Programme de math´ematiques – TSI1

1. PROGRAMME DE D´ EBUT D’ANN´ EE

I. Nombres complexes et g´ eom´ etrie ´ el´ ementaire

1. Nombres complexes 1

2. G´eom´etrie ´el´ementaire du plan 3

3. G´eom´etrie ´el´ementaire de l’espace 5

II. Fonctions usuelles et ´ equations diff´ erentielles lin´ eaires

1. Fonctions usuelles 2

2. ´Equations diff´erentielles lin´eaires 4

3. Courbe param´etr´ees, coniques 6

2. ANALYSE ET G´ EOM´ ETRIE DIFF´ ERENTIELLE

I. Nombres r´ eels, suites et fonctions

1. Suites de nombres r´eels 7

2. Fonctions d’une variable r´eelle `a valeurs r´eelles 9

II. Calcul diff´ erentiel et int´ egral

1. D´erivation des fonctions `a valeurs r´eelles 11

4. Relations de comparaison, d´eveloppements limit´es 13

2. Int´egration 15

5. Approximation . . .

III. Notions sur les fonctions de deux variables

1. Calcul diff´erentiel 17

2. Calcul int´egral 19

3. ALG` EBRE

I. Nombres et structures alg´ ebriques usuelles

1. Vocabulaire relatif aux ensembles et aux applications . . .

2. Ensembles finis, ensembles de nombres 8

4. Polynˆomes 10

II. Alg` ebre lin´ eaire

1. Espaces vectoriels 12

2. Dimension des espaces vectoriels 14

3. Calcul matriciel 16

4. Compl´ement de calcul matriciel : syst`emes lin´eaires et d´eterminants 18

St´ephane – TSI1 – Lyc´ee Louis

Chapitre 1 : Nombres complexes (2s)

Ensemble des nombres complexes : formes alg´e- brique et trigonom´etrique, conjugaison.

Groupe U et applications : trigonom´etrie, racines n-i`emes.

Compl´ements : ´equations du second degr´e, exponen- tielle complexe.

Nombres complexes et g´eom´etrie plane : dis- tance, angle, barycentre, transformations usuelles.

Annexes :

construction du corps C (loi de com- position interne, associativit´e, commutativit´e, ´el´ement neutre, ´el´ements inversibles pour une loi associative ad- mettant un ´el´ement neutre, structure de groupe, de corps), trigonom´etrie.

Chapitre 2 : Fonctions usuelles (2s)

Fonctions polynˆomiales et rationnelles : racines, m´ethode d’identification, limites.

Fonctions exponentielles, logarithmes et puis- sances : propri´et´es, exponentielle complexe, fonctions exponentielles et logarithmes en base a, croissances compar´ees.

Fonctions circulaires et r´eciproques : propri´et´es analytiques (d´erivabilit´e).

Fonctions circulaires hyperboliques et r´eci- proques : propri´et´es, relations ch²t−sh²t= 1 et e^t=cht+sht.

Annexe :

vocabulaire relatif aux fonctions et aux ap- plications (image directe et r´eciproque d’un ensemble, injection, surjection, bijection, restriction d’une appli- cation).

Chapitre 3 : G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire du plan (2s)

Rep´erages du plan : coordonn´ees cart´esiennes, po- laires, changement de rep`eres.

Produit scalaire et d´eterminant : d´efinition, pro- pri´et´es, applications.

D´eterminant : d´efinition, propri´et´es, applications aux alignements.

Droites et cercles : ´equations normales de droites, repr´esentations param´etriques de droites. Distance d’un point `a une droite. ´Equations de cercles (par un diam`etre ou par centre et rayon). Intersections.

Similitudes du plan : d´efinition, ´ecriture complexe, cas des isom´etries usuelles.

Annexe :

notion d’espace vectoriel.

Chapitre 4 : ´ Equations diff´ erentielles (1,5s)

Rappels sur les primitives et int´egrales : d´efini- tions, propri´et´e.

Equations diff´´ erentielles lin´eaires du premier ordre : d´efinitions, caract´erisations de t 7→ e^at, r´e- solution de l’´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre, principe de superposition.

Equations diff´´ erentielles lin´eaires du second ordre : d´efinitions, r´esolution de l’´equation diff´eren- tielle lin´eaire du second ordre sans second membre, avec second membre, principe de superposition.

Annexes :

continuit´e, d´erivabilit´e, classe C^k, primi- tives usuelles, compl´ement au vocabulaire relatif aux applications (composition, application identit´e, prolon- gement).

Vacances de Toussaint

Chapitre 5 : G´ eom´ etrie ´ el´ ementaire de l’espace (2s)

G´en´eralit´es : orientation de l’espace, coordonn´ees cart´esiennes, cylindriques, sph´eriques.

Produit scalaire, produit vectoriel, d´etermi- nant : d´efinition, propri´et´es.

Droites et plans : repr´esentation param´etrique d’une droite, ´equation cart´esienne de plan, intersection de droites et plans, distance d’un point `a un plan, `a une droite, perpendiculaire commune `a deux droites.

Sph`eres : ´equation cart´esienne, intersection d’une sph`ere et d’une droite, d’une sph`ere et d’un plan.

Annexes :

Applications affines et lin´eaires de l’es- pace, vocabulaire ´el´ementaire relatif aux ensembles (in- clusion, r´eunion, intersection, compl´ementaire).

Chapitre 6 : Courbes param´ etr´ ees, coniques (2s)

Courbes planes param´etr´ees : d´efinitions (fonction vectorielle, courbe param´etr´ee), continuit´e, d´erivation, classeC^k d’une fonction vectorielle, tangente, interpr´e- tation cin´ematique, d´erivation d’un produit scalaire, d’une norme, d’un d´eterminant, ´etude des branches in- finies.

Coniques : d´efinitions, ´etude de la parabole, co- niques `a centre (d´efinition bifocale), ´etude de l’hyper- bole (´equation r´eduite, repr´esentation param´etrique, asymptotes), ´etude de l’ellipse (´equation r´eduite, re- pr´esentation param´etrique, cercle principal, projection orthogonale d’un cercle dans l’espace).

Annexe :

formulaire relatif aux coniques `a centre,

´

equations des tangentes (r`egle du d´edoublement).

St´ephane – TSI1 – Lyc´ee Louis

Chapitre 7 : Suites de nombres r´ eels (1,5s)

Nombres entiers naturels : propri´et´es fondamen- tales deN.

CorpsRdes nombres r´eels : relation d’ordre (com- patibilit´e avec+et×), majorant, minorant, borne su- p´erieure, inf´erieure, intervalle, valeur absolue, in´egalit´e triangulaire.

Suites de nombres r´eels : d´efinitions, suites ma- jor´ees, minor´ees, born´ees, monotones, r´ecurrence, sym- bolesPetQ, suites arithm´etiques et g´eom´etriques.

Limite d’une suite : d´efinitions, convergence et di- vergence, espace vectoriel des suites convergeant vers 0, op´erations alg´ebriques, passage `a la limite, th´eo- r`emes de comparaison, des gendarmes. Convergence d’une suite croissante major´ee, suites adjacentes, suites extraites.

Relations de comparaison : d´efinitions (o,Oet∼), propri´et´es, comparaison des suites de r´ef´erence.

Extension au cas complexe : convergence et diver- gence de suites complexes, op´erations alg´ebriques et limites.

Annexe :

Exemples simples d’algorithmes it´eratifs et r´ecursifs.

Vacances de No¨el

Chapitre 8 : Ensembles finis, ensembles de nombres (2s)

Ensembles finis : d´efinitions, op´erations ´el´ementaires sur les ensembles (union, produit).

D´enombrements : d´enombrement des applications de E dans F, des parties de E, des permutations de E, combinaison (nombre de combinaisons, propri´et´es, triangle de Pascal).

Vocabulaire relatif aux groupes et aux en- sembles de nombres : groupe (exemples), sous- groupe, morphisme, ensembleQ(op´erations).

Arithm´etique dans Z : ensemble Z (structure de groupe et propri´et´e de la multiplication), multiples et diviseurs, division euclidienne, nombre premier, d´ecom- position en produit de nombres premiers.

EnsembleQ: d´efinition, d´eveloppement d´ecimal d’un nombre r´eel.

Calculs dans R ou C : formule du binˆome, factori- sation dexⁿ−yⁿ.

Annexe :

valeur approch´ee rationnelle de r´eels re- marquables (e,π,√

2,. . . ).

Chapitre 9 : Fonctions d’une variable r´ eelle ` a valeurs r´ eelles (2s)

Fonctions d’une variable r´eelle `a valeurs r´eelles : d´efinition, op´erations, relation d’ordre, fonctions ma- jor´ees, minor´ees, born´ees, extremum, fonctions crois- santes, d´ecroissantes. Espaces vectoriels des fonctions paires, impaires, T-p´eriodiques.

Etude locale d’une fonction :´ voisinage, limite (li- mites `a gauche, `a droite), espace vectoriel des fonctions tendant vers 0 ena, produit par une fonction born´ee.

Op´erations alg´ebriques et limites, composition. Rela- tion d’ordre et limite (th´eor`emes de comparaison, des gendarmes). Limite d’une fonction monotone.

Fonctions continues sur un intervalle : d´efini- tion, cas des fonctions usuelles, op´erations alg´ebriques et continuit´e (composition). Espace vectorielC(I). Res- triction, prolongement par continuit´e. Image d’un in- tervalle, d’un segment par une fonction continue, th´eo- r`eme des valeurs interm´ediaires. Fonction r´eciproque.

Extension aux fonctions `a valeurs complexes : d´efinition, parties r´eelles et imaginaires, module, conju- gu´e, fonction born´ee, limite d’une fonction `a valeurs complexes. Op´erations alg´ebriques et limites, conti- nuit´e.

Annexes :

calcul approch´e des z´eros d’une fonction par dichotomie, par la m´ethode de Newton.

Chapitre 10 : Polynˆ omes (2s)

Ensemble K[X]des polynˆomes `a une ind´etermi- n´ee : d´efinitions (degr´e, polynˆome unitaire, espace vectoriel Kp[X]), op´erations alg´ebriques, composition, multiples et diviseurs, division euclidienne.

Fonctions polynˆomiales : d´efinitions, racine, ordre de multiplicit´e, identificationP et P.‹

Polynˆomes d´eriv´es : d´efinitions, propri´et´es (lin´ea- rit´e, d´erivation d’un produit), d´eriv´ees successives, for- mule de Leibniz, lien avec l’ordre de multiplicit´e.

Polynˆomes scind´es : d´efinitions, somme et pro- duit des racines d’un polynˆome scind´e, th´eor`eme de d’Alembert-Gauss, polynˆome irr´eductible, d´ecomposi- tion d’un polynˆome dansC[X],R[X].

Vacances de F´evrier

Chapitre 11 : D´ erivation des fonctions

` a valeurs r´ eelles (2s)

D´eriv´ee en un point, fonction d´eriv´ee : d´eriva- bilit´e en un point (interpr´etations), d´erivabilit´e sur un intervalle, op´erations alg´ebriques, d´eriv´ee d’une com- pos´ee, fonctions r´eciproques. D´eriv´ees successives (for- mule de Leibniz).

Etude globale des fonctions d´´ erivables : th´eo- r`eme de Rolle, ´egalit´e et in´egalit´e des accroissements finis, th´eor`emes limite de la d´eriv´ee. Caract´erisations des fonctions constantes, monotones, strictement mo- notones parmi les fonctions d´erivables.

St´ephane – TSI1 – Lyc´ee Louis

Extension aux fonctions `a valeurs complexes : d´erivabilit´e en un point, op´erations alg´ebriques, ca- ract´erisation des fonctions constantes (contre-exemple concernant le th´eor`eme de Rolle dans le cas complexe), d´eriv´ees successives (formule de Leibniz).

Annexes :

d´eriv´ees des fonctions usuelles, r`egles de d´erivation, application du th´eor`eme des accroissements finis au calcul approch´e du point fixe d’une fonction par utilisation d’une suite d´efinie par r´ecurrence.

Chapitre 12 : Espaces vectoriels (2s)

Espaces vectoriels : espaces vectoriels surKet sous- espaces vectoriels (exemples usuels), combinaisons li- n´eaires, intersection de sous-espaces vectoriels (sous- espace engendr´e), somme de deux sous-espaces vecto- riels (sous-espaces suppl´ementaires).

Applications lin´eaires : d´efinitions, op´erations al- g´ebriques (structure de L(E, F), composition, r´eci- proque, isomorphisme, automorphisme, groupe lin´eaire GL(E, F)), ´equation lin´eaire (noyau et image), projec- teurs et sym´etries.

Annexe :

exemples d’endomorphismes de #»

P et #»

E.

Chapitre 13 : Relations de comparaison, d´ eveloppements limit´ es (1,5s)

Relations de comparaison : d´efinitions (pr´epond´e- rance, domination, ´equivalence), op´erations relatives `a la pr´epond´erance, la domination, op´erations relatives `a l’´equivalence, comparaison des fonctions de r´ef´erence.

D´eveloppements limit´es : d´efinition, propri´et´es (unicit´e, parit´e), formule de Taylor-Young, op´erations alg´ebriques (somme, produit, composition, inverse), d´e- rivation et primitive. Applications aux calculs de li- mites, `a l’´etude des points singuliers.

Annexe :

D´eveloppements limit´es usuels.

Chapitre 14 : Dimension des espaces vectoriels (2s)

Famille de vecteurs : rappel sur les combinaisons lin´eaires, image par une application lin´eaire, familles g´en´eratrices, familles libres, li´ees, bases, bases cano- niques.

Dimension d’un espace vectoriel : espace vecto- riel de dimension finie, th´eor`eme de la base incompl`ete (existence de bases), th´eorie de la dimension, espaces vectoriels isomorphes.

Dimension d’un sous-espace vectoriel : propri´et´es de la dimension d’un sev d’un ev de dimension finie (cas

d’´egalit´e), rang d’une famille de vecteurs, sous-espace vectoriel suppl´ementaire, formule de Grassmann.

Rang d’une application lin´eaire : d´efinition, th´eo- r`eme du rang, caract´erisation des isomorphismes, au- tomorphismes, des hyperplans.

Vacances de Pˆaques

Chapitre 15 : Int´ egration (2s)

Fonctions en escalier, fonctions continues par morceaux : d´efintions, espaces vectoriels des fonc- tions en escalier, continues par morceaux, approxima- tion des fonctions continues par morceaux par des fonc- tions en escalier.

Int´egrale d’une fonction en escalier : d´efini- tion (int´epr´etation g´eom´etrique), propri´et´es (lin´earit´e, croissance, relation de Chasles).

Int´egrale d’une fonction continue par mor- ceaux : d´efinition (int´epr´etation), propri´et´es (lin´ea- rit´e, relation de Chasles), invariance par translation, propri´et´es li´ees `a la croissance, in´egalit´e de la moyenne, valeur moyenne, cas o`u l’int´egrale d’une fonction conti- nue positive est nulle.

Extension aux fonctions `a valeurs complexes : d´efinitions, propri´et´es.

Primitives et int´egrale d’une fonction continue : d´efinition d’une primitive (cas o`u la fonction est conti- nue par morceaux), lien entre primitive et int´egrale, int´egration par parties, changement de variables.

Formules de Taylor : formule de Taylor avec reste int´egral, in´egalit´e de Taylor-Lagrange.

Annexes :

calcul approch´e d’une int´egrale par la m´ethode des rectangles et des trap`ezes (subdivisions dichotomiques), d´emonstration de la formule de Taylor- Young, m´ethodes usuelles de recherche de primitives.

Chapitre 16 : Calcul matriciel (2s)

Op´erations sur les matrices : d´efinitions, espace vectoriel Mn,p(K), multiplication matriciel, matrices particuli`eres (nulle, ligne, colonne, diagonale, triangu- laire), transposition.

Matrices et applications lin´eaires : matrice as- soci´ee `a une application lin´eaire, matrice et formes li- n´eaires, isomorphisme entreL(E, F)etMn,p(K), ´ecri- ture matriciel de l’image d’un vecteur par une appli- cation lin´eaire, d’une composition, matrices associ´ees `a l’identit´e.

Matrices carr´ees remarquables : groupeGL_n(K), matrice de passage (formules de changement de bases), matrices sym´etriques et antisym´etiques.

Rang d’une matrice : d´efinition, invariance par transposition.

St´ephane – TSI1 – Lyc´ee Louis

Annexe :

notion d’alg`ebre et de morphisme d’al- g`ebres, matrices des endomorphismes usuels de #»

P et

#»E.

Chapitre 17 : Calcul diff´ erentiel (1,5s)

Notion de continuit´e : d´efinition (limite nulle, conti- nuit´e), interpr´etation graphique.

D´eriv´ees partielles premi`eres : d´efinitions (d´eri- v´ees partielles, gradient, classeC¹), composition (avec une fonction deIdansR²), recherche d’extremums.

D´eriv´ees partielles d’ordre 2 : th´eor`eme de Schwarz, exemples.

Annexe :

exemple d’´equation aux d´eriv´ees partielles (´equation des cordes vibrantes).

Chapitre 18 : Compl´ ement de calcul matriciel : syst` emes et d´ eterminants

(1,5s)

Syst`emes d’´equations lin´eaires : d´efinition (sys- t`eme homog`ene associ´e), ensemble des solutions, rang d’un syst`eme, syst`emes de Cramer, exemples de r´eso- lutions de syst`emes.

D´eterminants d’ordre 2 et 3 : d´eterminant en di- mension 2et 3, caract´erisation des bases, syst`emes de Cramer d’ordre 2 ou 3, calcul d’un d´eterminant par d´eveloppement selon une rang´ee.

D´eterminants et endomorphismes : d´efinition, composition, caract´erisation des automorphismes, ap- plication `a l’orientation du plan et de l’espace.

Annexe :

m´ethode du pivot de Gauss.

Chapitre 19 : Calcul int´ egral (1,5s)

G´en´eralit´es : d´efinition d’une int´egrale double, pro- pri´et´es (positivit´e, lin´earit´e, additivit´e), interpr´etation.

Calculs d’int´egrales doubles : description hierar- chis´ee, calcul par int´egrations successives, th´eor`eme de Fubini, applications (masses, centres et moments d’inertie).

St´ephane – TSI1 – Lyc´ee Louis