Partiel de Math´ ematiques (S3SMR) n
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Dur´ee 2h. Documents et calculatrices interdits Le 12 octobre 2007.
barˆeme indicatif: 3; 3; 4; 4; 3; 3.
Question de cours.
-Donner la d´efinition d’une s´erie P
un convergente.
-Donner la ma joration du reste d’une s´erie altern´ee.
Exercice 1.
Etudier la convergence de la s´erie P
n≥1un de terme g´en´eral un=n−12 −n12 sin(
1 n). Exercice 2.
Soit α≥0. Discuter en fonction de la valeur deα la convergence de la s´erie P
n≥1un de terme g´en´eral
un= 1
nαln(n)ln(1 + 1 n). Exercice 3.
1) Etudier la convergence de la s´erie P
nun de terme g´en´eral un= Arctan(
1 n2+n+ 1
). 2) On rappelle l’identit´e suivante:
Arctan( x−y
1 +xy) = Arctan(x)−Arctan(y), pour x, y∈R.
En d´eduire la valeur de la somme de la s´erie P+∞
n=0Arctan( 1
n2+n+1).
Exercice 4.
Soit P
n≥1un la s´erie de terme g´en´eral
un= sin(
(−1)n
√n ).
Etudier la convergence absolue et la convergence de cette s´erie.
Exercice 5.
Etudier la convergence de la s´erie de terme g´en´eral un= (
2n+ 1 3n+ 4
)n.
