible.

3 - R´ eduction des endomorphismes et des matrices sym´ etriques Si E est un espace vectoriel euclidien, tout endo-

morphisme sym´ etrique de E est diagonalisable et ses sous-espaces propres sont orthogonaux.

R´ esultat admis.

Il existe une base

de E orthonorm´ ee compos´ ee

de vecteurs propres de f.

Toute matrice sym´ etrique r´ eelle est diago- nalisable avec une matrice de changement de base orthogonale.

Si A est sym´ etrique r´ eelle, il existe une matrice orthogonale P et une matrice diagonale D telles que D = P

AP =

P AP.

Si X

, . . . , X

sont les colonnes de P, alors (X

)

est une base orthonorm´ ee de

(R), form´ ee de vecteurs propres de A as- soci´ es aux valeurs propres λ

, . . . , λ

. On a :

A =

n

X

i=1

λ

X

X

.

II - Fonctions r´ eelles de n variables ; recherche d’extrema

L’objectif est d’arriver ` a une bonne maˆıtrise des probl` emes d’extrema ` a partir d’un minimum d’outils th´ eoriques. L’espace R

sera muni de la norme euclidienne usuelle.

La d´ etermination de la nature topologique d’un ensemble n’est pas un objectif du programme ; elle devra toujours ˆ etre pr´ ecis´ ee. N´ eanmoins, il est n´ ecessaire de sensibiliser les ´ etudiants aux notions d’ouverts et de ferm´ es. Les ´ etudiants ont ´ et´ e familiaris´ es avec les fonctions continues sur R

au troisi` eme semestre, aussi on s’appuiera, pour mener une initiation ` a la topologie de R

, sur les sous-ensembles de R

d´ efinis par des in´ egalit´ es du type

R

/ϕ(x) < a} ou

R

/ϕ(x)

a} o` u ϕ est une fonction continue sur R

. On donnera ´ egalement la d´ efinition d’un ensemble born´ e.

L’´ etude de fonctions de n variables ` a valeurs dans R se limitera ` a des fonctions d´ efinies sur des sous- ensembles de R

pouvant ˆ etre d´ efinis simplement (r´ eunion, intersection finies) ` a l’aide des ensembles ferm´ es ou ouverts pr´ ec´ edents.

Les r´ esultats seront ´ enonc´ es dans le cas de fonctions de n variables. Pour les d´ emonstrations, on pourra se limiter aux cas n = 2 ou n = 3.

Aucune des d´ emonstrations de ce chapitre n’est exigible des ´ etudiants.

Dans ce paragraphe, h d´ esigne un vecteur de R

et H la colonne coordonn´ ee correspondante.

1 - Extension de la notion de fonction r´ eelle de n variables

Dans ce paragraphe, on ´ etend ` a des fonctions d´ efinies sur un sous-ensemble de R

, les notions et d´ efinitions vues au troisi` eme semestre pour des fonctions d´ efinies sur R

. Toute difficult´ e concernant la d´ etermination de la classe d’une fonction est exclue.

Extension de la notion de continuit´ e aux fonc- tions d´ efinies sur un sous-ensemble de R

.

Aucune difficult´ e th´ eorique ne sera soulev´ ee.

Extension de la notion de fonctions C

aux fonc- tions d´ efinies sur un ouvert de R

.

Aucune difficult´ e th´ eorique ne sera soulev´ ee.

Pour les fonctions C

d´ efinies sur un ouvert de R

: extension des notions de d´ eriv´ ees par- tielles, gradient, d´ eriv´ ee directionnelle, d´ evelop- pement limit´ e d’ordre 1.

2 - Fonctions de classe C

D´ eriv´ ees partielles d’ordre 2. Notation ∂

(f ).

∂

(f) = ∂

(∂

(f )).

Fonctions de classe C

sur un ouvert

de R

. Les fonctions polynomiales de n variables sont

de classe C

sur R

. R´ esultat admis.

Op´ erations sur les fonctions de classe C

. Somme, produit, quotient.

La composition d’une fonction de classe C

sur

` a valeurs dans un intervalle I de R par une fonction de classe C

sur I ` a valeurs dans R est de classe C

.

R´ esultats admis.

Th´ eor` eme de Schwarz. Si f est de classe C

sur un ouvert

de R

, alors pour tout point x de

et pour tout couple (i, j) d’entiers compris entre 1 et n :

∂

(f )(x) = ∂

(f )(x).

Th´ eor` eme admis.

Matrice hessienne en un point x. Notation

(f )(x).

Si f est de classe C

sur un ouvert

matrice hessienne est sym´ etrique en tout point de

Forme quadratique d´ efinie sur R

associ´ ee ` a une matrice sym´ etrique r´ eelle A.

q(h) =

HAH.

Existence et unicit´ e d’un d´ eveloppement limit´ e d’ordre 2 d’une fonction de classe C

sur un ouvert

f (x + h) = f (x) +

)(x), hi + 1

2 q

(h) +

ε(h) o` u ε(0) = 0, ε continue en 0 et q

est la forme quadratique associ´ ee ` a la matrice hes- sienne

(f )(x).

R´ esultat admis.

D´ eriv´ ee seconde directionnelle de f au point x dans la direction h.

La d´ eriv´ ee seconde directionnelle de f au point x dans la direction h est q

(h).

Si g(t) = f (x + th), alors g

(t) = q

(h) et donc g

(0) = q

(h).

3 - Recherche d’extrema

Dans un premier temps, on ´ etendra rapidement les notions vues au troisi` eme semestre ` a une fonction d´ efinie sur un sous-ensemble de R

.

a) D´ efinition

D´ efinition d’un extremum local, d’un extremum global.

b) Extrema sur un ensemble ferm´ e born´ e Une fonction continue sur une partie ferm´ ee born´ ee admet un maximum global et un mini- mum global.

R´ esultat admis.

Application ` a l’encadrement d’une forme qua- dratique sur R

.

Si q est une forme quadratique associ´ ee ` a une matrice sym´ etrique A, alors q admet un maxi- mum global et un minimum global sur le ferm´ e born´ e

R

/||x|| = 1}.

Il existe alors deux r´ eels α et β tels que pour tout ´ el´ ement h de R

:

α||h||

q(h)

β||h||

. c) Condition d’ordre 1

Condition n´ ecessaire du premier ordre.

Point critique.

Si une fonction de classe C

sur un ouvert

de R

admet un extremum local en un point x

de

)(x

) = 0.

Les points o` u le gradient s’annule sont appel´ es points critiques. Toutes les d´ eriv´ ees direction- nelles en ces points sont nulles.

d) Exemples de recherches d’extrema sous une contrainte quelconque

Dans tout ce paragraphe,

d´ esigne un ouvert de R

et ϕ d´ esigne une fonction de classe C

sur

note alors

=

c} l’ensemble des points v´ erifiant la contrainte ϕ(x) = c. On se placera dans le cadre o` u

est non nul pour tout ´ el´ ement x de

; on dira alors que la contrainte est non critique. L’´ etude d’une fonction le long de sa fronti` ere est l’une des applications de la maximisation sous contrainte.

Sur des exemples, on sensibilisera les ´ etudiants ` a une interpr´ etation graphique de l’optimisation sous contrainte.

D´ efinition d’un extremum local ou global sous la contrainte ϕ(x) = c d’une fonction f d´ efinie sur

Condition n´ ecessaire du premier ordre pour un extremum sous la contrainte non critique

Si f est une fonction de classe C

sur

que f atteigne un extremum local en x

sous la contrainte non critique

r´ eel λ tel que :

(

ϕ(x

) = c

∇(f

)(x

) = λ

) . R´ esultat admis.

On ne soul` evera pas de difficult´ e th´ eorique et on se limitera ` a des exemples simples.

Application ` a l’encadrement d’une forme qua- dratique : cas d’´ egalit´ e.

Si q est une forme quadratique associ´ ee ` a une

matrice sym´ etrique A, alors q admet un maxi-

mum global (respectivement un minimum glo-

bal ) sous la contrainte

= 1, en un point

correspondant ` a un vecteur propre de la ma-

trice A associ´ e ` a la plus grande valeur propre

(respectivement la plus petite).

e) Condition d’ordre 2

Etude locale d’une fonction ´ f de classe C

sur un ouvert

en un point critique.

Si x

est un point critique de f :

•

si Sp(∇

f (x

))

R

, alors f admet un mi- nimum local en x

,

•

si Sp(∇

f(x

))

R

, alors f admet un maxi- mum local en x

,

•

si Sp(∇

f (x

)) contient deux r´ eels non nuls de signes distincts, f n’admet pas d’extre- mum en x

.

On fera le lien avec le signe de la forme quadra- tique q

.

Point selle (ou col).

Exemples de recherche d’extrema globaux. On pourra faire une ´ etude directe du signe sur

de f (x)

f(x

).

Dans les situations qui s’y prˆ etent, on pourra

´

etudier le cas o` u pour tout x de

q

est posi- tive (ou n´ egative), par exemple en appliquant la formule de Taylor avec reste int´ egral ` a la fonc- tion g d´ efinie par g(t) = f (x

+ th).

f) Recherche d’extrema sous contrainte d’´ egalit´ es lin´ eaires

Dans tout ce paragraphe

d´ esigne l’ensemble des solutions d’un syst` eme lin´ eaire











g

(x) = b

.. . .. . g

(x) = b

et

l’ensemble des solutions du syst` eme homog` ene associ´ e.

Condition n´ ecessaire du premier ordre sous la contrainte

Si f est une fonction de classe C

sur un ou- vert

f ` a

admet un extremum local en un point x

, alors

)(x

) est dans Vect(∇(g

)(x

), . . . ,

)(x

)). Pour tout h de

eriv´ ee de f en x

dans la di- rection h est nulle.

On remarquera que :

H^⊥

= Vect(∇(g

)(x

), . . . ,

)(x

)).

Point critique pour l’optimisation sous contrainte.

Exemples de recherche d’extrema globaux sous contrainte d’´ egalit´ es lin´ eaires.

On pourra faire une ´ etude directe du signe sur

de f(x)

f (x

). On pourra, dans les situa- tions qui s’y prˆ etent, ´ etudier le cas o` u pour tout x de

et tout h de

on a q

(h)

0 (res- pectivement q

(h)

0).

III - Probabilit´ es : convergences, estimation

1 - Convergences et approximations

a) Convergence en probabilit´ e

On pourra d´ emontrer ces in´ egalit´ es dans le cas d’une variable al´ eatoire discr` ete ou ` a densit´ e.

In´ egalit´ e de Markov. Si X est une variable al´ eatoire positive ad- mettant une esp´ erance, alors pour tout r´ eel a strictement positif :

P ([X

a])

E(X) a .

On pourra appliquer cette in´ egalit´ e ` a Y =

, r

N

.

In´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev. Si X est une variable al´ eatoire admettant un moment d’ordre 2, alors :

∀ε >

0, P ([|X

E(X)|

ε])

V (X) ε

. Convergence en probabilit´ e. La suite (X

)

converge en probabilit´ e vers

X si :

∀ε >

0, lim

n→+∞

P ([|X

X|

ε]) = 0.

Notation X

X.

Loi faible des grands nombres pour une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes admettant une mˆ eme esp´ erance et une mˆ eme variance.

Soit (X

)

une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes ayant mˆ eme esp´ erance m et mˆ eme variance et soit X

= X

+ . . . + X

n .

Alors :

∀ε >

0, lim

n→+∞

P([|X

m|

ε]) = 0.

Composition par une fonction continue. Si X

−P→

X et si f est une fonction continue sur R ` a valeurs r´ eelles, alors f (X

)

f (X).

R´ esultat admis.

b) Convergence en loi

D´ efinition de la convergence en loi d’une suite (X

)

de variables al´ eatoires vers X.

Notation X

X.

La suite (X

)

converge en loi vers X si et seulement si en tout point de continuit´ e x de F

:

n→+∞

lim F

(x) = F

(x).

Cas o` u les X

et X prennent leurs valeurs dans Z.

La suite (X

)

converge en loi vers X si et seulement si :

∀k∈

Z, lim

n→+∞

P ([X

= k]) = P ([X = k]).

Convergence en loi d’une suite de variables al´ ea-

toires suivant la loi binomiale

une variable al´ eatoire suivant la loi de Poisson

de param` etre λ.