(1)MT09-P2003- Corrig´e de l’examen partiel- Questions de cours Exercice 1 1

MT09-P2003- Corrig´e de l’examen partiel- Questions de cours

Exercice 1

1. En faisant le tableau habituel pour le calcul des diff´erences divis´ees, on obtient

f[t1] = 1, f[t1, t2] =−1, f[t1, t2, t3] = 1, p(t) = 1−t+t(t−1) = (t−1)². 2.

p(t) = (t−1)(t−3)

3 + 4t(t−1)

6 = (t−1) t−3

3 +2t 3

= (t−1)² On obtient bien sˆur le mˆeme polynˆome.

Exercice 2

1. Siλ₁, λ₂, ..., λ_nsont les valeurs propres deA, si elles sont ordonn´ees en module|λ₁| ≤ |λ₂| ≤ |λ_n|, alors ρ(A) =|λn|.

2. La matrice est triangulaire inf´erieure, ses valeurs propres sont donc 4 et−5, doncρ(A) = 5.

3. A^TA= 25 15 15 25

!

, le polynˆome caract´eristique est ´egal `a

p(λ) = (25−λ)²−15²= (25−λ−15)(25−λ+ 15) = (10−λ)(40−λ).

Donc les valeurs propres valent 10 et 40, ρ(A^TA) = 40.

4. kAk2 =^qρ(A^TA) =√ 40.

Exercice 3

1. On sait que cij = 0 pourj > i, on calcule les autres termes.

On calcule la premi`ere colonne de C. On commence par le terme c11, puis on calcule les termes ci1, i= 2, ..., n.

Puis on calcule la deuxi`eme, la troisi`eme etc... colonne, en effet on constate que pour calculercjj puis c_ij, i=j+ 1, ..., n, il faut connaˆıtre les termes des colonnesk pourkcompris entre 1 et j−1. Pour le calcul des termes de la colonne j, il faut commencer par calculer le terme diagonal, il doit ˆetre connu pour calculer les termes des lignes j+ 1, ..., n.

On peut isoler le calcul de la derni`ere colonne, il suffit en effet dans cette colonne de calculer le terme diagonal.

1: c11←√ a11

2: pouri= 2 jusqu’`a nfaire

3: ci1 ← ai1

c11

;

4: fin pour

5: pourj= 2 jusqu’`a n−1faire

6: cjj ← v u u tajj−

j−1

X

k=1

c²_jk;

7: pouri=j+ 1 jusqu’`a nfaire

8: c_ij ← _c¹_jj



a_ij −

j−1

X

k=1

c_ikc_jk



;

9: fin pour

10: fin pour

11: cnn ← v u u tann−

n−1

X

k=1

c²_nk;

2. En appliquant l’algorithme pr´ec´edent on obtient : A=







1 1 2 1 5 4 2 4 6





=







1 0 0 1 2 0 2 1 1













1 1 2 0 2 1 0 0 1







.

MT09-P2003- Corrig´e de l’examen partiel-Suite Dur´ee : 1h30.

Polycopi´es de cours autoris´es

Exercice 1

1. Les matricesM₁M₂⁻¹ etM₂⁻¹M₁sont semblables, en effetM₁M₂⁻¹=M₂(M₂⁻¹M₁)M₂⁻¹, donc elles ont les mˆemes valeurs propres.

Autre d´emonstration :

Si λ est valeur propre de M₁M₂⁻¹, alors il existe Y 6= 0 tel que M₁M₂⁻¹Y = λY, on a donc M₂⁻¹M₁M₂⁻¹Y =λM₂⁻¹Y , si l’on poseX =M₂⁻¹Y on a doncM₂⁻¹M₁X =λX, d’autre part X 6= 0 puisque Y 6= 0 et M₂⁻¹ inversible, donc X est vecteur propre de M₂⁻¹M1 et λ est la valeur propre associ´ee.

R´eciproquement : si λ est valeur propre de M₂⁻¹M₁, alors il existe Y 6= 0 tel que M₂⁻¹M₁Y = λY, si l’on pose X = M₂Y ⇔ Y = M₂⁻¹X on a donc M₂⁻¹M₁M₂⁻¹X = λM₂⁻¹X , ce qui implique M1M₂⁻¹X =λX, d’autre part X 6= 0 puisque Y 6= 0 et M2 inversible, donc X est vecteur propre de M₁M₂⁻¹ et λest la valeur propre associ´ee.

2. A^T est une matrice `a diagonale strictement dominante, on a donc :

|(A^T)_ii|>

n

X

j=1,j6=i

|(A^T)_ij| ⇐⇒ |a_ii|>

n

X

j=1,j6=i

|a_ji| (1)

(a) D est une matrice diagonale, elle sera inversible si ses termes diagonaux sont non nuls.

|d_ii|=|a_ii|>

n

X

j=1,j6=i

|a_ji| ≥0

donc|dii|>0 doncDest inversible. D⁻¹ est la matrice diagonale dont les termes diagonaux sont

1 dii.

(b) Les termes de E+F sont les oppos´es des termes de A, sauf les termes diagonaux qui sont nuls.

Quand on multiplie `a droite la matrice E +F par la matrice diagonale D⁻¹ , cela revient a multiplier les colonnes de E+F par les termes diagonaux deD⁻¹, on obtient donc

c_ii= 0, c_ij =−aij

a_jj pour i6=j.

(c)

kCk₁= max

1≤j≤n n

X

i=1

|cij|= max

1≤j≤n n

X

i=1,i6=j

aij

a_jj

<1, on a utilis´e la propri´et´e 1.

3. La matrice d’it´eration pour la m´ethode de Jacobi est J =D⁻¹(E+F).

D’apr`es la question 1. cette matrice a les mˆemes valeurs propres que la matriceC.

D’apr`es la question 2. kCk1 < 1, donc ρ(C) < 1, puis que le rayon spectral est inf´erieur ou ´egal `a toute norme matricielle subordonn´ee.

En utilisant tout ce qui pr´ec`ede on a donc ρ(J) <1 ce qui est une condition n´ecessaire et suffisante pour que la m´ethode de Jacobi converge.

Exercice 2

1. Pour calculer l’inverse deM on doit factoriserM =LU, puis pour chacune desncolonnes deM⁻¹ on doit r´esoudreM M_i⁻¹=I_i, ce qui conduit `a r´esoudre deux syst`emes, un dont la matrice est triangulaire sup´erieure, l’autre dont la matrice est triangulaire inf´erieure, en effet pour r´esoudreM x =b, on doit r´esoudre successivement Ly=b puisU x=y.

On doit donc effectuer

n³

3 +n×2×n² 2 = 4n³

3 .

Pour calculer le vecteur M⁻¹c, lorsqueM⁻¹ est connu, pour chacune des composantes on doit fairen multiplications, on doit donc effectuer n² multiplications.

2. (a) i. On ´ecrit le syst`eme du bloc des n premi`eres ´equations : Ax₁−x₂=b₁⇒x₁=A⁻¹x₂+A⁻¹b₁, d’o`u

E₁ =A⁻¹, f₁=A⁻¹b₁.

ii. On ´ecrit le syst`eme du bloc des ´equations n+ 1 `a 2n : −x₁+Ax₂−x₃ = b₂, on utilise la relation pr´ec´edente, on obtient :

(−E1+A)x2−x3−f1=b2⇔x2= (−E1+A)⁻¹x3+ (−E1+A)⁻¹(f1+b2), on a donc E2 = (−E1+A)⁻¹, f2= (−E1+A)⁻¹(f1+b2).

La relation est v´erifi´ee pour n= 2, supposons que E_i = (−E_i−1+A)⁻¹, f_i= (−E_i−1+A)⁻¹(f_i−1+b_i).

On ´ecrit le syst`eme du (i+1)`eme bloc d’´equations −x_i+Ax_i+1−x_i+2 =b_i+1, on utilise la relation de r´ecurrence, on obtient :

(−E_i+A)x_i+1−x_i+2−f_i=b_i+1⇔x_i+1= (−E_i+A)⁻¹x_i+2+ (−E_i+A)⁻¹(f_i+b_i+1), on a donc

Ei+1 = (−Ei+A)⁻¹, fi+1= (−Ei+A)⁻¹(fi+bi+1).

iii. On ´ecrit le syst`eme du n i`eme bloc d’´equations −xn−1+Axn = bn, on utilise la relation x_n−1 =E_n−1x_n+f_n−1 obtient : (−E_n−1+A)x_n−f_n−1 =b_n, on a donc

G=−E_n−1+A, c=f_n−1+b_n.

(b) L’algorithme est similaire `a l’algorithme de Richtmayer ´etudi´e pour les matrices tridiagonales.

On calcule E1 et f1, puis Ei et fi pour i = 2, ..., n−1, on calcule xn en r´esolvant le syst`eme Gxn=c, et enfin on calculexn−1, ..., x1.

1: E₁ ←A⁻¹

2: f1 ←E1b1

3: pouri= 2 jusqu’`a n−1faire

4: E_i←(E_i−1+A)⁻¹;

5: fi←Ei(fi−1+bi);

6: fin pour

7: calcul dex_n en r´esolvant le syst`eme lin´eaire (−E_n−1+A)x_n=f_n−1+b_n;

8: pouri=n−1 jusqu’`a 1 par pas de−1 faire

9: x_i =E_ix_i+1+f_i

10: fin pour

(c) i. Les instructions 1 et 4 sont des inversions de matrices, chacune n´ecessite donc de l’ordre de ⁴ⁿ₃³ multiplications-divisions, on obtient ainsi de l’ordre de (n−1)⁴ⁿ₃³ multiplications-divisions, c’est-`a-dire de l’ordre de ⁴ⁿ₃⁴ multiplications-divisions.

Les instructions 2, 5, 9 sont des produits d’une matrice par un vecteur, ces 2n−2 instructions n´ecessitent de l’ordre de (2n−2)n² multiplications-divisions, c’est `a dire de l’ordre de 2n³ multiplications-divisions.

L’instruction 7 n´ecessite une ´eliminination de Gauss, puis la r´esolution d’un syt`eme triangu- laire sup´erieur, donc de l’ordre de <sup>n</sup><sub>3</sub><sup>3</sup> +<sup>n</sup><sub>2</sub><sup>2</sup> multiplications-divisions, c’est `a dire de l’ordre de

n³

3 multiplications-divisions.

Au total, l’algorithme n´ecessite de l’ordre de ⁴ⁿ₃⁴ multiplications-divisions.

ii. La m´ethode d’´elimination de Gauss sans tenir compte de la structure particuli`ere de A^b demande de l’ordre de ⁽ⁿ₃²⁾³ = ⁿ₃⁶ multiplications-divisions, ce qui est plus ´elev´e.

(d) function x=sol (A,b)

\\ la matrice A est une matrice `a 3 lignes et 3 colonnes,

\\ les vecteurs colonne b et x ont 9 lignes.

E1=inv(A) f1=E1*b(1:3) E2=inv(-E1+A) f2=E2*(f1+b(4:6))

x3=(-E2+A) \ (f2+b(7:9)) x2=E2*x3+f2

x1=E1*x2+f1 x=[x1;x2;x3]

endfunction

(e) On va utiliser une matrice tampon appel´eeEEdans laquelle on stockera les matrices Eiau cours de leur calcul, ces matrices seront stock´ees dans la matrice E apr`es leur calcul. On utilisera de mˆeme un vecteur tampon f f qui servira au cours du calcul de f_i, son contenu sera stock´e dans le vecteur f, le vecteur tamponxxservira lors du calcul dexi.

function x=sol (A,b)

\\ la matrice A est une matrice `a n lignes et n colonnes,

\\ les vecteurs colonne b et x ont n² lignes.

n=size(A,1) EE=inv(A) ff=EE*b(1:n) E=EE

f=ff

for i=2:n-1 EE=inv(-EE+A)

ff=EE*(ff+b((i-1)*n+1:i*n)) E=[E,EE]

f=[f;ff]

end

xx=(-EE+A) \ (ff+b((n-1)*n+1:n*n)) x=xx

for i=n-1:-1:1

xx=E(:,(i-1)*n+1:i*n)*xx+f((i-1)*n+1:i*n) x=[xx;x]

end

endfunction

3. (a) L’´equation au pointM₂ est : 4u₂−u₃−u₁−u₅+αh²u₂=h²g(M₂).

L’´equation au pointM5 est : 4u5−u2−u4−u6−u8+αh²u5 =h²g(M5).

(b) On obtient

A=







4 +αh² −1 0

−1 4 +αh² −1

0 −1 4 +αh²





, b=h²













g(M1) g(M₂)

... g(M₉)











 .

4. (a) Dans les ´equations pr´ec´edentes, il suffit de remplacer le terme en αh²ui parh²φ(ui)

(b) La matrice jacobienne DF(u) est obtenue en rempla¸cant les termes diagonaux _baii de A^b par 4 +h²φ⁰(u_i).