TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

(1)

2020/2021 Type G2E

TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Exercice 1.

Soitf un endomorphisme d’un espace vectorielE de dimension finie. On suppose quef 6= 0,f 6= Id et f²=f. 1. Montrer que sihest injective eth◦g= 0 avechetg deux endomorphismes deE alorsg= 0.

2. En d´eduire quef etf −Id sont non injectives.

3. En d´eduire les valeurs propres def.

4. Soitαun r´eel non nul. Montrer quef +αId est non inversible si et seulement siα=−1.

Exercice 2.

L’expérience de cet exercice consiste à jeter simultanément trois dés (un rouge, un vert et un bleu) équilibrés et à quatre faces (numérotées de 1 à 4). Les variables aléatoires de ce problème sont :

• X, le maximum des trois nombres amen´es par les d´es.

• X1,X2,X3,X1étant le nombre amené par le dé rouge,X2 par le dé bleu etX3par le dé vert.

• Y, la somme des nombres amenés par les dés rouge et bleu etZ, la somme des nombres amenés par les trois dés.

1. D´eterminer la loi deX.

2. Montrer queP(Y =k) = k−1

16 sik∈J2,5KetP(Y =k) =9−k

16 sik∈J6,8K. 3. (a) D´emontrer que, pour tout ideZ(Ω), on a :

P(Z=i) =

8

X

k=2

P(Y =k)P(X3=i−k).

(b) Montrer la probabilité pour que la somme des nombres amenés par les trois dés soit un multiple de 5 est 3

16.

4. Voici la dernière expérience : Nous jetons les trois dés puis nous évaluons la somme des nombres amenés par les trois dés. Tant que cette somme n’est pas un multiple de 5, nous recommencerons le lancer des trois dés.

N désigne alors le nombre de lancers réalisés pour obtenir cette somme multiple de 5. Donner la loi deN ainsi que son espérance et sa variance.

(2)

2020/2021 Type G2E

TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Exercice 1.

1. (a) `A l’aide d’une int´egration par parties, montrer que Z +∞

1

sin(t)

t dtconverge.

(b) En d´eduire que Z +∞

0

sin(t)

t dtconverge.

2. (a) Montrer que, pour tout entier naturel non nulk, on a : Z (k+1)π

kπ

sin(t) t

dt> 2 π(k+ 1).

(b) Montrer que, pour tout entier naturel non nuln,

n

X

k=1

1

k >ln(n+ 1).

(c) En d´eduire que Z +∞

0

sin(t)

t dtne converge pas absolument et conclure.

Exercice 2.

Soitnun entier naturel non nul.

1. Donner une condition n´ecessaire et suffisante sur les r´eels aetb pour que la matrice

a 1 0 b

soit diagonalisable.

2. En remarquant que, pour tout r´eel t, on a : (1 +t)ⁿ×(1 +t)ⁿ = (1 +t)²ⁿ, calculer

n

X

k=0

n k

² .

3. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi binomiale de paramètres n et 1 2. SoitM la matrice

X 1

0 Y

. Quelle est la probabilit´e queM soit diagonalisable ?

(3)

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TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques Question de cours.

Enoncer le th´^´ eor`eme de Rolle.

Exercice.

On considère l’équation différentielle suivante :

(E) : y⁰⁰−2y⁰+ 2y= 2x². d’inconnuey fonction deux fois d´erivable surR.

1. Sachant qu’un polynôme du second degré est solution de (E), résoudre (E) et déterminer l’unique solutionf de (E) vérifiant

(f(0) = 1 f⁰(0) = 3.

2. L’objet de cette question est de vérifier numériquement le résultat précédent en écrivant une fonction, en langage Python, permettant d’obtenir une approximation de la courbe représentative de f surR+.

On fixe un r´eel strictement positifhet, pour tout entier natureli, on posexi=ih.

(a) Justifier que, pour tout r´eel x, on a : f(x+s) =f(x) +sf⁰(x) + o

s→0(s) et f(x+s) +f(x−s) = 2f(x) +s²f⁰⁰(x) + o

s→0 s² .

(b) En déduire, pour tout entier naturel i, une approximation de f⁰(x_i) et une approximation de f⁰⁰(x_i) en fonction d’éléments de la famille (f(xj))_j∈N.

(c) On suppose avoir construit, pour un certain entier naturel non nul n, des approximations def(x0),f(x1), . . ., f(xn), not´eesfe(x0),fe(x1),. . .,fe(xn).

A l’aide de la question précédente, proposer une approximationfe(xn+1) def(xn+1) en fonction d’éléments de la famille

fe(x0),fe(x1), . . . ,fe(xn) .

(d) Donner, à l’aide de l’égalité f⁰(0) = 3, une valeur approchée fe(x1) de f(x1) puis proposer, à l’aide de la question précédente, une fonction, en langage Python, permettant d’obtenir une approximation de la courbe représentative def.

(e) Adapter la fonction précédente pour vérifier la cohérence des résultats obtenus.

3. Montrer quef est de classeC^∞ surR. Montrer que, pour tout entier naturelndiff´erent de 2, on a : u_n+2= 2u_n+1−2u_n

o`u on a pos´e, pour tout entier natureln,u_n =f⁽ⁿ⁾(0).

4. D´eterminerf⁽ⁿ⁾(0) pour tout entier natureln.

(4)

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TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques Question de cours.

Qu’appelle-t-onracine d’un polynˆome ?

Qu’appelle-t-onordre de multiplicit´e d’une racine d’un polynˆome ?

Exercice.

Soittun r´eel positif ou nul. Pour tout r´eelx, on pose :

Pt(x) =x³+tx−1.

1. Montrer que le polynˆomeP_tadmet une unique racine r´eelleu(t).

2. On noteul’application définie surR⁺ qui, à tout réel positift, associeu(t).

(a) Montrer queu(R⁺)⊂]0; 1].

(b) D´emontrer que la fonctionuest strictement d´ecroissante surR⁺. (c) Calculer lim

t→+∞(u(t)).

Indication : utiliser l’expression deP_t(u(t)).

(d) Montrer que l’applicationuest bijective deR⁺ vers ]0; 1], de r´eciproque :

v:







]0; 1] - R⁺

y -

1−y³ y

(e) Représenter graphiquement grâce au langagePythonla fonctionvsur ]0; 1]. En déduire le tracé de représentation graphique de la fonctionu.

(f) Justifier que la fonctionuest continue surR⁺.

(g) Démontrer que la fonction uest dérivable surR⁺ puis déterminer, pour tout réel positift, une expression deu⁰(t) en fonction det etu(t).

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Question de cours.

Quand dit-on que deux fonctions sont ´equivalentes au voisinage d’un point ? Donner des ´equivalents usuels dex7→ln(1 +x) et dex7→1−cos(x) au voisinage de 0 .

Exercice.

Rappel : algorithme de dichotomie. On consid`ere une fonction f continue sur un segment [a, b]. On suppose que f s’annule exactement une fois sur[a, b], en un point que l’on noteγ. On d´efinit les suites(ak)_k>0et(bk)_k>0de la fa¸con suivante :

• a0=aetb0=b.

• Pour tout entier naturelk, on noteck= ^a^k^+b₂ ^k et :

si f(ak)f(ck)60, alors ak+1=ak et bk+1=ck

sinon, on pose ak+1=cket bk+1=bk. On sait alors que les suites(ak) et(bk)convergent toutes les deux versγ, en v´erifiant :

∀k∈N, ak6γ6bk et∀k∈N, bk−ak=b−a 2^k .

On peut montrer que si l’entierk est tel que ^b−a₂_k 6ε, alorsak etbk sont des valeurs approchées deγ àε-près.

1. On consid`ere pour tout entiern>2, la fonctionfn d´efinie surR^∗+ par :fn(x) =xⁿ−ln(x)−n.

(a) Dresser le tableau de variations defn.

(b) On rappelle et on admet l’inégalité suivante : ∀x∈R^∗+, ln(x)6x−1 (?). En déduire que pour tout entiern>2, il existe un unique réelun∈i

0;n⁻ⁿ¹h

tel quefn(un) = 0 et un unique r´eelvn∈i

n⁻ⁿ¹; +∞h

tel quefn(vn) = 0.

2. Etude de la suite´ (vn)

La suite (vn)_n>2 vérifie donc l’égalité :∀n>2,vnⁿ−ln(vn)−n= 0.

(a) Justifier en utilisant si besoin (?) quefn

(2n)ⁿ¹

>0, puis en d´eduire que :∀n>2,vn6(2n)ⁿ¹.

(b) En utilisant l’algorithme de dichotomie, déterminer des valeurs approchées à 10⁻³près des termesvnpournallant de 2 à 30. Représenter la suite (vn) graphiquement.

On rappelle que la fonction plot des modules pylab ou matplotlib.pyplot permet de faire des repr´esentations graphiques comme le montre l’exemple suivant :

import matplotlib.pyplot as plt X=[n for n in range(20)]

Y=[(2/3)**k for k in X]

plt.plot(X,Y,’o’) plt.show()

(c) Montrer que (vn) converge et d´eterminer sa limitel.

(d) On admet le r´esultat suivant : sian ∼

n→+∞bnavec lim

n→+∞(bn) = +∞, alorsln(an) ∼

n→+∞ln(bn). On rappelle de plus queln(x) ∼

x→1x−1.D´eterminer un ´equivalent devn−l.

.

3. Etude de la suite´ (un)

(a) Proposer une méthode permettant de déterminer des valeurs approchées à 10⁻³près des termesunpournallant de 2 à 8.

(b) Calculerfn(un+1). En d´eduire le sens de variation de (un).

(c) Justifier que lim

n→+∞(uⁿn) = 0, puis montrer queun ∼

n→+∞e⁻ⁿ.

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Question de cours.

Dans un espace probabilisé (Ω,A,P) donner la définition d’un système complet d’événements. Énoncer alors la formule des probabilités totales pour calculerP(A) pourA un événement quelconque.

Exercice.

On consid`ere la suite (un)n>1 telle queu1∈]0;π[ et, pour toutn∈N^?, on a : un+1=

1 + 1 n

sin(un).

1. Montrer que pour tout entiern>3 : 0< u_n< π 2

2. D´eterminer le seul r´eel vers lequel la suite (un) peut converger.

3. Repr´esenter graphiquementu_n en fonction de npour plusieurs valeurs deu₁, puis ´emettre une conjecture sur la monotonie de la suite (u_n).

4. Montrer que s’il existe un entiern0 >4 tel que un₀ 6un₀−1, alors la suite d´ecroˆıt `a partir du rangn0. On pourra pour cela, utiliser une expression de un+1

un

en fonction deun et un−1. 5. Est-il possible que, pour tout entiern>4,u_n> u_n−1?

6. Conclure en ´etablissant la convergence de (un).

7. ´Emettre une conjecture sur la limite de (√ nu_n).

8. En posant, pour tout entier naturel non nuln,xn= un

n , montrer que : (xn+1−xn) ∼

n→+∞

−n²

6 x³_n, puis que 1 x²_n+1 − 1

x²_n ∼

n→+∞

n² 3 .

9. En admettant que le résultat précédent permet d’établir la relation suivante : 1 x²_n ∼

n→+∞

n

X

k=1

k²

3 , v´erifier la conjecture faite `a la question 7.

(7)

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TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Exercice 1.

Soientaun r´eel etf l’endomorphisme deR³dont la matrice canoniquement associ´ee est





3 a 4

−1 3 −1

−2 8 −3



.

1. Montrer que−1 appartient au spectre def. 2. (a) Trouver un r´eelatel que dim(E₋₁) = 2.

(b) Expliciter le spectre def avec cette valeur dea.

3. f est-il diagonalisable avec cette valeur dea?

Exercice 2.

Soit(E)l’équation différentielle d’inconnuey fonction trois fois dérivable surRsuivante : y⁽³⁾=y (E)

On suppose quef est une solution de(E). On poseg=f+f⁰+f⁽²⁾.

1. Montrer quegvérifie une équation différentielle linéaire du premier ordre que l’on explicitera.

2. En déduire qu’il existe un réel ctel que, pour tout réel x, on ait : f(x) +f⁰(x) +f⁽²⁾(x) =cexp (x).

3. Sachant qu’il existe un réelatel quex7→aexp (x) soit solution de l’équation différentielley+y⁰+y⁰⁰=cexp (x) d’inconnuey fonction deux fois dérivable, expliciterf.

4. Conclure !

(8)

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TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Exercice 1.

On consid`eref l’application suivante : f :

(

R[X] →R[X]

P 7→(4X+ 1)P(X)−(X−2)(X+ 1)P⁰(X) 1. Comparer, pour tout polynˆomeP, le degr´e deP et celui de f(P).

2. En déduire qu’il existe un unique entier naturelntel que la restriction def àRn[X] réalise un endomorphisme ϕ_n deRn[X].

3. DéterminerKer(ϕn) (nétant l’entier naturel de la question précédente) et montrer que (ϕn(1), ϕn(X), ϕn(X²), ϕn(X³)) est une base de Im (ϕn).

Exercice 2.

On d´efinit la suite (un)_n∈Nparu0 quelconque et, pour tout entier natureln,un+1=un+u²_n

2 .

1. ´Etudierf :x7→ x+x²

2 et en d´eduire que, pour tout entier naturelnnon nul,un appartient `a

−1 2,+∞

. 2. En d´eduire que (u_n)_n∈_N? est toujours monotone puis qu’elle est d´ecroissante si et seulement si u₀ est dans

]−2,−1]∪[0,1[.

3. Montrer que, si (un)_n∈Nconverge vers un r´eel L, alorsL= 0 ouL= 1.

4. En d´eduire, en fonction deu0 (on distinguera quatre cas), la limite de (un)n∈N.

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TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques Question de cours.

^Densité d’une loi normale centrée réduite.

Exercice.

On chercher à déterminer toutes les fonctions continues surR+ vérifiant :

∀x∈R+, f(x) = cos(x)−x− Z x

0

(x−t)f(t) dt. (∗) 1. Approche num´erique.

On suppose quef est une solution du probl`eme. Soithun entier strictement positif. Pour tout entier natureli, on posexi=ih. Dans cette question, nous allons construire un algorithme permettant d’obtenir une approximation de la courbe repr´esentative de f.

(a) D´eterminer f(x0).

(b) On suppose avoir construit, pour un certain entier natureln, des approximations def(x₀),f(x₁),. . .,f(x_n), not´eesfe(x₀),fe(x₁),. . .,fe(x_n).

i. Justifier qu’une valeur approch´ee de Z xn+1

0

f(t) dtest

n

X

k=0

hfe(x_k).

ii. Proposer une approximation de Z x_n+1

0

tf(t) dt.

iii. En d´eduire un algorithme permettant d’obtenir une approximation de la courbe repr´esentative def. (c) Conjecturer le nombre de solutions de (∗).

2. Etude math´´ ematique

(a) Montrer que sif est solution du problème, alorsf est dérivable et déterminerf⁰(x) pour tout réel positifx.

(b) En déduire quef est solution d’une équation du second ordre non homogène dont on note qu’une solution est une fonction définie surR⁺ de la formex7→(ax+b) sin(x) avecaetb deux réels à déterminer.

(c) En d´eduire enfin les fonctions continues surR+ qui sont solutions de (∗).

3. Coh´erence

Réaliser une représentation graphique permettant de vérifier la cohérence des résultats obtenus.

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TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques Question de cours.

^D´efinir la notion d’application injective, puis surjective.

Exercice.

1. Soient a1;· · ·;an des r´eels non nuls. ´Ecrire une fonction Python qui renvoie True si a²_i

n

X

k=1

1

a²_k >2 pour tout i∈ {1,· · · , n} et qui renvoieFalse sinon. La fonction aura pour seul param`etre une liste contenant les r´eels a1;· · ·;an.

2. On consid`ere les vecteurs−→u = (1; 0; 0), −→v =√

2(0; 1; 0), −→w =√

2(0; 0; 1) etP le plan de R³ admettant pour

´equation dans la base canonique :

y−z= 0.

Déterminer les projetés orthogonaux des vecteurs−→u,−→v,−→w sur le planP et vérifier qu’ils ont même norme.

3. Soit (−→e1;−→e2;−→e3) la base canonique deR³et a1,a2,a3trois réels tous non nuls. On suppose qu’il existe un plan P tel que les projetés orthogonaux des vecteursa1−→e1,a2−→e2 et a3−→e3 sur ce plan aient tous la même norme que l’on noterad. On considère (−→ε1;−→ε2) une base orthonormée deP et −→ε3 un vecteur normal à P de norme 1. On notepla projection orthogonale sur le planP.

(a) Donner une expression dep(→−ei) pour i∈ {1,2,3}`a l’aide des vecteurs −→ε1 et −→ε2. (b) Montrer que pour touti∈ {1,2,3}, on a :

h−→ei,−→ε1i²+h−→ei,−→ε2i²= d

a_i ²

.

(c) Montrer que :

3

X

i=1

1 a²_i = 2

d².

(d) Pour touti∈ {1,2,3}, montrer que|ai|>dpuis que : a²_i

3

X

k=1

1 a²_k >2.

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Question de cours.

^Définition de la notion d’indépendance mutuelle d’une famille finie d’événements.

Exercice.

Le but de problème est d’illustrer la transformation DCT (Discrete Cosinus Transform) utilisée en théorie du signal et destinée entre autre à comprimer l’information. Dans ce problème,N sera un un entier naturel pair,psera N

2, (e0, . . . , eN) la base canonique deR^N+1et, pour toutkdeJ0, NK,uk(v) avecvun vecteur deR^N+1, sera la (k+ 1)î`êmecoordonnée devdans la base (e0, . . . , eN). On définit les vecteursAhavechune fonction de [0,1] dansRetC0, C1, . . . , CN par :

∀k∈J0, NK, uk(Ah) =h k

N

et ∀(`, k)∈(J0, NK)², uk(C`) = cos





 π`

k+1

2

N+ 1







Asinest par exemple

0,sin 1

N

,sin 2

N

,· · ·,sin

N−1 N

,sin (1)

.

1. (a) Soientpetqdeux r´eels. Trouver deux r´eelsaetbtels que : 2 cos(p) cos(q) = cos(a) + cos(b).

(b) Montrer que

N

X

k=0

cos





 aπ

k+1

2

N+ 1







= 0 pour toutanon nul deJ−N,2NK.

(c) En d´eduire que la famille (C0, C1, . . . , CN) est une famille orthogonale deR^N+1.

(d) Montrer que la famille (C0, C1, . . . , CN) est une base deR^N+1et orthonormaliser cette famille. On note (fC0,Cf1, . . . ,Cfp) cette nouvelle famille.

2. On consid`ereπpla projection orthogonale sur Vect (C0, . . . , Cp).

(a) On appelleB la matrice canoniquement associ´ee deπp. Montrer que : B=U0×^tU0+· · ·+Up×^tUp

en notant, pour toutideJ0, pK,Uila matrice canoniquement associée àCfiet en déduire un programme, en langage Python, capable d’expliciterB.

(b) Que vautB²? Que peut-on en déduire concernant ses valeurs propres ? 3. On introduit les deux élémentsf etgdeF([0,1]) suivants :

f:x - x² et g:x -







0 six6 1 2 1 sinon

.

(a) SoitA:

(F([0,1]) - _R

h - Ah

.Aest-elle une application lin´eaire ?

(b) Donner une fonction, en langage Python, repr´esentant la fonctionf ainsi que, sur ce mˆeme graphique, les points k

N, uk(Af)

et k

N, uk(πp(Af))

pour toutkdeJ0, NK. Faire de mˆeme pourg.

(c) Illustrer et commenter ce qui se passe lorsqueN augmente.

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Question de cours.

Enoncer la loi faible des grands nombres.^´

Exercice.

On pourra utiliser pour les programmesPythonla fonctionlinalg.matrix rank()du modulenumpy, qui permet de d´eterminer le rang d’une famille de vecteurs. Ici, par exemple, Python renvoie alors la valeur2:

i m p o r t n u m p y as np

V = np. a r r a y ( [ [1 ,2 ,1] , [2 ,3 ,2]] ) p r i n t ( np. l i n a l g . m a t r i x _ r a n k (V) )

On consid`ere la matrice : A=





−4 −3 −3

0 2 0

6 3 5



 etf l’endomorphisme deR³ repr´esent´e dans la base canonique par la matriceA.

1. (a) Écrire une fonction Python prenant en arguments deux vecteurs de taille 3 et renvoyant un booléen (TrueouFalse) indiquant s’ils sont colinéaires.On pourra représenter les vecteurs par des listes.

(b) ´Ecrire une fonction Python prenant en argument un vecteur de taille 3 et renvoyant un bool´een indiquant s’il est un vecteur propre deA.

2. (a) Vérifier que les vecteurs (1;−2; 0), (0; 1;−1) et (1; 0;−1) sont des vecteurs propres de f et préciser pour chacun la valeur propre associée.

(b) L’endomorphismefest-il diagonalisable ?

3. (a) ´Ecrire un programme Python permettant de d´eterminer le nombre de vecteurs propres deAdont les cœfficients sont des entiers compris entre−10 et 10 (bornes incluses).

(b) SoitN un entier naturel non nul, ou souhaite montrer que le nombre de vecteurs propres deA dont les coefficients sont des entiers compris entre−N etN (bornes incluses) est 2N(N+ 2).

i. SoitαdansJ−N, NK. Dénombrez le nombre d’élémentsβdeJ−N, NKtels que−N+ 2α6β6N+ 2α.

ii. D´enombrez le nombre de couples d’entiers (α, β) tels que :

α∈J−N,+NK, β∈J−N,+NK,−2α+β∈J−N,+NKet (α, β)6= (0,0).

iii. Donner les ´el´ements propres deApuis conclure.

4. Soit N un entier naturel non nul, une expérience consiste à choisir au hasard de manière indépendanteN vecteurs à cœfficients entiers dansJ−N, NK

3.

(a) Quelle est la probabilit´epN d’obtenir au moins un vecteur propre deAparmi cesN vecteurs ? (b) Quelle est la limite deNln

1−2N(N+ 2) (2N+ 1)³

lorsqueN tend vers +∞? En d´eduire la limite depN quandN tend vers +∞.

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Exercice 1.

1. ´ Etudier lim

t→0

t − sin(t) t sin(t)

.

2. Soit F : x 7→

Z

2x x

dt

t . Donner le domaine de d´ efinition de F et d´ eterminer lim

t→0

(F (t)).

3. Soit G la fonction d´ efinie sur i 0, π

2 h

par : G : x 7→

Z

2x x

dt sin(t) . (a) Montrer que G est continue et d´ eterminer lim

t→0

(G(t)). Indication : on pourra introduire H : x 7→

Z

x 1

h(t)dt avec h :



 



 



[0, π[

^-

R

t

^-







0 si t = 0

t − sin(t)

t sin(t) si t ∈]0, π[

.

(b) Donner le tableau de variations de G. Pour d´ eterminer la limite de G en π

2 , effectuer le changement de variable : u = cos(t) et prouver que, pour tout x dans i

0, π 4 h

, on a G(2x) = ln

tan(2x) tan(x)

.

Exercice 2.

On suppose que les avions peuvent terminer un vol si au moins la moiti´ e de ses r´ eacteurs fonctionne.

On suppose que chaque r´ eacteur a une probabilit´ e p (p ´ el´ ement de ]0, 1[) de tomber en panne et que les r´ eacteurs se comportent de mani` ere ind´ ependant.

1. On note X

_n

le nombre de r´ eacteur en panne d’un avion ayant n (n valant 2 ou 4) r´ eacteurs.

Donner la loi, l’esp´ erance et la variance de X

_n

.

2. Montrer que P

₂

= p

²

et P

₄

= 4p

³

− 3p

⁴

avec P

₂

la probabilit´ e d’accident d’un avion ` a deux r´ eacteurs et P

₄

la probabilit´ e d’accident d’un avion ` a quatre r´ eacteurs.

3. D´ eterminer, en fonction de p, s’il vaut mieux monter dans un avion ` a deux ou bien ` a quatre

r´ eacteurs.

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2020/2021 Type G2E

TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Exercice 1.

On souhaite ´ etudier (S

_n

)

_n>2

d´ efinie par :

Pour tout entier naturel n sup´ erieur ` a 2 , S

_n

=

n

X

k=2

1 k ln (k) . 1. Montrer que, pour tout entier naturel k sup´ erieur ` a 2, on a :

1 (k + 1) ln (k + 1) 6 Z

k+1

k

1 x ln (x) dx 6 1 k ln (k) 2. En d´ eduire que : S

n

∼

+∞

ln(ln(n)).

3. Quelle est la nature de X

n>2

1 n ln (n) ?

Exercice 2.

Un collectionneur ach` ete des tablettes de chocolat d’une certaine marque. Dans chaque tablette, il trouve une vignette qu’il peut coller dans un album ´ edit´ e par cette marque. L’album contient n emplacements avec n un entier sup´ erieur ` a 2. Soit T

_k

le nombre d’achats effectu´ es pour d´ ecouvrir une k-i` eme nouvelle vignette. Pour tout k de J 2, n K , on pose : U

_k

= T

_k

− T

k−1

.

1. Trouver, pour tout k de J 2, n K , la loi de U

_k

. Donner son esp´ erance et sa variance.

2. En d´ eduire E(T

_n

) (On laissera le r´ esultat sous la forme d’une somme).

3. ´ Etablir, pour tout k entier naturel non nul, les in´ egalit´ es suivantes : 1

k + 1 6 ln(k + 1) − ln(k) 6 1 k .

4. En d´ eduire un ´ equivalent de

n

X

k=1

1 k

!

n∈N^?

.

5. En d´ eduire un ´ equivalent de (E(T

_n

))

_n>2

.

(15)

2020/2021 Type Agro

TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Question de cours.

Donner la d´efinition d’une valeur propre ainsi que d’un sous-espace propre pour une matrice A∈ Mn(R).

Exercice.

Soit (a1, a2, a3)∈C³. On consid`ere la matrice deM3(C) d´efinie par :A=





a1 a2 a3

a2 a3 a1

a3 a1 a2



.

On posej=−1 2+ i

√3 2 . 1. Calculerj²,j³ etj⁴.

2. (a) Soitretsdeux complexes non nuls. Montrer que la matriceM =

0 r² s² 0

est diagonalisable. Donner une base de vecteurs propres deM.

(b) La matriceM est-elle diagonalisable lorsquer= 0 ous= 0 ?

3. ´Ecrire une fonctiondecalage(L)qui renvoie, siL= [a1, . . . , an], la listeL1= [a2, . . . , an, a1].

Utiliser cette fonction pour ´ecrire une fonctionmatrice(a 1,a 2,a 3)qui renvoie la matriceA.

On pourra par exemple compl´eter le script suivant :

def m a t r i c e(a_1,a_2,a_3):

A= . . . . L= . . . .

for i in ...

A.a p p e n d(L[ : ] ) ; ...

r e t u r n ...

4. Sia1,a2 eta3 sont r´eels, la matriceAest-elle diagonalisable ?

5. Montrer queU =



 1 1 1



est un vecteur propre deA. Quelle est la valeur propre associ´ee ?

6. On poseX1=



 1 j j²



etX2=



 1 j² j



. On pourra utiliser sans justifier que la famille (U, X1, X2) est libre.

(a) CalculerAX1 etAX2. En d´eduire qu’il existe des complexesr etstels queAX1=s²X2 etAX2=r²X1.

(b) Déterminer le spectre deA.On pourra exprimer les valeurs propres à l’aide des complexes r et s introduits à la question 6 et utiliser la question 2.

7. Pr´eciser siAest diagonalisable siA=





1 j j² j j² 1 j² 1 j



puis siA=





j 1 0

1 0 j

0 j 1



.

(16)

2020/2021 Type Agro

TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Question de cours.

A quelle(s) condition(s) sur sa fonction de r´^` epartition une variable aléatoireX admet-elle une densité de probabilité ? Comment détermine-t-on alors une densité deX?

Exercice.

Dans tout l’exercice, on consid`ereR³muni du produit scalaire canonique. On rappelle que siu= (u1, u2, u3) etv= (v1, v2, v3) sont deux vecteurs deR³, alors leur produit scalaire est :

hu, vi=u1v1+u2v2+u3v3.

Soitf un endomorphisme deR³ dont la matrice dans la base canonique deR³ est donn´ee par : A=1

6





5 −2 1

−2 2 2

1 2 5



.

1. La matriceAest-elle diagonalisable ?

Montrer que Sp(A) ={0; 1}et d´eterminer les sous-espaces propresE0 etE1 def.

2. La matriceAest-elle inversible ?

3. Écrire une fonction Pythonprojqui prend en argument une matrice carréeM (entrée par exemple sous la forme d’une liste de listes) et qui renvoie un booléen :TruesiM²=M,Falsesinon.

Tester cette fonction sur la matriceA.

4. Montrer que Im(f) =E1.

5. ´Ecrire une fonction Pythonps prenant en argument deux vecteurs deR³ cod´es sous forme de tableaux numpy ou de listes, et retournant leur produit scalaire.

6. (a) Montrer que les deux sous-espaces propresE0 etE1 sont orthogonaux, c’est-`a-dire :

∀u∈E0, ∀v∈E1, hu, vi= 0.

On pourra ´eventuellement utiliser la fonctionps.

(b) En d´eduire que pour tout vecteurx∈R³, on a :

f(x)∈E1 et∀y∈E1, f(x)−xorthogonal `ay.

On a donc montr´e quef´etait la projection orthogonale surE1.

7. Déterminer une base orthonormale deE1. En déduire, en utilisant la fonctionps, une valeur approchée de la distance du vecteurt= (1; 2; 1) à l’espaceE1 à 10⁻² près.

(17)

2020/2021 Type Agro

TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Question de cours.

Enoncer le th´^´ eor`eme de Rolle.

Exercice.

Une compagnie fait passer des entretiens d’embauche àncandidats. On suppose que la compétence de chaque candidat est quantifiée par une variable aléatoireXi suivant une loi uniforme sur [0; 1], d’autant plus élevée que le candidat est compétent.

De plus, on suppose que les variables (X1, . . . , Xn) sont mutuellement ind´ependantes.

A la fin de chaque entretien, la compagnie doit imm´` ediatement donner sa décision : soit elle embauche le candidat, soit elle passe au suivant, sans possibilité de revenir sur ses pas. La compagnie cherche à élaborer une stratégie qui lui permettrait de maximiser l’espérance de la compétence du candidat qu’elle choisira. Pour ce faire, elle décide de fixer un seuil s∈ [0; 1]. Si, parmi lesn−1 premiers candidats, aucun ne dépasse le seuil, la compagnie embauchera le dernier candidat. Sinon, elle choisira le premier candidat qui dépasse le seuil.

Pour toutk∈J1;n−1K, on noteAkl’événement : ” pour touti∈J1;k−1K,Xi< s, etXk>s”, etBl’événement : ” pour toutk∈J1;n−1K,Xk< s”.

On définit par conséquent la variable aléatoireZn,s, compétence du candidat retenu, comme suit : Zn,s=

Xn siB est r´ealis´e,

Xk siAk est r´ealis´e (16k6n−1) .

1. (a) Écrire un programme Python qui prend en argument un réels∈[0; 1], un entier naturel non nuln, et retourne une réalisation deZn,s.

(b) En déduire un programme qui retourne une valeur approchée de la compétence moyenne du candidat recruté via ce protocole.

2. CalculerE(Zn,0) etE(Zn,1).

3. Montrer que, pour toutt∈[0; 1], on a :P(B∩[Zn,s6t]) =sⁿ⁻¹t.

Dans toute la suite de l’exercice, on suppose que 0< s <1.

4. Soitt∈[0; 1]. Pour toutk∈J1;n−1K, montrer que : P(Ak∩[Zn,s6t]) =

(t−s)s^k−1 sit>s 0 sit < s .

5. En d´eduire la valeur de la probabilit´eP(Zn,s6t) en fonction det∈[0; 1].

6. Montrer queZn,sest une variable à densité, et en donner une densité.

7. En d´eduire que :E(Zn,s) =¹₂(1 +s−sⁿ).

8. Déterminer le seuils^∗nqui maximise la compétence moyenne du candidat embauché en fonction den.

9. À l’aide de la fonction programmée en 1.(b), tracer sur un graphique l’évolution de la valeur deE(Zn,s) en fonction de spourn= 5,10,50, et vérifier les conclusions de la question précédente dans ces cas.

(18)

2020/2021 Type Agro

TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques Question de cours. Qu’appelle-t-on racine d’un polynˆ ome ?

Qu’appelle-t-on ordre de multiplicit´ e d’une racine d’un polynˆ ome ?

Exercice.

On souhaite estimer un param` etre p ∈]0; 1[. On note : q = 1 − p.

Soit un entier n > 1 fix´ e. On consid` ere X

₁

, . . . , X

_n

des variables al´ eatoires, ind´ ependantes, suivant une mˆ eme loi de Bernoulli de param` etre p et d´ efinies sur un mˆ eme espace probabilit´ es.

On note : X

_n

= 1 n

n

P

k=1

X

_k

et Y

_n

= 1 n

n

P

k=1

(1 − X

_k

).

1.(a) Justifier que p(1 − p) 6

¹₄

.

(b) En utilisant l’in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev, montrer que l’intervalle h

X

_n

− q

5

n

; X

_n

+ q

5

n

i est un intervalle de confiance de p au niveau de confiance 0, 95.

2. ´ Ecrire une fonction Python test(n,p,a,b) qui prend en arguments un entier n, une probabilit´ e p, deux flottants a et b, simule une r´ ealisation de X

_n

et retourne 1 si X

_n

appartient ` a [a, b] et 0 sinon.

On cherche par la suite un intervalle de confiance de p au niveau de confiance 0, 95 d’amplitude plus petite.

3. On fixe un r´ eel strictement positif t quelconque et ε un r´ eel strictement positif quelconque.

(a) ´ Etablir l’´ egalit´ e : P X

n

− p > ε

= P

e

^ntXⁿ

> e

^nt(p+ε)

.

(b) En utilisant l’in´ egalit´ e de Markov, ´ etablir l’in´ egalit´ e suivant : P X

_n

− p > ε

6 e

ⁿ

(

^ln(pe^t^{+q)−t(p+ε)}

).

(c) On admet l’in´ egalit´ e : ln(pe

^t

+ q) − tp 6 t

²

8 pour tout r´ eel t. Ainsi, on a l’in´ egalit´ e suivante :

∀t ∈ R

+

, P X

_n

− p > ε 6 e

ⁿ

t2 8−tε

. En d´ eduire l’in´ egalit´ e : P X

_n

− p > ε

6 e

^−2nε²

. 4. ´ Etablir l’in´ egalit´ e P Y

n

− q > ε

6 e

^−2nε²

. 5. D´ eduire des questions 3(c) et 4 l’in´ egalit´ e :

∀ε ∈ R

^∗+

, P

X

_n

− p > ε

6 2e

^−2nε²

.

6. Comment choisir ε pour obtenir un intervalle de confiance de p au niveau de confiance 0,95 ?

L’amplitude de l’intervalle de confiance est-elle plus r´ eduite que celle obtenue ` a la question

1(b) ?

(19)

2020/2021 Type G2E

TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Exercice 1.

Soit n un entier naturel non nul. Pour tout r´ eel x, on pose : f(x) =

n−1

X

k=0

x + k n

et g(x) = f (x) − bxc . 1. D´ emontrer que, pour tout r´ eel x, pour tout entier m, on a :

bx + mc = bxc + m.

2. D´ emontrer que, pour tout r´ eel x, f(x + 1) − f (x) = 1.

3. Que peut-on en d´ eduire pour g ? 4. En d´ eduire que : f : x 7→ bxc

5. En d´ eduire que, pour tout entier m, on a : j m

2 k

+

m + 1 2

= m.

Exercice 2.

Soit f : t 7→ exp(−|t|)

2 .

1. Montrer que f est une densit´ e de probabilit´ e et repr´ esenter la fonction de r´ epartition associ´ ee.

2. Soit X une variable al´ eatoire admettant f pour densit´ e. Montrer que E(exp(−tX )) existe si et

seulement si t appartient ` a ] − 1, 1[ et calculer alors E(exp(−tX )).

(20)

2020/2021 Type G2E

TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Exercice 1.

Pour tout couple d’entiers naturels (n, p), on pose : J

_n,p

= Z

^π₂

0

sin

ⁿ

(t) cos

^p

(t)dt.

1. Montrer que J

_n,p

= J

_n,p−2

− J

_n+2,p−2

si n est un entier naturel et si p est un entier sup´ erieur ` a 2.

2. Montrer que J

_n,p

= p − 1

n + 1 J

n+2,p−2

si n est un entier naturel et si p est un entier sup´ erieur ` a 2.

3. Montrer que J

_n,p

= p − 1

n + p J

n,p−2

si n est un entier naturel et si p est un entier sup´ erieur ` a 2 et J

_n,p

= n − 1

n + p J

n−2,p

si p est un entier naturel et si n est un entier sup´ erieur ` a 2.

4. Calculer J

_1,1

puis d´ emontrer que :

J

_n,p

= (p − 1)(p − 3) · · · 2

(n + p)(n + p − 2) · · · (n + 3)(n + 1) si p et n sont deux entiers naturels impairs.

5. Expliciter J

_n,p

pour tout couple d’entiers naturels (n, p).

Exercice 2.

Soient a un r´ eel et la fonction f suivante : f : x 7→

( a

1 + x

²

si x > 0

0 sinon

.

1. D´ eterminer a pour que f soit une densit´ e. On appellera alors X une variable dont une densit´ e est f .

2. D´ eterminer la loi, l’esp´ erance et la variance de Y = arctan(X).

(21)

2020/2021 Type Agro

TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Question de cours. Quand dit-on que deux fonctions sont ´ equivalentes au voisinage d’un point ? Donner des ´ equivalents usuels de x 7→ ln(1 + x) et de x 7→ 1 − cos(x) au voisinage de 0 .

Exercice.

On consid` ere deux urnes U

1

et U

2

contenant respectivement 3 boules num´ erot´ ees 0 et trois boules num´ erot´ ees 1. On appelle ´ echange l’´ epreuve consistant ` a tirer une boule de U

₁

et une boule de U

₂

, puis ` a les ´ echanger. Pour tout entier naturel n, on d´ esigne par X

_n

la variable al´ eatoire donnant la somme des num´ eros inscrits sur les boules se trouvant dans l’urne U

₁

` a l’issue de n ´ echanges.

1.(a) Proposer une repr´ esentation informatique des urnes et une fonction (´ ecrite en langage Py- thon) permettant de simuler un ´ echange comme d´ ecrit ci-dessus. On rappelle que la fonction Python randint(start,stop) (de la biblioth` eque random) fournit un nombre al´ eatoire en- tier compris entre start et stop.

(b) En d´ eduire une fonction permettant de simuler X

_n

puis une fonction permettant d’obtenir une valeur approch´ ee de E(X

_n

) o` u n est un entier naturel choisi par l’utilisateur.

2.(a) Exprimer, pour tout entier naturel n, chacune des probabilit´ es P (X

_n+1

= 0), P (X

_n+1

= 1), P (X

_n+1

= 2) et P (X

_n+1

= 3) en fonction de P (X

_n

= 0), P (X

_n

= 1), P (X

_n

= 2) et P (X

_n

= 3).

(b) On introduit les matrices L = 0 1 2 3

, J = 1 1 1 1

ainsi que :

A =







0

¹₉

0 0 1

⁴₉ ⁴₉

0 0

⁴₉ ⁴₉

1 0 0

¹₉

0 





et, pour tout entier naturel n, U

_n

=







P (X

_n

= 0) P (X

_n

= 1) P (X

_n

= 2) P (X

_n

= 3)





 .

i. Trouver deux r´ eels α et β v´ erifiant : LA = αL + βJ.

ii. V´ erifier que l’on a, pour tout entier naturel n, U

_n+1

= AU

_n

. En d´ eduire, pour tout entier naturel n, E(X

_n+1

) en fonction de E(X

_n

).

(c) D´ eterminer, pour tout entier naturel n, E(X

_n

) en fonction de n.

(d) R´ ealiser une repr´ esentation graphique permettant de v´ erifier la coh´ erence des r´ esultats ob-

tenus.

(22)

2020/2021 Type Agro

TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Question de cours. Dans un espace probabilis´ e (Ω, A, P ) donner la d´ efinition d’un syst` eme complet d’´ ev´ enements. ´ Enoncer alors la formule des probabilit´ es totales pour calculer P (A) pour A un ´ ev´ enement quelconque.

Exercice

On consid` ere une urne contenant b boules blanches et r boules rouges avec b et r des entiers naturels non nuls. On effectue b + r tirages successifs et sans remise.

• Pour tout ` ∈ J 1, b + r K , on note W

_`

la variable al´ eatoire valant 1 si une blanche est tirage au

`

^i`^eme

tirage et 0 sinon.

• Pour tout k ∈ J 1, b + r K , on note S

_k

le nombre de boules blanches tir´ ees jusqu’au k

^i`^eme

tirage et R

_k

la somme des rangs des boules blanches tir´ ees jusqu’au k

^i`^eme

tirage.

1. Expliciter S

_b+r

.

2. Soit k un ´ el´ ement de J 1, b + r K . Exprimer S

_k

et R

_k

en fonction de (W

_`

)

_`∈

J1,b+rK

. 3. Donner la loi de S

k

ainsi que son esp´ erance.

4.(a) Soit k un ´ el´ ement de J 1, b + r K . Exprimer W

k

en fonction de S

k

et S

k−1

.

(b) Montrer que, pour tout k ∈ J 1, b + r K , on a : R

_k

= kS

_k

−

k−1

X

`=1

S

_`

. (c) En d´ eduire, pour tout k ∈ J 1, b + r K , E(R

_k

).

5. On cherche ` a simuler informatiquement la variable R

b+r

.

(a) ´ Ecrire une fonction Python experience(b,r) retournant une liste al´ eatoire de b+r ´ el´ ements valant 0 ou 1 et codant le r´ esultat d’un tirage de n boules de l’urne : les 1 marquant le tirage d’une boule blanche, les 0 celui d’une boule rouge.

(b) ´ Ecrire une fonction sommerang(W) qui, ´ etant donn´ ee une liste W du mˆ eme type que celle retourn´ ee par la fonction experience, simule la variable R

_b+r

.

(c) Proposer une proc´ edure permettant d’illustrer la formule donnant E(R

_b+r

).

(23)

2020/2021 Type Agro

TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Question de cours.

^Densité d’une loi normale centrée réduite.

Exercice.

Rappel :la fonction définie ci-dessous permet de représenter graphiquement la loi d’une variable aléatoire à valeurs dans J0;nK(n∈N), loi étant la liste [P(Xn= 0), . . . ,P(Xn=n)].

f r o m m a t p l o t l i b.p y p l o t i m p o r t * def g r a p h e(loi):

lx = [i for i in r a n g e(len(loi))]

bar(lx,loi) y l i m(0 ,0.5) s h o w()

Pour se rendre d’un endroit à un autre, les individus d’une fourmilière ont le choix entre deux trajets disjoints, que nous nommerons A et B. À chaque fois qu’une fourmi emprunte l’un des deux chemins, elle y dépose une certaine quantité de phéromone qui peut éventuellement dépendre de la quantité de phéromone déjà présente sur le chemin.

Notations :pour chaquen>1,αn (respectivementβn) désigne la quantité de phéromone présente sur le cheminA(resp.

B) après lenê trajet.An (resp.Bn) désigne l’évènement ” la nê fourmi choisit le trajetA (resp.B)”. Nous supposerons que chaque fourmi choisit de fa¸con aléatoire le chemin qu’elle emprunte, en affectant à chacun une probabilité proportionnelle à la quantité de phéromone qui y est présente.

On a donc :P[αn=a]∩[β_n=b](An+1) =_a+b^a etP[αn=a]∩[β_n=b](Bn+1) = _a+b^b .

Enfin,Xnd´esignera le nombre de fourmis ayant choisi le trajetAlors desnpremiers trajets.

Nous supposerons qu’initialementα0 =β0 = 1 et qu’à chaque trajet une fourmi multiplie par un facteurr >1 la quantité de phéromone déjà présente sur le chemin qu’elle emprunte.

1. D´eterminer la loi des variablesX1,X2 etX3.

2. Rédiger une fonctionsimulXqui re¸coit un entiern et un réel r, simule les déplacements denfourmis suivant la règle

énoncée et renvoie le nombreXnde fois où le cheminAa été emprunté.

3. (a) Rédiger une fonctionloiXqui re¸coit un entiernet un réelret renvoie, sous forme de liste, des valeurs approchées des probabilité [P(Xn= 0), . . . ,P(Xn=n)] obtenues en faisant 1 000 simulations de la variableXn.

(b) Repr´esenter graphiquement la loi de la variableX lorsquen= 100 etr= 2. Commenter.

4. Exprimer en fonction denet derla probabilit´eP(Xn=n).

On ne tentera pas de simplifier l’expression obtenue.

5. On pose :∀n>1,pn(r) = _1+r^r · · ·_1+r^rⁿn, et∀n∈N,qn(r) = 1−¹_r 1−_r¹3

· · · 1−_r2n+1¹

. D´emontrer que pour toutr >1, les suites (pn(r))_n>1 et (qn(r))_n∈

N convergent.

On noterap(r) etq(r) leurs limites respectives.

6. En remarquant que∀n>1,pn(r) =_1+r¹−1· · ·_1+r^rⁿ−n, montrer que :p(r)>exp

−_r−1¹ . On pourra admettre sans le démontrer l’inégalité suivante :∀x∈R,e^x>1 +x.

7. D´emontrer que∀r >1,q(r)6exp

−_r2^r−1

.

8. On admet que ∀r > 1,p(r) =q(r). Déduire des questions précédentes un encadrement de la limite de la probabilité P(Xn=n) en fonction der.

Conclusion :ce modèle vous semble-t-il approprié pour rendre compte du comportement des fourmis dans la réalité ?

(24)

2020/2021 Type Agro

TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Question de cours.

^D´efinir la notion d’application injective, puis surjective.

Exercice.

On considère d’une part deux urnesAetB et d’autre part 3 boules numérotées de 1 à 3.

On répartit initialement les boules entre les deux urnes, puis on effectue une série illimitée d’étapes selon le protocole suivant : à chaque étape, on tire au hasard un nombre entre 1 et 3 et on transfère la boule portant le numéro correspondant dans l’urne où elle n’était pas.

On noteX0 la variable aléatoire égale au nombre de boules présentes initialement dans l’urneAet pour tout entier naturel nnon nul, on noteXnla variable aléatoire égale au nombre de boules présentes dans l’urneAaprèsnétapes.

On suppose queX0 suit la loi uniforme surJ0; 3K.

1. Écrire une fonction Python qui prend en argument une valeur den, simule la réalisation de la variable aléatoireXn et renvoie la valeur deXnobtenue.

2. SoientM =





 0 1

3 0 0

1 0 2

3 0

0 2

3 0 1

0 0 1

3 0







, et pour toutn∈N,Un=







P(Xn= 0) P(Xn= 1) P(Xn= 2) P(Xn= 3)





 .

D´eterminerU0 et d´emontrer que, pour tout entier natureln,Un+1=M Un.

3. SoitEl’espace vectoriel des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 3 etB= (1, X, X², X³) la base canonique deE.

Soitϕl’application d´efinie surEpar :

∀P∈E, ϕ(P) =XP(X) +1

3(1−X²)P⁰(X).

(a) Montrer queϕest un endomorphisme deE, justifier que sa matrice repr´esentative dans la baseBest la matriceM. (b) Pour tout k ∈ J0; 3K, on pose : Pk(X) = 1

8(X−1)^k(X+ 1)^3−k. D´emontrer que pour tout k ∈ J0; 3K, ϕ(Pk) =

1−2 3k

Pk.

(c) En d´eduire que l’endomorphisme est diagonalisable et d´eterminer ses valeurs propres.

4. On pose :Q=1

4(X³+X²+X+ 1).

(a) Expliciter les coordonn´ees deQdans la baseB. Quel vecteur retrouve-t-on ? (b) Montrer que :∀n∈N,ϕⁿ(Q) =P0+

−1 3

n

P2. 5. À l’aide des questions précédentes, calculer lim

n→+∞(P(Xn= 0)), lim

n→+∞(P(Xn= 1)), lim

n→+∞(P(Xn= 2)),

n→+∞lim (P(Xn= 3)). Par quelle loi pourrait-on approcher la loi deXnpour une grande valeur den? 6. Vérifier le résultat de la question précédente à l’aide d’une simulation informatique.

(25)

2020/2021 Type G2E

TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Exercice 1.

Pour tout r´ eel x, on pose : th (x) = exp(x) − exp(−x) exp(x) + exp(−x) .

1. Montrer que la fonction th est une bijection de R sur ] − 1, 1[. On note Argth sa bijection r´ eciproque.

2. Calculer Argth (0) et Argth 1

3 . 3. Soit la fonction f suivante : f : x 7→ Argth

1 + 3th (x) 3 + th (x)

. D´ eterminer le domaine de d´ efinition D

_f

de f, montrer que f est d´ erivable sur D

_f

.

4. Trouver deux r´ eels a et b tels que f : x 7→ ax + b.

Exercice 2.

Une usine produit des boˆıtes de conserve. Chaque boˆıte a une probabilit´ e p d’ˆ etre d´ efectueuse et une probabilit´ e p

⁰

d’ˆ etre contrˆ ol´ ee , p, p

⁰

´ etant deux ´ el´ ements de ]0, 1[ . Ces ´ ev´ enements sont suppos´ es ind´ ependants.

1. Donner la loi de N , N ´ etant le nombre de boˆıtes produites avant qu’une premi` ere boˆıte d´ efectueuse soit trouv´ ee, ainsi que son esp´ erance et sa variance.

2. Soit K le nombre de boˆıtes d´ efectueuses parmi les N pr´ ec´ edentes. Donner la loi conjointe de K et N .

3. Montrer que, si x est un r´ eel tel que |x| < 1 et i est un entier naturel, alors on a :

+∞

X

k=i

k!

(k − i)! x

^k−i

= i!

(1 − x)

ⁱ⁺¹

.

4. En d´ eduire la loi de K.

(26)

2020/2021 Type G2E

TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques Exercice 1.

On note dans cet exercice B la famille (X

³

, X

²

(X −1), X (X −1)

²

, (X −1)

³

) et F et G les ensembles suivants :

F = {P ∈ R

3

[X] tels que P (1) = P

⁰

(1) = 0 } et G = {P ∈ R

3

[X] tels que P (1) = P (0) = 0 } . 1. Montrer que B est une base de R

3

[X].

2. D´ eterminer les coordonn´ ees du polynˆ ome 1 sur cette base.

3. Montrer que F et G sont des sous-espace vectoriel de R

³

[X] et donner leur dimension.

4. Expliciter F ∩ G et compl´ eter une base de F ∩ G en une base de R

3

[X].

Exercice 2.

On consid` ere un bˆ aton gradu´ e de longueur 1, qu’on brise en deux points choisis ind´ ependamment, d’abscisses X et Y . On suppose que X et Y sont des variables al´ eatoires suivant la loi uniforme sur [0, 1]. Le bˆ aton est alors d´ ecoup´ e en trois morceaux. On note A, B et C les variables al´ eatoires ´ egales aux longueurs des trois morceaux obtenus, de la gauche vers la droite.

1. Exprimer A, B et C en fonction de X et Y .

2.(a) Montrer que F

_A

: t 7→



 

 

0 si t < 0

1 − (1 − t)

²

si 0 6 t 6 1 1 si t > 1

et d´ eterminer la loi de A.

(b) Montrer que C suit la mˆ eme loi que A.

3.(a) D´ eterminer la loi de −Y . (b) D´ eterminer la loi de X − Y .

(c) En d´ eduire que B a mˆ eme loi que A.

4. D´ eterminer les esp´ erances de A, B et C.

On rappelle que si X et Y deux variables al´ eatoires ind´ ependantes de densit´ e f

X

et f

Y

alors X +Y est une variable ` a densit´ e et la fonction h d´ efinie sur R par :

Pour tout r´ eel t, h(t) = Z

+∞

−∞

f

_X

(u)f

_Y

(t − u)du

est une densit´ e de X + Y .

(27)

2020/2021 Type Agro

TD de pr´ eparations aux oraux de math´ ematiques

Question de cours.

Enoncer la loi faible des grands nombres.^´

Exercice.

Soient (Xk)_k>1 une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, définies sur un même espace probabilisé, suivant chacune une même loi exponentielle de paramètre 1.

Pour toutn>2, on noteYn= max(X1, . . . , Xn), et on noteSn=

n

P

k=1

1 k.

1. (a) SoitU une variable aléatoire, de loi uniforme sur ]0,1]. Vérifier que la variable−ln(U) suit une loi exponentielle de paramètre 1.

(b) En déduire une fonction Python qui prend un entier un entiernen entrée, et renvoie une simulation de la variable aléatoireYn.

(c) En admettant que la variable aléatoireYnadmet une espérance, à l’aide de la fonction Python précédente, conjecturer la valeur de lim

n→+∞

E(Yn) Sn

.

Dans toute la suite de l’exercice, on fixenun entier tel quen>2.

2. On noteFnla fonction de r´epartition deYn. Montrer que :

∀x∈R, Fn(x) =

0 six <0 (1−e^−x)ⁿ six>0 .

En déduire que la variableYn est une variable à densité, et déterminer une densitéfn deYn. 3. (a) Montrer que, pour tout réelude [0,1], on a :

(1−u)ⁿ>1−nu.

(b) En d´eduire que l’int´egrale Z +∞

0

(1−Fn(x))dxest convergente et que lim

x→+∞(x(1−Fn(x))) = 0.

4. (a) Pour toutA >0, montrer `a l’aide d’une int´egration par parties que : ZA

0

xfn(x)dx= Z A

0

(1−Fn(x))dx−A(1−Fn(A)).

(b) En déduire que la variableYnadmet une espérance, vérifiant : E(Yn) =

Z+∞

0

(1−Fn(x))dx.

5. `A l’aide du changement de variablet= 1−e^−x, montrer que : E(Yn) =

Z 1 0

1−tⁿ 1−t dt, et en d´eduire finalement que :

E(Yn) =Sn.