Examen partiel du 10 novembre 2009

Université Pierre & Marie Curie (Paris 6) Licence de Mathématiques L3

UE LM364 Intégration 1 Année 2009-2010

Examen partiel du 10 novembre 2009

Deux heures. Sans documents ni calculatrices.

La lisibilité et la qualité de la rédaction comptent.

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TD1

TD2

TD6

HA

TÉLÉ

Précision. Lorsque(X,X)et(Y,Y)sont des espaces mesurables, on peut écrire «f: (X,X)→(Y,Y)» pour signifier que l’applicationf:X → Y est mesurable relativement à l’association de la tribu X à l’ensemble de départ et de la tribuY à l’ensemble d’arrivée.

Exercice 1. Soitλla mesure de Lebesgue sur (R,B(R)).

SoientA₁, A₂, . . . , A₁₀₀ des boréliens de]0,1[tels que

100

X

k=1

λ(A_k)>99.

Pierre affirme qu’alors

λ¹⁰⁰\

k=1

A_k

>0.

A-t-il nécessairement raison ?

Exercice 2. Soit l’espace mesuré(R,B(R), µ), avec µ(K)<+∞ pour tout compactK deR. Soit D={a∈R|µ({a})>0}.

a) Pour tousn, k∈N^∗, on pose D_n,k ={a∈[−n, n]|µ({a})> ¹_k}.

Montrer que les ensembles D_n,k sont finis.

Indication : on peut établir les inégalités CardDn,k 6kµ([−n, n])...

b) Montrer que D=S

n,k≥1D_n,k, puis queD est dénombrable.

c) On pose, pour toutA∈ B(R),µ1(A) =µ(A∩D).

Montrer que µ1 est une mesure sur (R,B(R)), qui est finie sur les compacts.

d) Montrer que

µ₁ =X

a∈D

µ({a})δ_a, où δa est la mesure de Dirac au point a.

e) On pose, pour toutA∈ B(R),µ2(A) =µ(A∩^cD). Montrer queµ2est une mesure sur(R,B(R)), finie sur les compacts, et que µ₂({x}) = 0 pour toutx∈R.

f) Montrer qu’on obtient la décompositionµ=µ1+µ2.

(Suite au verso.) 1

Exercice 3. Dans cet exercice, le mot « ensemble » désigne une partie deR. On munitRde sa tribu borélienne et de la mesure de Lebesgue.

Pour chaque question, la réponse est à justifier par une preuve, un exemple ou un contre-exemple.

a) Un ensemble mesurable borné est-il toujours de mesure finie ? b) Même question avec un ensemble compact.

c) Un ensemble de mesure finie peut-il être non borné ? d) Un ensemble de mesure nulle est-il nécessairement fermé ?

e) Un ensemble ouvert non vide peut-il être de mesure nulle ? f) Un ensemble d’intérieur non vide peut-il être de mesure nulle ?

g) Un ensemble d’intérieur vide peut-il avoir une mesure strictement positive ?

Exercice 4. Soientu:R² →R+ etv:R+→R² les applications définies par u(x₁, x₂) = (x²₁+x²₂)^1/2 et v(x) = (x,0).

SoitA la tribu engendrée par la classe des boules euclidiennes ouvertes deR² de centre(0,0).

a) Montrer que A ⊆ B(R²).

b) Montrer que u est mesurable de(R²,A) vers (R+,B(R+)).

c) Montrer quev est mesurable de(R+,B(R+))vers (R²,A).

d) Soient aetbdes points de R² tels que u(a) =u(b). On pose

C={A∈ A |(a∈Aetb∈A) ou(a∈^cAetb∈^cA)}

Montrer que C est une tribu contenant les boules deR² centrées à l’origine.

En déduire que C=A.

e) Soit f: (R²,A)→(R+,B(R+)).

Mourad affirme que f(3,4) =f(4,3) =f(0,5).

A-t-il nécessairement raison ?

– FIN –

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