MT09-P2003- Corrig´e de l’examen partiel- Questions de cours
Exercice 1
1. En faisant le tableau habituel pour le calcul des diff´erences divis´ees, on obtient
f[t1] = 1, f[t1, t2] =−1, f[t1, t2, t3] = 1, p(t) = 1−t+t(t−1) = (t−1)2. 2.
p(t) = (t−1)(t−3)
3 + 4t(t−1)
6 = (t−1) t−3
3 +2t 3
= (t−1)2 On obtient bien sˆur le mˆeme polynˆome.
Exercice 2
1. Siλ1, λ2, ..., λnsont les valeurs propres deA, si elles sont ordonn´ees en module|λ1| ≤ |λ2| ≤ |λn|, alors ρ(A) =|λn|.
2. La matrice est triangulaire inf´erieure, ses valeurs propres sont donc 4 et−5, doncρ(A) = 5.
3. ATA= 25 15 15 25
!
, le polynˆome caract´eristique est ´egal `a
p(λ) = (25−λ)2−152= (25−λ−15)(25−λ+ 15) = (10−λ)(40−λ).
Donc les valeurs propres valent 10 et 40, ρ(ATA) = 40.
4. kAk2 =qρ(ATA) =√ 40.
Exercice 3
1. On sait que cij = 0 pourj > i, on calcule les autres termes.
On calcule la premi`ere colonne de C. On commence par le terme c11, puis on calcule les termes ci1, i= 2, ..., n.
Puis on calcule la deuxi`eme, la troisi`eme etc... colonne, en effet on constate que pour calculercjj puis cij, i=j+ 1, ..., n, il faut connaˆıtre les termes des colonnesk pourkcompris entre 1 et j−1. Pour le calcul des termes de la colonne j, il faut commencer par calculer le terme diagonal, il doit ˆetre connu pour calculer les termes des lignes j+ 1, ..., n.
On peut isoler le calcul de la derni`ere colonne, il suffit en effet dans cette colonne de calculer le terme diagonal.
1: c11←√ a11
2: pouri= 2 jusqu’`a nfaire
3: ci1 ← ai1
c11
;
4: fin pour
5: pourj= 2 jusqu’`a n−1faire
6: cjj ← v u u tajj−
j−1
X
k=1
c2jk;
7: pouri=j+ 1 jusqu’`a nfaire
8: cij ← c1jj
aij −
j−1
X
k=1
cikcjk
;
9: fin pour
10: fin pour
11: cnn ← v u u tann−
n−1
X
k=1
c2nk;
2. En appliquant l’algorithme pr´ec´edent on obtient : A=
1 1 2 1 5 4 2 4 6
=
1 0 0 1 2 0 2 1 1
1 1 2 0 2 1 0 0 1
.
MT09-P2003- Corrig´e de l’examen partiel-Suite Dur´ee : 1h30.
Polycopi´es de cours autoris´es
Exercice 1
1. Les matricesM1M2−1 etM2−1M1sont semblables, en effetM1M2−1=M2(M2−1M1)M2−1, donc elles ont les mˆemes valeurs propres.
Autre d´emonstration :
Si λ est valeur propre de M1M2−1, alors il existe Y 6= 0 tel que M1M2−1Y = λY, on a donc M2−1M1M2−1Y =λM2−1Y , si l’on poseX =M2−1Y on a doncM2−1M1X =λX, d’autre part X 6= 0 puisque Y 6= 0 et M2−1 inversible, donc X est vecteur propre de M2−1M1 et λ est la valeur propre associ´ee.
R´eciproquement : si λ est valeur propre de M2−1M1, alors il existe Y 6= 0 tel que M2−1M1Y = λY, si l’on pose X = M2Y ⇔ Y = M2−1X on a donc M2−1M1M2−1X = λM2−1X , ce qui implique M1M2−1X =λX, d’autre part X 6= 0 puisque Y 6= 0 et M2 inversible, donc X est vecteur propre de M1M2−1 et λest la valeur propre associ´ee.
2. AT est une matrice `a diagonale strictement dominante, on a donc :
|(AT)ii|>
n
X
j=1,j6=i
|(AT)ij| ⇐⇒ |aii|>
n
X
j=1,j6=i
|aji| (1)
(a) D est une matrice diagonale, elle sera inversible si ses termes diagonaux sont non nuls.
|dii|=|aii|>
n
X
j=1,j6=i
|aji| ≥0
donc|dii|>0 doncDest inversible. D−1 est la matrice diagonale dont les termes diagonaux sont
1 dii.
(b) Les termes de E+F sont les oppos´es des termes de A, sauf les termes diagonaux qui sont nuls.
Quand on multiplie `a droite la matrice E +F par la matrice diagonale D−1 , cela revient a multiplier les colonnes de E+F par les termes diagonaux deD−1, on obtient donc
cii= 0, cij =−aij
ajj pour i6=j.
(c)
kCk1= max
1≤j≤n n
X
i=1
|cij|= max
1≤j≤n n
X
i=1,i6=j
aij
ajj
<1, on a utilis´e la propri´et´e 1.
3. La matrice d’it´eration pour la m´ethode de Jacobi est J =D−1(E+F).
D’apr`es la question 1. cette matrice a les mˆemes valeurs propres que la matriceC.
D’apr`es la question 2. kCk1 < 1, donc ρ(C) < 1, puis que le rayon spectral est inf´erieur ou ´egal `a toute norme matricielle subordonn´ee.
En utilisant tout ce qui pr´ec`ede on a donc ρ(J) <1 ce qui est une condition n´ecessaire et suffisante pour que la m´ethode de Jacobi converge.
Exercice 2
1. Pour calculer l’inverse deM on doit factoriserM =LU, puis pour chacune desncolonnes deM−1 on doit r´esoudreM Mi−1=Ii, ce qui conduit `a r´esoudre deux syst`emes, un dont la matrice est triangulaire sup´erieure, l’autre dont la matrice est triangulaire inf´erieure, en effet pour r´esoudreM x =b, on doit r´esoudre successivement Ly=b puisU x=y.
On doit donc effectuer
n3
3 +n×2×n2 2 = 4n3
3 .
Pour calculer le vecteur M−1c, lorsqueM−1 est connu, pour chacune des composantes on doit fairen multiplications, on doit donc effectuer n2 multiplications.
2. (a) i. On ´ecrit le syst`eme du bloc des n premi`eres ´equations : Ax1−x2=b1⇒x1=A−1x2+A−1b1, d’o`u
E1 =A−1, f1=A−1b1.
ii. On ´ecrit le syst`eme du bloc des ´equations n+ 1 `a 2n : −x1+Ax2−x3 = b2, on utilise la relation pr´ec´edente, on obtient :
(−E1+A)x2−x3−f1=b2⇔x2= (−E1+A)−1x3+ (−E1+A)−1(f1+b2), on a donc E2 = (−E1+A)−1, f2= (−E1+A)−1(f1+b2).
La relation est v´erifi´ee pour n= 2, supposons que Ei = (−Ei−1+A)−1, fi= (−Ei−1+A)−1(fi−1+bi).
On ´ecrit le syst`eme du (i+1)`eme bloc d’´equations −xi+Axi+1−xi+2 =bi+1, on utilise la relation de r´ecurrence, on obtient :
(−Ei+A)xi+1−xi+2−fi=bi+1⇔xi+1= (−Ei+A)−1xi+2+ (−Ei+A)−1(fi+bi+1), on a donc
Ei+1 = (−Ei+A)−1, fi+1= (−Ei+A)−1(fi+bi+1).
iii. On ´ecrit le syst`eme du n i`eme bloc d’´equations −xn−1+Axn = bn, on utilise la relation xn−1 =En−1xn+fn−1 obtient : (−En−1+A)xn−fn−1 =bn, on a donc
G=−En−1+A, c=fn−1+bn.
(b) L’algorithme est similaire `a l’algorithme de Richtmayer ´etudi´e pour les matrices tridiagonales.
On calcule E1 et f1, puis Ei et fi pour i = 2, ..., n−1, on calcule xn en r´esolvant le syst`eme Gxn=c, et enfin on calculexn−1, ..., x1.
1: E1 ←A−1
2: f1 ←E1b1
3: pouri= 2 jusqu’`a n−1faire
4: Ei←(Ei−1+A)−1;
5: fi←Ei(fi−1+bi);
6: fin pour
7: calcul dexn en r´esolvant le syst`eme lin´eaire (−En−1+A)xn=fn−1+bn;
8: pouri=n−1 jusqu’`a 1 par pas de−1 faire
9: xi =Eixi+1+fi
10: fin pour
(c) i. Les instructions 1 et 4 sont des inversions de matrices, chacune n´ecessite donc de l’ordre de 4n33 multiplications-divisions, on obtient ainsi de l’ordre de (n−1)4n33 multiplications-divisions, c’est-`a-dire de l’ordre de 4n34 multiplications-divisions.
Les instructions 2, 5, 9 sont des produits d’une matrice par un vecteur, ces 2n−2 instructions n´ecessitent de l’ordre de (2n−2)n2 multiplications-divisions, c’est `a dire de l’ordre de 2n3 multiplications-divisions.
L’instruction 7 n´ecessite une ´eliminination de Gauss, puis la r´esolution d’un syt`eme triangu- laire sup´erieur, donc de l’ordre de n33 +n22 multiplications-divisions, c’est `a dire de l’ordre de
n3
3 multiplications-divisions.
Au total, l’algorithme n´ecessite de l’ordre de 4n34 multiplications-divisions.
ii. La m´ethode d’´elimination de Gauss sans tenir compte de la structure particuli`ere de Ab demande de l’ordre de (n32)3 = n36 multiplications-divisions, ce qui est plus ´elev´e.
(d) function x=sol (A,b)
\\ la matrice A est une matrice `a 3 lignes et 3 colonnes,
\\ les vecteurs colonne b et x ont 9 lignes.
E1=inv(A) f1=E1*b(1:3) E2=inv(-E1+A) f2=E2*(f1+b(4:6))
x3=(-E2+A) \ (f2+b(7:9)) x2=E2*x3+f2
x1=E1*x2+f1 x=[x1;x2;x3]
endfunction
(e) On va utiliser une matrice tampon appel´eeEEdans laquelle on stockera les matrices Eiau cours de leur calcul, ces matrices seront stock´ees dans la matrice E apr`es leur calcul. On utilisera de mˆeme un vecteur tampon f f qui servira au cours du calcul de fi, son contenu sera stock´e dans le vecteur f, le vecteur tamponxxservira lors du calcul dexi.
function x=sol (A,b)
\\ la matrice A est une matrice `a n lignes et n colonnes,
\\ les vecteurs colonne b et x ont n2 lignes.
n=size(A,1) EE=inv(A) ff=EE*b(1:n) E=EE
f=ff
for i=2:n-1 EE=inv(-EE+A)
ff=EE*(ff+b((i-1)*n+1:i*n)) E=[E,EE]
f=[f;ff]
end
xx=(-EE+A) \ (ff+b((n-1)*n+1:n*n)) x=xx
for i=n-1:-1:1
xx=E(:,(i-1)*n+1:i*n)*xx+f((i-1)*n+1:i*n) x=[xx;x]
end
endfunction
3. (a) L’´equation au pointM2 est : 4u2−u3−u1−u5+αh2u2=h2g(M2).
L’´equation au pointM5 est : 4u5−u2−u4−u6−u8+αh2u5 =h2g(M5).
(b) On obtient
A=
4 +αh2 −1 0
−1 4 +αh2 −1
0 −1 4 +αh2
, b=h2
g(M1) g(M2)
... g(M9)
.
4. (a) Dans les ´equations pr´ec´edentes, il suffit de remplacer le terme en αh2ui parh2φ(ui)
(b) La matrice jacobienne DF(u) est obtenue en rempla¸cant les termes diagonaux baii de Ab par 4 +h2φ0(ui).
