Master M2 Math´ematiques Appliqu´ees- Module ”Analyse Fonctionnelle”
Rattrapage du 1er mars
Notes de cours autoris´ees. Appareils ´electroniques interdits. Barˆeme : 10-10.
Exercice 1. In´egalit´es de Wirtinger. (a) Soit f une fonction de classe C1 de [0,1]
dans Ctelle que f(0) =f(1).Montrer que Z 1
0
|f(x)|2dx −
Z 1
0
f(x)dx
2
≤ 1
4π2 Z 1
0
|f0(x)|2dx. (1) Pour cela, on exprimera
cn(f0) = Z 1
0
f0(x)e2iπnxdx en fonction de cn(f) = Z 1
0
f(x)e2iπnxdx
pour toutn ∈Z,et on utilisera la formule de Parseval. Montrer aussi que (1) est une
´egalit´e si et seulement si f(x) =a+be2iπx+ce−2iπx aveca, b, c∈C. (b) Soitf une fonction de classe C1 de [0,1] dans C.Montrer que
Z 1
0
|f(x)|2dx −
Z 1
0
f(x)dx
2
≤ 1 π2
Z 1
0
|f0(x)|2dx. (2) Pour cela, utiliser la mˆeme m´ethode qu’en (a) en consid´erant la fonction paire de [−1,1] dans C qui prolonge f. Montrer que (2) est une ´egalit´e si et seulement si f(x) =a+bcos(πx) avec a, b∈C.
(c) Soitf une fonction de classeC2 de [0,1] dansCtelle quef(0) =f(1) = 0.D´eduire du (b) l’in´egalit´e
Z 1
0
|f0(x)|2dx ≤ 1 π2
Z 1
0
|f00(x)|2dx (3)
que (3) est une ´egalit´e si et seulement si f(x) = asin(πx) avec a∈C.
(d) Soit f une fonction de classe C1 de [0,1] dans C telle que f(0) = f(1) = 0. En prolongeant f par imparit´e sur [−1,1], montrer enfin l’in´egalit´e
Z 1
0
|f(x)|2dx ≤ 1 π2
Z 1
0
|f0(x)|2dx (4)
et que (4) est une ´egalit´e si et seulement si f(x) =asin(πx) avec a∈C.
1
Exercice 2. Transform´ees de Laplace et de Stieltjes. On consid`ere l’espace de Hilbert H = L2(R+) et les op´erateurs L (transform´ee de Laplace) et S (transform´ee de Stieltjes) d´efinis sur H par
Lf(x) = Z ∞
0
e−xyf(y)dy et Sf(x) = Z ∞
0
f(y) x+ydy.
Le but de l’exercice et de calculer les normes deL etS.
(a) En effectuant des changements de variable convenables, montrer que Z ∞
0
1 x+y
rx y dy =
Z ∞
0
√ dt
t(1 +t) = π pour toutx >0.
(b) En ´ecrivant
1
x+y = 1
√x+y y
x 1/4
× 1
√x+y x
y 1/4
et en utilisant l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, montrer que
|Sf(x)|2 ≤
Z ∞
0
|f|2(y) ry
x dy x+y
× Z ∞
0
1 x+y
rx ydy
pour toutx >0 et f ∈H. En d´eduire par le (a) Z ∞
0
|Sf(x)|2dx ≤ π2 Z ∞
0
|f|2(y)dy
pour toutf ∈H,puis que S :H →H est continu de norme |||S||| ≤π.
(c) En ´ecrivant
|Lf(x)|2 =
Z ∞
0
e−xyf(y)dy
× Z ∞
0
e−xzf(z)dz
et en utilisant (b) et l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, montrer que L : H → H est continu de norme|||L||| ≤√
π.
(d) Montrer queLest un op´erateur auto-adjoint et queL◦L=S.En d´eduire queS est un op´erateur auto-adjoint positif et, par une proposition du cours, que|||S|||=|||L|||2. (e) En consid´erantfε(x) =x−(1+ε)/21{x≥1}, montrer par des changements de variable que
Z ∞
0
Sfε(x)fε(x)dx = kε Z ∞
0
|fε(x)|2dx
pour tout ε > 0, avec kε ↑ π quand ε → 0. En d´eduire que |||S||| = π puis que
|||L|||=√ π.
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