NOTE DE PRÉSENTATION
Les présents arrêtés, au nombre de trois, vous sont soumis pour visa avant présentation devant les instances consultatives.
Ils s’inscrivent dans la seconde phase du chantier de rénovation des programmes des classes préparatoires aux grandes écoles (CPGE) de la filière économique et commerciale, phase consacrée aux programmes de seconde année.
Cependant, l’écriture des nouveaux programmes de seconde année de langues vivantes étrangères, ainsi que :
- d’économie approfondie et d’économie, de sociologie et d’histoire du monde contemporain (ESH), pour l’option économique (ECE),
- d’économie et d’histoire, de géographie et de sociologie du monde contemporain, pour l’option scientifique (ECS),
- d’économie, de droit et de management et sciences de gestion, pour l’option technologique (ECT),
ayant pu être menée à bien en même temps que celle des programmes de première année, cette seconde phase ne concerne plus, en fait, pour la filière économique et commerciale, que le programme de mathématiques-informatique de chacune des trois options.
Ces programmes de seconde année de mathématiques-informatique ont été élaborés selon les mêmes principes et les mêmes modalités que les programmes de la filière économique et commerciale publiés au printemps dernier. Du 20 mai au 30 juin 2013, ils ont fait l’objet d’une consultation publique en ligne, sur le site du ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche. Les 30 commentaires recueillis ont donné lieu à des corrections substantielles.
Ces programmes entreront en vigueur à la rentrée 2014 pour les options ECE et ECS, et à la rentrée 2015 pour l’option ECT.
Les présents arrêtés n’affectent en rien les volumes horaires des enseignements concernés.
Direction générale pour l'enseignement supérieur et l’insertion professionnelle
Service de la stratégie de l’enseignement supérieur et de l’insertion professionnelle
Département de l’architecture et de la qualité des formations de niveau licence
1 RÉPUBLIQUE FRANÇAISE
Ministère de l’enseignement supérieur et de la recherche
Arrêté du 2013
relatif au programme de seconde année de mathématiques-informatique de la classe préparatoire économique et commerciale, option technologique (ECT)
NOR ESRS A
Le ministre de l’éducation nationale et la ministre de l’enseignement supérieur et de la recherche,
Vu le code de l’éducation, et notamment ses articles D. 612-19 à D. 612-29 ;
Vu l’arrêté du 23 mars 1995 définissant la nature des classes composant les classes préparatoires économiques et commerciales aux grandes écoles ;
Vu l’arrêté du 23 mars 1995 définissant l'organisation générale des études et les horaires des classes préparatoires économiques et commerciales aux grandes écoles ;
Vu l’arrêté du 3 juillet 1995 modifié, définissant les objectifs de formation et le programme des classes préparatoires de première et seconde année économiques et commerciales, option technologique (ECT) ;
Vu l’avis du Conseil national de l’enseignement supérieur et de la recherche en date du 2013 ; Vu l’avis du Conseil supérieur de l’éducation en date du 2013,
Arrêtent :
Article 1er
Le programme de seconde année de mathématiques-informatique de la classe préparatoire économique et commerciale, option technologique (ECT), figurant en annexe 1 de l’arrêté du 3 juillet 1995 modifié susvisé, est remplacé par celui annexé au présent arrêté.
Article 2
Le programme du présent arrêté entre en vigueur à compter de la rentrée universitaire 2015.
Article 3
Le directeur général de l’enseignement scolaire et la directrice générale pour l’enseignement supérieur et l’insertion professionnelle sont chargés, chacun en ce qui le concerne, de l’exécution du présent arrêté, qui sera publié au Journal officiel de la République française.
Fait le 2013
Pour le ministre de l’éducation nationale et par délégation :
Le directeur général de l’enseignement scolaire, J.-P. DELAHAYE
Pour la ministre de l’enseignement supérieur et de la recherche et par délégation :
Par empêchement de la directrice générale pour l’enseignement supérieur et l’insertion
professionnelle, J.- M. JOLION
NB : Le présent arrêté et son annexe seront consultables au Bulletin officiel du ministère de
l’enseignement supérieur et de la recherche et au Bulletin officiel du ministère de l’éducation nationale du mis en ligne sur les sites www.enseignementsup-recherche.gouv.fr et www.education.gouv.fr
ANNEXE
Table des mati` eres
1 Objectifs g´ en´ eraux de la formation 2
2 Comp´ etences d´ evelopp´ ees 2
3 Architecture des programmes 3
ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU TROISI` EME SEMESTRE 4
I - Matrices 4
II - S´ eries num´ eriques 4
III - Probabilit´ es et statistiques 5
1 - Couples de variables al´ eatoires discr` etes finies . . . . 5
2 - Suites de variables al´ eatoires discr` etes finies . . . . 6
3 - Variables al´ eatoires discr` etes infinies . . . . 6
4 - Statistiques bivari´ ees . . . . 6
ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU QUATRI` EME SEMESTRE 7 I - R´ eduction des matrices carr´ ees 7 II - Compl´ ements d’analyse 7 III - Probabilit´ es et statistiques 8 1 - Variables al´ eatoires ` a densit´ e continue par morceaux . . . . 8
2 - Convergences et approximations . . . . 9
a) In´ egalit´ e de Markov, in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev. . . . 9
b) Loi faible des grands nombres . . . . 9
3 - Estimation . . . . 10
a) Estimation ponctuelle . . . . 10
b) Estimation par intervalle de confiance . . . . 11
TRAVAUX PRATIQUES DE MATH´ EMATIQUES AVEC SCILAB 12 I - Liste des exigibles 12 1 - Savoir-faire et comp´ etences . . . . 12
2 - Nouvelles commandes . . . . 13
II - Liste des th` emes 13
1 - Statistiques descriptives univari´ ees . . . . 13
2 - Statistiques descriptives bivari´ ees . . . . 13
3 - Chaˆınes de Markov . . . . 13
4 - Simulation de lois, application au calcul d’esp´ erances . . . . 14
1 Objectifs g´ en´ eraux de la formation
Les math´ ematiques jouent un rˆ ole important en sciences ´ economiques et en gestion, dans les domaines notamment de la finance ou de la gestion d’entreprise, de la finance de march´ e, des sciences sociales.
Les probabilit´ es et la statistique interviennent dans tous les secteurs de l’´ economie et dans une grande vari´ et´ e de contextes (actuariat, biologie, ´ epid´ emiologie, finance quantitative, pr´ evision ´ economique...) o` u la mod´ elisation de ph´ enom` enes al´ eatoires ` a partir de bases de donn´ ees est indispensable.
L’objectif de la formation dans les classes pr´ eparatoires ´ economiques et commerciales n’est pas de former des professionnels des math´ ematiques, mais des personnes capables d’utiliser des outils math´ e- matiques ou d’en comprendre l’usage dans diverses situations de leur parcours acad´ emique et profes- sionnel.
Les programmes d´ efinissent les objectifs de l’enseignement de ces classes et d´ ecrivent les connaissances et les capacit´ es exigibles des ´ etudiants. Ils pr´ ecisent ´ egalement certains points de terminologie et certaines notations.
Les limites du programme sont clairement pr´ ecis´ ees. Elles doivent ˆ etre respect´ ees aussi bien dans le cadre de l’enseignement en classe que dans l’´ evaluation.
Une fonction fondamentale de l’enseignement des math´ ematiques dans ces classes est de structurer la pens´ ee des ´ etudiants et de les former ` a la rigueur et ` a la logique en insistant sur les divers types de raisonnement (par ´ equivalence, implication, l’absurde, analyse-synth` ese,...).
2 Comp´ etences d´ evelopp´ ees
L’enseignement de math´ ematiques en classes pr´ eparatoires ´ economiques et commerciales vise en par- ticulier ` a d´ evelopper chez les ´ etudiants les comp´ etences suivantes :
•
Rechercher et mettre en œuvre des strat´ egies ad´ equates : savoir analyser un probl` eme,
´
emettre des conjectures notamment ` a partir d’exemples, choisir des concepts et des outils math´ e- matiques pertinents.
•
Mod´ eliser : savoir conceptualiser des situations concr` etes (ph´ enom` enes al´ eatoires ou d´ eterministes) et les traduire en langage math´ ematique, ´ elaborer des algorithmes.
•
Interpr´ eter : ˆ etre en mesure d’interpr´ eter des r´ esultats math´ ematiques dans des situations concr` etes, avoir un regard critique sur ces r´ esultats.
•
Raisonner et argumenter : savoir conduire une d´ emonstration, confirmer ou infirmer des conjec- tures.
•
Maˆ ıtriser le formalisme et les techniques math´ ematiques : savoir employer les symboles math´ ematiques ` a bon escient, ˆ etre capable de mener des calculs de mani` ere pertinente et efficace.
Utiliser avec discernement l’outil informatique.
•
Communiquer par ´ ecrit et oralement : comprendre les ´ enonc´ es math´ ematiques, savoir r´ ediger une solution rigoureuse, pr´ esenter une production math´ ematique.
c
Minist`
ere de l’enseignement sup´ erieur et de la recherche, 2013 http://www.enseignementsup-recherche.gouv.fr
2
3 Architecture des programmes
Le programme de math´ ematiques de deuxi` eme ann´ ee de la fili` ere EC voie technologique se situe dans le prolongement de celui de premi` ere ann´ ee et permet d’en consolider les acquis. Son objectif est de fournir aux ´ etudiants le bagage n´ ecessaire pour suivre les enseignements sp´ ecialis´ es d’´ economie et de gestion dispens´ es en Grande Ecole ou dans une formation universitaire de troisi` eme ann´ ee de Licence.
Il s’organise autour de quatre points forts :
•
En alg` ebre lin´ eaire, le programme se concentre sur le calcul matriciel. Le principal objectif est l’in- troduction de la notion de valeurs propres et de vecteurs propres et la diagonalisation des matrices carr´ ees de taille inf´ erieure ` a 3. On ´ evitera des exemples trop calculatoires.
Ces notions de calcul matriciel trouveront des applications en probabilit´ es (´ etudes de chaˆınes de Markov).
•
En analyse, les s´ eries et les int´ egrales g´ en´ eralis´ ees sont ´ etudi´ ees en vue de leurs applications aux probabilit´ es (variables al´ eatoires discr` etes infinies et variables al´ eatoires ` a densit´ e).
•
En probabilit´ es, l’´ etude des variables al´ eatoires discr` etes, initi´ ee au lyc´ ee et poursuivie en premi` ere ann´ ee de classe pr´ eparatoire, se prolonge au troisi` eme semestre par l’´ etude des couples et des suites de variables al´ eatoires discr` etes ; au quatri` eme semestre, les notions sur les variables al´ eatoires ` a densit´ e, abord´ ees d` es la premi` ere ann´ ee, sont compl´ et´ ees. L’objectif de cette partie du programme est de permettre, en fin de formation, une approche plus rigoureuse et une compr´ ehension plus aboutie des concepts d’estimation ponctuelle ou par intervalles de confiance que les ´ etudiants ont rencontr´ es d` es le lyc´ ee.
•
Les travaux pratiques de math´ ematiques avec Scilab sont organis´ es autour de quatre th` emes faisant intervenir divers points du programme de math´ ematiques. L’objectif est d’apprendre aux ´ etudiants
`
a utiliser Scilab de mani` ere judicieuse et autonome ainsi que de leur permettre d’illustrer ou de mo- d´ eliser des situations concr` etes en mobilisant leurs connaissances math´ ematiques. Les savoir-faire et comp´ etences que les ´ etudiants doivent acqu´ erir lors de ces s´ eances de travaux pratiques sont sp´ e- cifi´ es dans la liste des exigibles et rappel´ es en pr´ eambule de chaque th` eme. Les nouvelles notions math´ ematiques introduites dans certains th` emes ne font pas partie des exigibles du programme.
L’enseignement de ces travaux pratiques se d´ eroulera sur les cr´ eneaux horaires d´ edi´ es ` a l’informa- tique.
Le programme de math´ ematiques est organis´ e en deux semestres de volume sensiblement ´ equivalent.
Ce d´ ecoupage en deux semestres d’enseignement doit ˆ etre respect´ e. En revanche, au sein de chaque se- mestre, aucun ordre particulier n’est impos´ e et chaque professeur conduit en toute libert´ e l’organisation de son enseignement, bien que la pr´ esentation par blocs soit fortement d´ econseill´ ee.
Le programme se pr´ esente de la mani` ere suivante : dans la colonne de gauche figurent les contenus exigibles des ´ etudiants ; la colonne de droite comporte des pr´ ecisions sur ces contenus ou des exemples d’activit´ es ou d’applications.
Les d´ eveloppements formels ou trop th´ eoriques doivent ˆ etre ´ evit´ es. Ils ne correspondent pas au cœur de formation de ces classes pr´ eparatoires.
Les r´ esultats mentionn´ es dans le programme seront admis ou d´ emontr´ es selon les choix didactiques faits par le professeur. Pour certains r´ esultats, marqu´ es comme
«admis», la pr´esentation d’une d´ e- monstration en classe est d´ econseill´ ee.
Les s´ eances de travaux dirig´ es permettent de privil´ egier la prise en main, puis la mise en œuvre par
les ´ etudiants, des techniques usuelles et bien d´ elimit´ ees, inscrites dans le corps du programme. Cette
maˆıtrise s’acquiert notamment par l’´ etude de probl` emes que les ´ etudiants doivent
in fineˆ etre capables de r´ esoudre par eux-mˆ emes.
Le logiciel Scilab comporte de nombreuses fonctionnalit´ es permettant d’illustrer simplement certaines notions math´ ematiques. Ainsi, on utilisera d` es que possible l’outil informatique en cours de math´ ema- tiques pour visualiser et illustrer les notions ´ etudi´ ees.
ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU TROISI` EME SEMESTRE
I - Matrices
Le programme exclut toute notion de structure. On ne traite que le cas des matrices r´ eelles.
D´ efinition d’une matrice ` a n lignes et p co- lonnes.
Ensemble
Mn,p(R).
Matrices lignes, matrices colonnes.
Op´ erations sur les matrices : multiplication par un scalaire, somme, produit de deux matrices.
Les d´ efinitions des op´ erations sur les matrices seront pr´ esent´ ees ` a l’aide d’exemples issus de situations concr` etes. Les propri´ et´ es des op´ era- tions seront admises sans d´ emonstration et illus- tr´ ees sur des exemples.
Transpos´ ee d’une matrice. Notation
tA.
Matrices carr´ ees d’ordre n. Ensemble
Mn(R).
Matrices triangulaires, matrices diagonales, ma- trice identit´ e.
Matrices inversibles.
Crit` ere d’inversibilit´ e d’une matrice triangu- laire.
Caract´ erisation de l’inversibilit´ e d’une matrice carr´ ee d’ordre 2.
R´ esultat admis.
a b c d
est inversible si et seulement si ad
−bc
6= 0. Formule de l’inverse dans ce cas.Exemples de calcul des puissances n-i` emes d’une matrice. Cas d’une matrice diagonale.
Formule du binˆ ome pour les matrices qui com- mutent.
On se limitera ` a des exemples simples lorsque l’une des matrices est nilpotente.
Ecriture matricielle d’un syst` ´ eme d’´ equations li- n´ eaires.
Calcul de l’inverse d’une matrice par la m´ ethode du pivot de Gauss.
Calcul de l’inverse de la matrice A par la r´ eso- lution du syst` eme AX = Y .
On se limitera ` a des matrices carr´ ees d’ordre inf´ erieur ou ´ egal ` a 3.
II - S´ eries num´ eriques
Les s´ eries sont introduites exclusivement pour leurs applications au calcul des probabilit´ es. Aucune difficult´ e ne sera soulev´ ee.
D´ efinition. Convergence d’une s´ erie. Somme d’une s´ erie convergente.
c
Minist`
ere de l’enseignement sup´ erieur et de la recherche, 2013 http://www.enseignementsup-recherche.gouv.fr
4
Condition n´ ecessaire de convergence. Le terme g´ en´ eral d’une s´ erie convergente tend vers 0.
S´ erie g´ eom´ etrique. Convergence et somme. La s´ erie
Xx
nconverge si et seulement si
|
x
|< 1 , et dans ce cas :
+∞
X
n=0
x
n= 1 1
−x . Les d´ eriv´ ees des s´ eries g´ eom´ etriques ne font pas partie des attendus du programme.
S´ erie exponentielle. Convergence et somme. Pour tout r´ eel x, la s´ erie
Xx
nn! converge, et
+∞
X
n=0
x
nn! = e
x. R´ esultat admis.
D´ efinition de la convergence absolue.
Toute s´ erie absolument convergente est conver- gente.
R´ esultat admis.
Dans les exercices, on se limitera ` a des s´ eries absolument convergentes.
III - Probabilit´ es et statistiques Tout exc` es de technicit´ e est exclu.
1 - Couples de variables al´ eatoires discr` etes finies Loi de probabilit´ e d’un couple de variables al´ ea- toires.
Lois marginales, lois conditionnelles.
La loi de probabilit´ e d’un couple de va- riables al´ eatoires discr` etes est caract´ eris´ ee par la donn´ ee de X(Ω), Y (Ω) et pour tout (x, y)
∈X(Ω)
×Y (Ω), P ([X = x]
∩[Y = y]).
Ind´ ependance de deux variables al´ eatoires. X et Y sont ind´ ependantes si, pour tous inter- valles r´ eels I et J , les ´ ev´ enements [X
∈I] et [Y
∈J] sont ind´ ependants.
On remarquera que si l’une des variables al´ ea- toires X, Y est constante, X et Y sont ind´ epen- dantes.
Esp´ erance d’une somme de deux variables al´ ea- toires, lin´ earit´ e de l’esp´ erance.
R´ esultat admis.
Esp´ erance d’un produit de deux variables al´ ea- toires.
E(XY ) =
X(x,y)∈X(Ω)×Y(Ω)
xyP ([X = x]
∩[Y = y]).
R´ esultat admis.
Cas de deux variables al´ eatoires X et Y ind´ e- pendantes.
E(XY ) = E(X)E(Y ). R´ esultat admis.
La r´ eciproque est fausse.
Covariance. Propri´ et´ es. Notation Cov(X, Y ).
Lin´ earit´ e ` a droite, ` a gauche. Sym´ etrie.
Si a
∈R, Cov(X, a) = 0.
Cov(X, X) = V (X).
Formule de Huygens. Cov(X, Y ) = E(XY )
−E(X)E(Y ).
Si X et Y sont ind´ ependantes, leur covariance
est nulle, la r´ eciproque ´ etant fausse.
Variance d’une somme de deux variables al´ eatoires.
Coefficient de corr´ elation lin´ eaire. Notation ρ(X, Y ).
Si σ(X)σ(Y )
6= 0,ρ (X, Y ) = Cov (X, Y) σ(X)σ(Y ) . Propri´ et´ es.
|ρ(X, Y)|
61. Interpr´ etation dans le cas o` u
ρ(X, Y ) =
±1.2 - Suites de variables al´ eatoires discr` etes finies Ind´ ependance mutuelle de n variables al´ ea- toires.
Les variables al´ eatoires X
1, . . . , X
nsont mu- tuellement ind´ ependantes si, pour tout choix de n intervalles r´ eels I
1, . . . , I
n, les ´ ev´ enements [X
1 ∈I
1], . . . , [X
n ∈I
n] sont mutuellement in- d´ ependants.
Ind´ ependance mutuelle d’une suite de variables al´ eatoires.
Les variables al´ eatoires de la suite (X
n)
n∈N∗sont dites mutuellement ind´ ependantes si, pour tout entier n
>1, les variables al´ eatoires X
1, . . . , X
nsont mutuellement ind´ ependantes.
Esp´ erance de la somme de n variables al´ eatoires.
Variance d’une somme finie de variables al´ ea- toires ind´ ependantes.
3 - Variables al´ eatoires discr` etes infinies Notion d’espace probabilis´ e avec Ω non fini.
Extension des d´ efinitions et des propri´ et´ es des variables al´ eatoires discr` etes au cas o` u l’image est un ensemble infini d´ enombrable : loi de pro- babilit´ e, fonction de r´ epartition, esp´ erance, va- riance, ´ ecart-type.
On se limitera aux variables al´ eatoires dont l’image est index´ ee par N. Aucune difficult´ e th´ eorique ne sera soulev´ ee au moment de l’ex- tension des propri´ et´ es.
Loi g´ eom´ etrique. Esp´ erance et variance. Notation X ,
→ G(p).Loi Poisson. Esp´ erance et variance. Notation X ,
→ P(λ).4 - Statistiques bivari´ ees
On s’appuiera sur les repr´ esentations graphiques pour montrer l’int´ erˆ et et les limites des indicateurs.
Analyse de deux caract` eres qualitatifs : fr´ e- quences marginales, fr´ equences conditionnelles.
Analyse de deux caract` eres quantitatifs : cova- riance empirique, corr´ elation lin´ eaire empirique, ajustement affine par la m´ ethode des moindres carr´ es, droites de r´ egression ; changements de variables permettant de se ramener ` a un ajus- tement affine.
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6
ENSEIGNEMENT DE MATH´ EMATIQUES DU QUATRI` EME SEMESTRE
I - R´ eduction des matrices carr´ ees
L’objectif est l’introduction de la notion de valeurs propres et de vecteurs propres d’une matrice. La notion de polynˆ ome minimal, la r´ esolution g´ en´ erale des syst` emes AX = λX et toute th´ eorie sur la r´ eduction sont hors programme.
Dans tout ce paragraphe, on ´ evitera les m´ ethodes trop calculatoires pour la recherche des ´ el´ ements propres d’une matrice. En particulier, la r´ esolution de syst` emes ` a param` etres est ` a proscrire. Dans la pratique, on se limitera ` a des matrices carr´ ees d’ordre inf´ erieur ou ´ egal ` a 3.
Polynˆ ome d’une matrice. Polynˆ ome annulateur. Sur des exemples, utilisation d’un polynˆ ome annulateur pour la d´ etermination de l’inverse d’une matrice carr´ ee. Toutes les indications devront ˆ etre donn´ ees aux candidats pour l’obtention d’un polynˆ ome annulateur.
On pourra v´ erifier que le polynˆ ome X
2−(a + d) X + (ad
−bc) est un polynˆ ome annulateur de la matrice
a b c d
.
Matrices carr´ ees diagonalisables. Une matrice carr´ ee A est diagonalisable s’il existe une matrice D, diagonale, et une matrice carr´ ee P , inversible, telles que D = P
−1AP . Valeur propre, vecteur propre d’une matrice
carr´ ee.
Si Q est un polynˆ ome annulateur de A, toute valeur propre de A est racine de Q.
R´ esultat admis.
Recherche de valeurs propres. On privil´ egiera l’utilisation d’un polynˆ ome an- nulateur.
Sur des exemples, diagonalisation d’une matrice carr´ ee d’ordre inf´ erieur ou ´ egal ` a 3.
On se limitera au cas d’une matrice A pour laquelle on dispose d’un polynˆ ome annulateur de degr´ e 3 (respectivement 2) scind´ e sur R
`
a racines simples, ces derni` eres ´ etant valeurs propres. On remarquera alors que A est dia- gonalisable ` a partir de l’´ egalit´ e AP = P D o` u la matrice P est obtenue ` a partir des vecteurs propres.
Cas des matrices triangulaires.
Application au calcul des puissances de A.
II - Compl´ ements d’analyse
Les int´ egrales g´ en´ eralis´ ees sont introduites exclusivement pour leurs applications au calcul des proba- bilit´ es. Aucune difficult´ e ne sera soulev´ ee.
Le calcul des int´ egrales g´ en´ eralis´ ees est effectu´ e par des recherches de primitives sur des intervalles du
type [a, b], l’application de la relation de Chasles, et des passages ` a la limite en
−∞et/ou +∞.
Extension de la notion d’int´ egrale aux fonctions continues par morceaux sur un intervalle [a, b].
Int´ egrale
Z +∞a
f(t)dt o` u f est une fonction continue sur [a, +∞[. Convergence et d´ efinition.
L’int´ egrale
Z +∞
a
f (t)dt converge si
x→+∞
lim
Z xa
f (t)dt existe et est finie, et dans ce cas,
Z +∞
a
f(t)dt = lim
x→+∞
Z x a
f(t)dt.
Int´ egrale
Z b−∞
f (t)dt o` u f est une fonction conti- nue sur ]−∞, b].
Extension aux int´ egrales
Z +∞−∞
f (t)dt.
Convergence des int´ egrales de fonctions posi- tives sur un intervalle de type [a, +∞[ (ou ]
− ∞, a]).Soit f une fonction continue et positive sur [a, +∞[ ; l’int´ egrale
Z +∞
a
f (t)dt converge si et seulement si x
7→Z x a
f (t)dt est major´ ee sur [a, +∞[.
De mˆ eme, si f est continue et positive sur ]
− ∞, a],Z a
−∞
f (t)dt converge si et seulement si x
7→Z a x
f (t)dt est major´ ee sur ]
− ∞, a].Extension de la notion d’int´ egrale g´ en´ eralis´ ee aux fonctions continues par morceaux ayant un nombre fini de discontinuit´ es sur R.
III - Probabilit´ es et statistiques
1 - Variables al´ eatoires ` a densit´ e continue par morceaux
Ce paragraphe g´ en´ eralise l’´ etude de la loi uniforme effectu´ ee en premi` ere ann´ ee.
Le passage du cas discret au cas continu n’est pas explicit´ e. On se limitera ` a des calculs de probabilit´ es du type P ([X
∈I]), o` u I est un intervalle de R.
Densit´ e de probabilit´ e. Une fonction f d´ efinie sur R est une densit´ e de probabilit´ e si elle est positive, continue par morceaux avec un nombre fini de points de dis- continuit´ e et telle que
Z +∞
−∞
f (t) dt = 1.
Variable al´ eatoire ` a densit´ e. Une variable al´ eatoire X admet une densit´ e si sa fonction de r´ epartition F
Xpeut s’´ ecrire sous la forme x
7→Z x
−∞
f (t) dt o` u f est une densit´ e de probabilit´ e.
Sur des exemples, d´ etermination d’une densit´ e de aX + b ou de X
2.
c
Minist`
ere de l’enseignement sup´ erieur et de la recherche, 2013 http://www.enseignementsup-recherche.gouv.fr
8
Esp´ erance, variance et ´ ecart-type. Aucune difficult´ e th´ eorique ne sera soulev´ ee.
Loi uniforme. Rappels. Notation X ,
→ U[a, b].
Loi exponentielle. Densit´ e et fonction de r´ epar- tition. Esp´ erance et variance.
Notation X ,
→ E(λ).Loi normale (ou de Laplace-Gauss) de para- m` etres m et σ
2, o` u σ > 0. Esp´ erance et va- riance.
Notation X ,
→ N(m, σ
2).
Loi normale centr´ ee r´ eduite. Densit´ e. X ,
→ N(m, σ
2) si et seulement si X
∗= X
−m
σ ,
→ N(0, 1).
On attend des ´ etudiants qu’ils sachent uti- liser la fonction de r´ epartition Φ de la loi normale centr´ ee r´ eduite. Pour tout r´ eel x : Φ(−x) = 1
−Φ(x).
Chacune des lois usuelles sera illustr´ ee par un exemple concret d’une situation qu’elle mod´ elise.
2 - Convergences et approximations
a) In´ egalit´ e de Markov, in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev.
On pourra d´emontrer ces in´egalit´es dans le cas d’une variable al´eatoire discr`ete ou `a densit´e.
In´ egalit´ e de Markov. Si X est une variable al´ eatoire ` a valeurs posi- tives et admettant une esp´ erance,
∀a >
0, P ([X
>a])
6E(X) a .
R´ esultat non exigible. On pourra appliquer cette in´ egalit´ e ` a Y =
|X|r, r
∈N
∗.
In´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev. Si X est une variable al´ eatoire admettant un moment d’ordre 2,
∀ε >
0, P([| X
−E(X)
|>ε])
6V (X) ε
2.
b) Loi faible des grands nombres
Loi faible des grands nombres. Soit (X
n)
n∈N∗une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes admettant une mˆ eme esp´ erance m et une mˆ eme variance et soit pour tout n
∈N
∗, X
n= X
1+ . . . + X
nn .
Alors
∀ε >0, lim
n→+∞
P ([|X
n−m|
>ε]) = 0.
3 - Estimation
L’objectif de cette partie est d’introduire le vocabulaire et la d´ emarche de la statistique inf´ erentielle en abordant, sur quelques cas simples, le probl` eme de l’estimation, ponctuelle ou par intervalle de confiance. On se restreindra ` a une famille de lois de probabilit´ es index´ ees par un param` etre scalaire dont la valeur caract´ erise la loi. On cherche alors ` a estimer la valeur du param` etre ` a partir des donn´ ees disponibles.
Dans ce contexte, on consid` ere un ph´ enom` ene al´ eatoire et on s’int´ eresse ` a une variable al´ eatoire r´ eelle X qui lui est li´ ee, dont on suppose que la loi de probabilit´ e n’est pas compl` etement sp´ ecifi´ ee et appartient
`
a une famille de lois d´ ependant d’un param` etre θ d´ ecrivant un sous-ensemble Θ de R.
Le param` etre θ est une quantit´ e inconnue, fix´ ee dans toute l’´ etude, que l’on cherche ` a d´ eterminer ou pour laquelle on cherche une information partielle. Le probl` eme de l’estimation consiste alors ` a estimer la vraie valeur du param` etre θ, ` a partir d’un ´ echantillon de donn´ ees x
1, . . . , x
nobtenues en observant n fois le ph´ enom` ene.
On supposera que cet ´ echantillon est la r´ ealisation de n variables al´ eatoires X
1, . . . , X
nd´ efinies sur un mˆ eme espace probabilisable muni d’une famille de probabilit´ es (P
θ)
θ∈Θ. Les X
1, . . . , X
nseront suppos´ ees P
θ-ind´ ependantes et de mˆ eme loi que X pour tout θ.
On appellera estimateur de θ toute variable al´ eatoire r´ eelle de la forme ϕ(X
1, X
2, . . . , X
n) o` u ϕ est une fonction de R
ndans R, ´ eventuellement d´ ependante de n, et ind´ ependante de θ, dont la r´ ealisation apr` es exp´ erience est envisag´ ee comme estimation de θ.
Un estimateur se d´ efinit donc dans l’intention de fournir une estimation.
Si T
nest un estimateur, on notera, lorsque ces valeurs existent, E
θ(T
n) l’esp´ erance de T
net V
θ(T
n) la variance de T
n, pour la probabilit´ e P
θ.
a) Estimation ponctuelle
Estimer ponctuellement θ par ϕ(x
1, . . . , x
n) o` u ϕ(X
1, X
2, . . . , X
n) est un estimateur et (x
1, . . . , x
n) est une r´ ealisation de l’´ echantillon (X
1, . . . , X
n), c’est d´ ecider d’accorder ` a θ la valeur ϕ(x
1, . . . , x
n).
n-´ echantillon (X
1, . . . , X
n) de variables al´ ea- toires ind´ ependantes et de mˆ eme loi que X.
Exemples de n-´ echantillons associ´ es ` a une loi de Bernoulli
B(1, p) avecθ = p.
D´ efinition d’un estimateur. Un estimateur de θ est une variable al´ eatoire de la forme T
n= ϕ(X
1, . . . , X
n). La r´ ealisation ϕ(x
1, . . . , x
n) de l’estimateur T
nest l’estimation de θ. Cette estimation ne d´ epend que de l’´ echan- tillon (x
1, x
2, . . . , x
n) observ´ e.
Estimation de l’esp´ erance d’une variable al´ ea- toire.
Exemples d’estimateurs : estimateur du para- m` etre p d’une loi de Bernoulli, estimateur du param` etre λ d’une loi de Poisson.
Biais d’un estimateur.
Estimateur sans biais.
Si pour tout θ de Θ, T
nadmet une es- p´ erance, on appelle biais de T
nle r´ eel
b
θ(T
n) = E
θ(T
n)
−θ.
L’estimateur T
nde θ est sans biais si E
θ(T
n) = θ pour tout θ de Θ.
Risque quadratique d’un estimateur. Si, pour tout θ de Θ, T
n2admet une esp´ e- rance, on appelle risque quadratique de T
nle r´ eel r
θ(T
n) = E
θ(T
n−θ)
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D´ ecomposition biais-variance du risque quadra- tique d’un estimateur.
r
θ(T
n) = b
θ(T
n)
2+ V
θ(T
n).
b) Estimation par intervalle de confiance
La d´ emarche consiste non plus ` a donner une estimation ponctuelle de θ ` a partir d’un estimateur mais
`
a trouver un intervalle al´ eatoire, appel´ e intervalle de confiance, qui contienne θ avec une probabilit´ e minimale donn´ ee.
Ce paragraphe a uniquement pour but de pr´ eciser le vocabulaire employ´ e. Les situations seront ´ etudi´ ees sous forme d’exercices, aucune connaissance autre que ce vocabulaire n’est exigible sur les intervalles de confiance.
Intervalle de confiance. Soient U
net V
ndeux estimateurs. On dit que [U
n, V
n] est un intervalle de confiance de θ au niveau de confiance 1
−α o` u α
∈[0, 1] si, pour tout θ
∈Θ, P
θ([U
n6θ
6V
n])
>1
−α.
Les r´ ealisations de U
net V
ndoivent ˆ etre calculables ` a partir du seul ´ echantillon (x
1, x
2, . . . , x
n) observ´ e.
Intervalle de confiance pour le param` etre d’une loi de Bernoulli.
On obtiendra ces intervalles de confiance par
l’in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev en majo-
rant p(1
−p) par
14TRAVAUX PRATIQUES DE MATH´ EMATIQUES AVEC SCILAB
En premi` ere ann´ ee, les ´ el` eves ont acquis les bases de manipulation du logiciel Scilab. L’objectif de l’enseignement d’informatique de seconde ann´ ee est de permettre aux ´ etudiants d’utiliser Scilab de mani` ere judicieuse et autonome pour illustrer ou mod´ eliser des situations concr` etes en mobilisant leurs connaissances math´ ematiques.
Le programme d’informatique s’articule autour de quatre th` emes : statistiques descriptives univari´ ees, statistiques descriptives bivari´ ees, chaˆınes de Markov, simulation de lois.
Les heures de travaux pratiques de math´ ematiques avec Scilab peuvent ˆ etre organis´ ees sous diff´ erentes formes selon les contenus ` a enseigner ; certaines s´ eances, notamment celles n´ ecessitant peu de manipu- lations logicielles de la part des ´ etudiants, pourront avoir lieu en classe enti` ere, les autres s´ eances en groupes r´ eduits.
L’ordre dans lequel les th` emes sont abord´ es est libre, mais il est pr´ ef´ erable de mener ces activit´ es en coh´ erence avec la progression du cours de math´ ematiques.
Pour certains th` emes, il sera n´ ecessaire d’introduire de nouvelles notions math´ ematiques ; celles-ci seront introduites en pr´ eambule lors des s´ eances d’informatique ; elles ne pourront en aucun cas ˆ etre exigibles des ´ etudiants, et toutes les pr´ ecisions n´ ecessaires seront donn´ ees lors de leur utilisation.
Toute la richesse du logiciel Scilab ne peut pas ˆ etre enti` erement maˆıtris´ ee par un ´ etudiant, aussi seules les fonctions et commandes du programme de premi` ere ann´ ee et celles figurant dans la sous-partie
«Commandes exigibles»
sont exigibles. N´ eanmoins, se contenter de ces seules commandes, en ignorant les nombreuses possibilit´ es et commodit´ es du logiciel, se r´ ev´ elerait rapidement contraignant et limitatif.
De nouvelles commandes Scilab peuvent donc ˆ etre introduites, avec parcimonie, l’objectif principal de l’activit´ e informatique restant la mise en pratique des connaissances math´ ematiques. Ces commandes suppl´ ementaires devront ˆ etre pr´ esent´ ees en pr´ eambule et toutes les pr´ ecisions n´ ecessaires devront ˆ etre donn´ ees lors de leur utilisation et leur interpr´ etation. On favorisera ` a cette occasion l’autonomie et la prise d’initiatives des ´ etudiants grˆ ace ` a l’utilisation de l’aide de Scilab, et ` a l’usage d’op´ erations de
«copier-coller»qui permettent de prendre en main rapidement des fonctions nouvelles et ´ evitent d’avoir ` a connaˆıtre par cœur la syntaxe de commandes complexes.
L’objectif de ces travaux pratiques n’est pas l’´ ecriture de longs programmes mais l’assimilation de savoir-faire et de comp´ etences sp´ ecifi´ es dans la liste des exigibles et rappel´ es en pr´ eambule de chaque th` eme.
Les exemples trait´ es dans un th` eme devront ˆ etre tir´ es, autant que possible, de situations r´ eelles (trai- tement de donn´ ees ´ economiques, sociologiques, historiques, d´ emographiques, en lien avec le monde de l’entreprise ou de la finance), en faisant d` es que possible un rapprochement avec les autres disciplines.
I - Liste des exigibles
1 - Savoir-faire et comp´ etences
C1 : Produire et interpr´ eter des r´ esum´ es num´ eriques et graphiques d’une s´ erie statistique (simple, double) ou d’une loi.
C2 : Mod´ eliser et simuler des ph´ enom` enes (al´ eatoires ou d´ eterministes) et les traduire en langage math´ ematique.
C3 : Repr´ esenter et interpr´ eter les diff´ erentes convergences.
C4 : Utiliser ` a bon escient la m´ ethode de Monte-Carlo.
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C5 : Porter un regard critique sur les m´ ethodes d’estimation et de simulation.
2 - Nouvelles commandes
Toutes les commandes du programme de premi` ere ann´ ee sont exigibles. Les seules nouvelles commandes exigibles des candidats sont indiqu´ ees dans ce paragraphe.
La connaissance des commandes suivantes ainsi que de leurs arguments est exigible des candidats :
sum,cumsum,mean,max,min,zeros,ones,eye,spec.Les commandes suivantes devront avoir ´ et´ e manipul´ ees par les ´ etudiants mais la connaissance d´ etaill´ ee de leurs arguments n’est pas exigible des candidats :
plot2d,fplot2d.
II - Liste des th` emes
1 - Statistiques descriptives univari´ ees
(Dur´ ee indicative : 3 heures. Comp´ etences d´ evelopp´ ees : C1 et C5)
Dans ce paragraphe, on analysera des donn´ ees statistiques issues de l’´ economie, du monde de l’en- treprise ou de la finance, en insistant sur les repr´ esentations graphiques. On insistera sur le rˆ ole des diff´ erents indicateurs de position et de dispersion ´ etudi´ es.
S´ erie statistique associ´ ee ` a un ´ echantillon.
Effectifs, fr´ equences, fr´ equences cumul´ ees, dia- grammes en bˆ aton, histogrammes.
Indicateurs de position : moyenne, m´ ediane, mode, quantiles.
Indicateurs de dispersion : ´ etendue, variance et
´
ecart-type empiriques, ´ ecart inter-quantile.
On pourra ´ egalement utiliser les commandes :
dsearch,tabul,pie,stdeviation,median.2 - Statistiques descriptives bivari´ ees
(Dur´ ee indicative : 3 heures. Comp´ etences d´ evelopp´ ees : C1 et C5) S´ erie statistique ` a deux variables, nuage de
points associ´ e.
Point moyen (¯ x, y) du nuage. ¯
Covariance empirique, cœfficient de corr´ elation empirique, droites de r´ egression.
On tracera le nuage de points et les droites de r´ egression et on pourra effectuer des pr´ e-transformations pour se ramener au cas lin´ eaire.
On diff´ erenciera les variables explicatives des variables ` a expliquer.
On pourra utiliser les commandes :
stdeviation,corr.3 - Chaˆınes de Markov
(Dur´ ee indicative : 4 heures. Comp´ etences d´ evelopp´ ees : C2 et C3)
Ce th` eme sera l’occasion de revoir les simulations de lois discr` etes ´ etudi´ ees en premi` ere ann´ ee ainsi
que d’appliquer les r´ esultats et techniques d’alg` ebre lin´ eaire.
Matrice de transition.
Etude sur des exemples simples. ´ Comportement limite.
On pourra ´ etudier l’indice de popularit´ e d’une page Web (PageRank), mod´ eliser l’´ evo- lution d’une soci´ et´ e (passage d’individus d’une classe sociale ` a une autre), ou les sys- t` emes de bonus-malus. Simulation et mise en
´
evidence d’´ etats stables avec la commande
grand(n,’markov’, M, x0)4 - Simulation de lois, application au calcul d’esp´ erances
(Dur´ ee indicative : 10 heures. Comp´ etences d´ evelopp´ ees : C1, C2, C3, C4 et C5)
Dans toutes les simulations effectu´ ees, on pourra comparer les ´ echantillons obtenus avec les distribu- tions th´ eoriques, en utilisant des diagrammes en bˆ atons et des histogrammes. On pourra aussi tracer la fonction de r´ epartition empirique et la comparer ` a la fonction de r´ epartition th´ eorique.
Simulation de la loi uniforme sur [0, 1] ; sur [a, b]. Utilisation du g´ en´ erateur
grand.M´ ethodes de simulation d’une loi g´ eom´ etrique. Comparaison entre diff´ erentes m´ ethodes : uti- lisation d’une loi de Bernoulli et d’une boucle
while, utilisation d’une loi exponentielle et dela fonction
floor, utilisation du g´en´ erateur
grand.Simulation informatique de la loi de X = Y
1+ . . . + Y
nn o` u Y
1, . . . , Y
nsont des variables al´ eatoires ind´ ependantes suivant toutes la loi uniforme ` a densit´ e sur [0, 1].
On s’int´ eressera en particulier au cas n = 12.
On remarquera que la variable al´ eatoire centr´ ee r´ eduite associ´ ee ` a X est une approximation de la loi normale centr´ ee r´ eduite et on sensibilisera les
´
etudiants au th´ eor` eme limite central, en testant cette simulation avec d’autres lois.
Moyenne empirique et variance empirique.
Comparaison de diff´ erents estimateurs ponc- tuels d’un param` etre.
On pourra utiliser des donn´ ees issues de situa- tions r´ eelles (simple comparaison de valeurs nu- m´ eriques) ou cr´ eer plusieurs jeux de donn´ ees par simulation grˆ ace ` a la commande
grand. Dans cedernier cas, on pourra comparer les lois des es- timateurs par exemple ` a l’aide d’histogrammes.
M´ ethode de Monte-Carlo : principe et applica- tions.
Cette m´ ethode permet d’estimer des quantit´ es qu’il est parfois difficile de calculer explicite- ment mais qu’il est facile d’approcher par simu- lation. On pense typiquement ` a des probabilit´ es d’´ ev´ enements, des esp´ erances de variables al´ ea- toires, ou des calculs d’int´ egrales. On pourra
´
egalement recourir ` a cette m´ ethode pour v´ erifier num´ eriquement la justesse d’un calcul explicite d’une quantit´ e comme une esp´ erance ou une va- riance.
La loi des grands nombres garantit la qualit´ e de l’approximation.
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