Partiel du 11 janvier

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Master M1 Recherche- Module ”Probabilit´es”

Partiel du 11 janvier

Notes de cours et calculatrices autorisées. La présentation et la propreté de la copie entreront en compte dans l’évaluation. Barême indicatif : 14-10-6-2.

Exercice 1. Inégalité de Gauss(1823). SoitX une variable aléatoire ayant une den- sitéf croissante sur (−∞, ν) et décroissante sur (ν,+∞).On noteτ =p

E[(X−ν)²].

Le but de l’exercice est de montrer l’in´egalit´e de concentration suivante : P[|X−ν| ≥r] ≤

4τ²/9r² si r≥2τ /√ 3, 1−(r/√

3τ) si r≤2τ /√

3. (1)

(a) Montrer que (1) est vraie si τ = +∞. Montrer que si τ < +∞, alors on peut se ramener au cas τ = 1.

(b) Montrer que la fonction g(x) = (f(ν+x) +f(ν −x))1{x≥0} est la densité de la variable aléatoire Y =|X−ν| et en déduire que

τ² = Z ∞

0

z²g(z)dz.

Montrer que g est décroissante sur R⁺ et en déduire que r 7→ Φ(r) = P[Y ≥ r] est convexe décroissante surR⁺.

(c) Tracer la branche d’hyperbole r 7→ 4/9r² sur R⁺×R⁺ et montrer que la droite de plus grande pente n´egative passant par (0,1) et intersectant l’hyperbole, rencontre cette derni`ere au point (2/√

3,1/3). En utilisant la convexité de Φ et le changement de variable r7→rτ, en déduire que l’inégalité (1) est vraie si

Φ(r) ≤ 4τ²/9r² (2)

pour toutr >0.

(d) Montrer que

s ≤ r + (4/9r²) Z s

0

z²dz (3)

pour touts≥r >0. En distinguant les casg(r)>0 et g(r) = 0,en d´eduire que Φ(r) =

Z ∞

r

g(z)dz ≤ (4g(r)/9r²) Z s(r)

0

z²dz

pour toutr >0, o`u l’on a pos´e

s(r) = r + 1 g(r)

Z ∞

r

g(z)dz.

1

(2)

Montrer enfin

Z s(r)

r

z²(g(r)−g(z))dz ≤ Z ∞

s(r)

z²g(z)dz.

(e) En utilisant (b), (d) et en d´ecomposant g(r)

Z s(r)

0

z²dz = g(r) Z r

0

z²dz + Z s(r)

r

z²(g(r)−g(z))dz + Z s(r)

r

z²g(z)dz, montrer (2) et conclure.

(f) Donner une illustration graphique du résultat pour une variable symétrique avec ν = 0 et r = 3τ. En quoi l’inégalité de Gauss est-elle meilleure que l’inégalité de Bienaymé-Tchebitcheff ?

(g) Montrer que l’inégalité (3) est optimale au sens où pour tout s > 0 il existe r ∈]0, s[ tel que (3) soit une égalité. En considérant la variable uniforme sur [−s, s]

et en faisant tendre s→ ∞, en d´eduire que (1) est optimale.

Exercice 2. Distribution de Gumbel (1932). (a) On note F(x) = e^−e^−x, x ∈ R. Montrer que F est une fonction de répartition et calculer la densité associée. On note G la variable aléatoire de densité f, appelée variable de Gumbel. En faisant un changement de variable, exprimer la transformée de Laplace de G à l’aide de la fonction Γ d’Euler.

(b) SoitX₁, . . . , X_n des variables indépendantes de même loi Exp (1). En comparant les transformées de Laplace, montrer que

Y_n = X₁ + X₂

2 + · · · + X_n n

a mˆeme loi que M_n= max (X₁, . . . , X_n). On pourra utiliser l’identit´e Z 1

0

x^a−1(1−x)^b−1dx = Γ(a)Γ(b) Γ(a+b) pour touta, b >0.

(c) En déduire à l’aide des fonctions de répartition que Y_n − log(n) → G^d quand n→+∞.

(d) On fixe λ >−1. Montrer l’identit´e log(1 +λ) =

Z ∞

0

(1−e^−λx)e^−x x dx

et en d´eduire

E[e^−λYⁿ] = exp Z ∞

0

(e^−λx−1)e^−x(1−e^−(n+1)x) x(1−e^−x) dx

.

En utilisant tout ce qui précède, montrer l’identité Γ(1 +λ) = exp

−γλ + Z ∞

0

(e^−λx−1 +λx) e^−x

x(1−e^−x)dx

,

2

(3)

oùγ = limn→∞(1 + 1/2 +· · ·+ 1/n−log(n)) désigne la constante d’Euler. En déduire Γ⁰(1) =−γ.

Exercice 3. Critère de pureté de Jessen-Wintner (1941). Soit µ une mesure de probabilité sur Ret

µ = µ_d + µ_cs + µ_ac

sa décomposition de Lebesgue en une partie discrète, une partie continue singulière et une partie absolument continue. On dit que µ est pure si deux des termes de cette décomposition sont nuls, autrement dit si µ elle-même est discrète, continue singulière ou absolument continue. Soit {Xn, n≥1} une suite de variables aléatoires indépendantes telle que la série associée converge. Le but de l’exercice est de montrer que la variable aléatoire

X = X

n≥1

X_n

est pure lorsque lesX_n sont toutes discr`etes, ce que l’on supposera dor´enavant.

(a) On note N_i = {x ∈ R, P[X_i = x] > 0}. Montrer que N_i est dénombrable et en déduire que N ={x ∈ R, ∃i ≥ 1/ P[X_i =x] > 0} est dénombrable. Montrer enfin que

M =

( _n X

i=1

m_ix_i, m_i ∈Z, x_i ∈N, n≥1 )

est d´enombrable.

(b) On suppose que X n’est pas singuli`ere, autrement dit que P[X ∈ A] < 1 pour tout ensembleA de mesure de Lebesgue nulle. Montrer que

{X ∈A+M} = \

n≥1

( X

i≥n

X_i ∈A+M )

et en d´eduire par la loi du 0-1 queP[X ∈A+M] = 0 pour tout ensembleAde mesure de Lebesgue nulle. En d´eduire que X est absolument continue.

(c) On suppose maintenant que X n’est pas discrète. En adaptant le raisonnement précédent aux ensembles dénombrables, montrer que X est continue. Conclure.

Exercice subsidiaire. Champions League (2012). D’après l’édition du 21 décembre de20 Minutes, le dernier tirage au sort des huitièmes de finale de la coupe d’Europe des clubs a donné deux fois de suite le même résultat, et la probabilité de cette répétition

était ”extrêmement faible”. Le but de l’exercice est de calculer cette probabilité pour une version simplifiée du règlement de l’UEFA, et en ne prenant pas en compte l’ordre des matchs aller et retour.

Ce tirage met en présence seize équipes issues deux par deux de huit groupes. La règle est que deux équipes venant du même groupe ne peuvent pas se rencontrer.

Une autre règle veut que deux équipes du même pays ne peuvent pas se rencontrer et qu’un premier de groupe ne rencontre pas un autre premier de groupe, mais on ignorera cette règle. En ayant en tête le barême de ce partiel, montrer que le nombre total de tirages possibles sur ce modèle simplifié est 16×105×421 = 707280 et donner la probabilité de répétition associée.

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