rappelons que Fs:=σ(Bu;u≤s), pour tout s∈R+

Universit´e Lille 1, M2 Math´ematiques - Parcours Math´ematiques Appliqu´ees, Examen de rattrapage du cours ”Int´egrale d’Itˆo, formule d’Itˆo et applications `a la

finance”

Cet examen de rattrapage du 6/06/17 concerne la partie du cours enseign´ee par A.Ayache, sa dur´ee est 1 heure.

Les documents sont autoris´es. La qualit´e de la r´edaction intervient dans l’appr´eciation de la copie.

Remarques : Dans tout ce sujet d’examen, l’espace de probabilit´e sous-jacent est not´e par (Ω,F, P).

On note par B = {B(s)}_s∈R+ = {B_s}_s∈R+ un mouvement brownien, d´efini sur (Ω,F, P), qui est `a valeurs r´eelles, `a trajectoires continues, et v´erifie E(B₁²) = 1. De plus, on d´esigne par (F_s)s∈R+ la filtration naturelle associ´ee `a {B_s}_s∈R+; rappelons que F_s:=σ(Bu;u≤s), pour tout s∈R+.

Probl`emeSoit{X<sub>t</sub>}<sub>t∈R+</sub> un processus stochastique `a valeurs r´eelles d´efini sur (Ω,F, P). On suppose que{X_t}t∈R+ v´erifie, pour tout t∈R+ presque sˆurement,

X_t= Z t

0

J(s)dB_s+ Z t

0

K(s)ds , (a)

o`u{J(s)}<sub>s∈R+</sub> et{K(s)}<sub>s∈R+</sub> sont deux processus stochastiques `a valeurs r´eelles, adapt´es `a la filtration (F<sub>s</sub>)s∈R+, `a trajectoires continues, et v´erifiant, pour tout t∈R+,

E Z t

0

J²(s) +K²(s) ds

<+∞.

L’objectif du probl`eme est de montrer que les deux processus{J(s)}_s∈R+et{K(s)}_s∈R+ sont ”uniques”.

Plus pr´ecis´ement, si {Je(s)}_s∈R+ et {K(s)}e _s∈R+ sont deux processus arbitraires poss´edant les mˆemes propri´et´es (adaptabilit´e, continuit´e et int´egrabilit´e) que {J(s)}_s∈R+ et{K(s)}_s∈R+, et v´erifiant, pour toutt∈R+ presque sˆurement,

Xt= Z t

0

Je(s)dBs+ Z t

0

K(s)e ds; (˜a)

alors, l’assertion suivante (ξ) est valide.

(ξ) Il existe Ω^∗ ∈ F un ´ev´enement de probabilit´e 1 tel que, pour tout (s, ω) ∈ R+ ×Ω^∗, on a J(s, ω) =J(s, ω)e et K(s, ω) =K(s, ω).e

1) Montrer que l’on a, pour toutt∈R+ presque sˆurement, Z t

0

J(s)−Je(s) dBs=

Z t

0

K(s)e −K(s) ds .

2) Prouver que, pour toutt∈R+ et pour toutn∈N^∗, on a E

"_n−1 X

k=0

Z ^(k+1)t

n kt n

Ke(s)−K(s) ds

2#

=E Z t

0

J(s)−Je(s)2

ds

.

1

3) Montrer que, pour tout t∈R+ et pour toutn∈N^∗, on a E

Z t

0

J(s)−J(s)e 2

ds

≤ t n ×E

Z t

0

K(s)e −K(s)2

ds

. 4) Prouver que l’assertion (ξ) est vraie.

Exercice Pour toutj∈N, on pose V_j :=

2^j

X

k=1

B 2^−jk

−B 2^−j(k−1)2

.

1) Montrer que, pour tout j∈N, on a V_j ∈L²(Ω,F, P).

2) Prouver que l’on a

j→+∞lim E V_j−1

2

= 0.

3) Montrer queV_j converge P-presque sˆurement vers 1 lorsque j→+∞.

2