Partiel du 10 janvier

Master M2 Math´ematiques Appliqu´ees- Module ”Analyse Fonctionnelle”

Partiel du 10 janvier

Notes de cours autoris´ees. Appareils ´electroniques interdits. Barˆeme indicatif : 4-6- 10.

Exercice 1. In´egalit´e de Hardy. Soit p ∈]1,+∞[ et q = p/(p− 1) son exposant conjugu´e. Soit l’espace de Banach L_p = L^p(]0,+∞[, dx). Le but de l’exercice est de montrer que l’op´erateur lin´eaire T d´efini par

T f(x) = 1 x

Z x

0

f(t)dt.

est continu de L_p dans L_p,de norme |||T|||_p =q.

(a) Sif est une fonction ou une classe de fonctions sur ]0,+∞[,on d´efinit ˆf surRpar f(x) =ˆ e^x/pf(e^x). Montrer quef ∈ L_p si et seulement si ˆf ∈L^p(R, dx) et que dans ce cas on a||f||Lp =||fˆ||Lp(R,dx).

(b) Soit h(x) = e^−x/q1[0,+∞)(x). Montrer que h ∈ L₁(R, dx) et calculer ||h||_L1(R,dx). Montrer que T fc = h∗f ,ˆ o`u ∗ d´esigne le produit de convolution usuel. D´eduire du (a) et d’un r´esultat du cours que T est continu de L_p dans L_p avec |||T|||_p ≤q.

(c) Soit f_n(x) = (nx)^−1/p1_[1,eⁿ_](x). Montrer que ||f_n||L_p = 1 pour tout n ≥ 0 et que

||T f_n||Lp →q quand n→+∞.En d´eduire que |||T|||_p =q.

Exercice 2. Polynˆomes de Laguerre. On note H l’espace de Hilbert L²(R⁺, e^−xdx) et pour tout n∈N on consid`ere

L_n(x) = e^x n!

dⁿ

dxⁿ(e^−xxⁿ), x≥0,

len−i`eme polynˆome de Laguerre. Le but de l’exercice est de montrer que le syst`eme {L_n, n≥0} forme une base orthonorm´ee de H.

(a) Sif est une fonctionC^∞, montrer par r´ecurrence que dⁿ

dxⁿ(e^−xf) = e^−x

n

X

k=0

(−1)^kC_n^kd^n−kf dx^n−k

pour tout n. En d´eduire que L_n(x) est un polynˆome de degr´e n dont on donnera explicitement les coefficients.

(b) Soit (.|.) le produit scalaire dansH etX^kla fonction monˆomialex7→x^k.Montrer que (L_n|X^k) = 0 pour toutk = 0. . . n−1 et que (L_n|Xⁿ) = (−1)ⁿn!.En d´eduire que

1

{L_n, n≥0} est une famille orthonorm´ee dans H.

(c) Calculer (L_n|f_α) pour tout α≥0,o`uf_α d´esigne la fonctionx7→e^−αx.En d´eduire X

n≥0

Z ∞

0

fα(x)Ln(x)e^−xdx 2

= 1

2α+ 1 = ||fα||²_H

puis par un r´esultat du cours quef_α ∈Vect[L_n, n≥0] pour toutα ≥0,o`u l’adh´erence est prise pour la distance hilbertienne.

(d) Montrer `a l’aide du th´eor`eme de Bernstein que C₀([0,1],R) = Vect[xⁿ, n ≥1], o`u C<sub>0</sub>([0,1],R) d´esigne l’ensemble des fonctions continues de [0,1] dans R nulles en 0 et o`u l’adh´erence est prise pour la distance uniforme. Montrer que l’op´erateur f 7→ fˆavec ˆf(x) = f(e^−x) est une isom´etrie de C₀([0,1],R) dans C₀(R⁺,R) pour la norme uniforme, o`uC<sub>0</sub>(R<sup>+</sup>,R) d´esigne l’ensemble des fonctions continues de R<sup>+</sup> dans Rtendant vers 0 `a l’infini. En d´eduire que

C0(R⁺,R) = Vect[fn, n≥1], o`u l’adh´erence est prise pour la distance uniforme.

(e) Comparer dansH la norme hilbertienne et la norme uniforme. En adaptant `a H le Corollaire 4.4.4. du cours, d´eduire de tout ce qui pr´ec`ede

H = C₀(R⁺,R) = Vect[L_n, n ≥0], o`u l’adh´erence est prise pour la distance hilbertienne. Conclure.

Probl`eme. Z´eros positifs de fonctions de Bessel. On d´efinit sur R les fonctions de Bessel de premi`ere esp`ece J_n, n∈N, par

J_n(x) = x 2

nX

i≥0

(−1)ⁱ(x/2)²ⁱ i!(n+i)! · On pose

K_n(x, y) = √

xyexp[−(n+ 1)|log(x/y)|]

pour tout x, y ∈]0,1] et K_n(x, y) = 0 si x = 0 ou y = 0. On d´efinit sur L²([0,1], dx) l’op´erateurTn par

T_nf(x) = Z 1

0

K_n(x, y)f(y)dy.

Le but du probl`eme est de mettre `a jour une correspondance bijective entre les racines positives de J_n et les valeurs propres de T_n.

(a) Montrer `a l’aide de r´esultats du cours que T_n est un op´erateur auto-adjoint et Hilbert-Schmidt deL²([0,1], dx) dans lui-mˆeme.

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(b) Soit f ∈ C([0,1],R) et soit F_n = T_nf. Montrer que F_n(0) = 0 et que pour tout x∈]0,1]

F_n(x) = x^−(n+1/2) Z x

0

t^n+3/2f(t)dt + x^n+3/2 Z 1

x

t^−(n+1/2)f(t)dt.

En d´eduire que F_n ∈ C¹([0,1],R), F_n⁰(0) = 0 et F_n⁰(1) + (n+ 1/2)F_n(1) = 0. Montrer queF_n∈ C²(]0,1],R) et v´erifie sur ]0,1] l’´equation diff´erentielle du deuxi`eme ordre

F_n⁰⁰−(n+ 1/2)(n+ 3/2)x⁻²F_n = −2(n+ 1)f. (1) (c) Donner la solution g´en´erale de y⁰⁰ −(n + 1/2)(n + 3/2)x⁻²y = 0 `a l’aide de deux fonctions du type x^λ, et montrer que seule la solution nulle v´erifie y(0) = 0 et y⁰(1) + (n+ 1/2)y(1) = 0. En d´eduire que F_n est la seule solution F de (1) telle que F(0) = 0 et F⁰(1) + (n+ 1/2)F(1) = 0.

(d) Montrer par une int´egration par parties que (Tnf|f) =

Z 1

0

Tnf(x)f(x)dx = 2 Z 1

0

f(x)x^−(n+1/2) Z x

0

t^n+3/2f(t)dt

dx

= 2 Z 1

0

f(x)x^n+3/2 Z 1

x

t^−(n+1/2)f(t)dt

dx

pour toutf ∈ C([0,1],R).En d´eduire que (n+ 1/2)(n+ 3/2)

Z 1

0

t⁻²|Tnf(t)|²dt + Z 1

0

|(Tnf)⁰(t)|²dt + (n+ 1/2)|Tnf(1)|² vaut 2(n+ 1)(Tnf|f) pour tout f ∈ C([0,1],R), et que Tn est un op´erateur positif.

(e) D´emontrer qu’un r´eel λ >0 est valeur propre de T_n si et seulement si l’´equation y⁰⁰+

2(n+ 1)

λ − (n+ 1/2)(n+ 3/2) x²

y = 0 (2)

admet une solution non nulle telle quey(0) = 0 et y⁰(1) + (n+ 1/2)y(1) = 0.

(f) Montrer que Jn(x) est solution de l’´equation de Bessel x²y⁰⁰ + xy⁰ = (n²−x²)y.

En d´eduire que les solutions de (2) v´erifiant y(0) = 0 sont des multiples de hn(x) = √

xJn+1(xp

2(n+ 1)/λ).

(g) Montrer que xJ_n(x) = xJ_n+1⁰ (x) + (n+ 1)J_n+1(x) pour tout x ∈ R et d´eduire de tout ce qui pr´ec`ede que λ >0 est une valeur propre deT_n si et seulement si

J_n(p

2(n+ 1)/λ) = 0.

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