(1)MT09-A2004- Examen partiel- Questions de cours - Corrig´e Exercice 1 x∗ doit v´erifier les ´equations normales, c’est `a direATAx∗ =ATy

MT09-A2004- Examen partiel- Questions de cours - Corrig´e

Exercice 1

x^∗ doit v´erifier les ´equations normales, c’est `a direA^TAx^∗ =A^Ty.

La solution existe et est unique si et seulement si le rang deA vaut n.

Exercice 2

1. (a) C’est ´evident ∀x ∈ IR, cosx ∈ [−1,1] donc en particulier pour tout x ∈ [−1,1], on a g(x)∈[−1,1].

(b) On vient de montrer que g est une application de [−1,1] dans [−1,1], la fonction g est continˆument d´erivable sur [−1,1] etg⁰(x) =−sinx, donc|g⁰(x)|=|sinx|.

On a d’autre part [−1,1] ⊂ −^π₂,^π₂, la fonction sin est donc croissante sur l’intervalle [−1,1], on a donc ∀x∈[−1,1], sin(−1)≤sinx≤sin(1)⇒ |g⁰(x)| ≤sin(1).

Or 0<1< ^π₂ ⇒sin(1)<1.

Il existe donck= sin(1)<1 tel que ∀x∈[−1,+1], |g⁰(x)| ≤k <1.

D’autre part on a x₀ ∈ [−1,1], donc d’apr`es la proposition IV.2.2 la suite d´efinie par x<sub>n+1</sub> = g(x<sub>n</sub>) converge vers le point fixe unique de g appartenant `a [−1,1] donc vers la solution x^∗ v´erifiant g(x^∗) =x^∗.

2. Pour r´esoudre l’´equation f(x) =g(x)−x= 0 par la m´ethode de Newton, on construit la suite x_n+1=x_n− f(x_n)

f⁰(xn).

On a f(xn) = cosxn−xn, f⁰(xn) =−sinxn−1, le calcul dexn+1 est possible si sinxn6=−1.

Exercice 3

1. SiC existe, on a A=CC^T doncA^T = (CC^T)^T =CC^T =A, doncA est sym´etrique.

2. La condition suffisante surA est Asym´etrique d´efinie positive.

3. (a) On calculeC colonne par colonne en commen¸cant par d´eterminer le terme diagonal.

On obtient :

a₁₁=c²₁₁⇒c₁₁= 1 puisquec₁₁>0.

a21=c21⇒c21= 1 a31=c31⇒c31= 2

a₂₂= 1 +c²₂₂⇒c₂₂= 2 puisquec₂₂>0.

a₃₂= 2 + 2c₃₂⇒c₃₂= 1

a33= 4 + 1 +c²₃₃⇒c33= 1 puisque c33>0.

On obtient doncC=







1 0 0 1 2 0 2 1 1





. (b) Ax=b⇔CC^Tx=b⇔Cy=b, C^Tx=y.

On commence par r´esoudre le syst`eme Cy = b (la matrice est triangulaire), on obtient y=





 4 0 2





.

Puis on r´esout le syst`eme C^Tx=y (la matrice est triangulaire), on obtientx=





 1

−1 2





.

MT09-A2004- Examen partiel - Corrig´e

Exercice 1

1. pi(Ti) =yi,pi(Ti+1) =yi+1.On a donc pi(Ti+1) =pi+1(Ti+1) =yi+1. 2. function z=g (y,d,h,T1,t)

j=floor((t-T1)/h) i=j+1

Ti=T1 +j*h

z=y(i)+d(i)*(t-Ti)+((y(i+1)-y(i))/h-d(i))*(t-Ti)*(t-Ti)/h endfunction

3. En plus des autres param`etres, il faut donner un entier N pr´ecisant combien de points serviront

`

a tracer la courbe.

function trace(y,d,h,T1,N)

// On d´efinit le vecteur des abscisses t n=length(d)

Tmax=T1+n*h

t=linspace(T1,Tmax,N)

// On d´efinit le vecteur des ordonn´ees z for i=1:N-1

z(i)=g(y,d,h,T1,t(i)) end

//On trace

plot(t(1:N-1),z) endfunction

4. (a) p⁰_i(t) =di+ 2

yi+1−yi

h² −di

h

(t−Ti) p⁰_i(T_i) =d_i, p⁰_i(T_i+1) =d_i+ 2

yi+1−yi

h −d_i

=−d_i+ 2yi+1−yi

h .

(b) gest d´erivable enTi+1, si et seulement sip⁰_i(Ti+1) =p⁰_i+1(Ti+1), c’est `a dire

−d_i+ 2y_i+1−y_i

h =d_i+1 ⇔d_i+1+d_i= 2y_i+1−y_i

h .

Exercice 2

function [V]=sol(A,B,H) // On d´efinit E et F n=length(H)/2

E=H(1:n) F=H(n+1:2*n) // On factorise A [L,U]=LU(A)

// On r´esout AY=F en r´esolvant deux syst`emes triangulaires Z=solinf(L,F)

Y=solsup(U,Z)

//On r´esout AX=E-BY en r´esolvant deux syst`emes triangulaires E=E-B*Y

Z=solinf(L,E) X=solsup(U,Z) //On calcule V V=[X;Y]

endfunction

Exercice 3

1. (a) Siλest valeur propre de C, alorsλest valeur propre de C^T, donc det(C^T −λI) = 0, donc C^T −λI n’est pas inversible.

(b) PuisqueM =C^T −λI n’est pas inversible, cette matrice n’est pas `a diagonale strictement dominante, donc il existeicompris entre 1 et ntel que

|m_ii| ≤

i−1

X

j=1

|m_ij|+

n

X

j=i+1

|m_ij|,

orm_ii=cii−λ, m_ij =c_ji, d’o`u le r´esultat.

2. (a) PuisqueA^T est `a diagonale strictement dominante, on a donc

∀i= 1, ..., n, |aii|>

i−1

X

j=1

(A^T)ij

+

n

X

j=i+1

(A^T)ij

≥0.

donc∀i= 1, ..., n, |aii|>0, ce qui implique que les termes diagonaux deA sont tous non nuls.

D est diagonale et d_ii =a_ii. Donc le d´eterminant de D est ´egal au produit des a_ii, donc detD6= 0, doncD est inversible.

(b) Si l’on note P = E+F, multiplier la matrice P `a droite, par la matrice diagonale D<sup>−1</sup> revient `a multiplier les colonnes de P par les termes diagonaux deD⁻¹: C_j = _a¹

jjP_j. De plus les termes diagonaux de P = E +F sont ´egaux `a 0, les autres termes valent pij =−aij.

On obtient donc

( c_ii= 0, i= 1, ..., n

cij =−_a^aij_jj, pour idiff´erent dej ,ietj compris entre 1 etn

3. On applique le r´esultat de la question 1.(b) `a la matrice C dont on vient de calculer les termes.

On a d´emontr´e qu’il existe icompris entre 1 etntel que

|cii−λ| ≤

i−1

X

j=1

|cji|+

n

X

j=i+1

|cji|,

on obtient donc dans le cas de la matriceC particuli`ere :

| −λ| ≤

i−1

X

j=1

−a_ji a_ii

+

n

X

j=i+1

−a_ji a_ii

=

1 a_ii





i−1

X

j=1

| −a_ji|+

n

X

j=i+1

|−a_ji|



.

Or la matriceA^T est `a diagonale strictement dominante, comme cela a d´ej`a ´et´e ´ecrit plus haut, on a donc pour touticompris entre 1 et n

|aii|>

i−1

X

j=1

(A^T)ij

+

n

X

j=i+1

(A^T)ij

⇔ |aii|>

i−1

X

j=1

|aji|+

n

X

j=i+1

|aji| ⇔

1 a_ii





i−1

X

j=1

|aji|+

n

X

j=i+1

|aji|



<1.

On obtient donc que|λ|<1.

4. M₁M₂⁻¹ = M₂(M₂⁻¹M₁)M₂⁻¹, les matrices M₁M₂⁻¹ et M₂⁻¹M₁ sont donc semblables, elles ont donc les mˆemes valeurs propres donc le mˆeme rayon spectral.

5. La matrice d’it´eration de la m´ethode de Jacobi est la matrice D⁻¹(E+F), d’apr`es la question pr´ec´edente cette matrice a le mˆeme rayon spectral que la matrice C= (E+F)D⁻¹.

On a montr´e que toutes les valeurs propresλdeC v´erifiaient |λ|<1, donc le rayon spectral de C est strictement inf´erieur `a 1.

Le rayon spectral de la matrice d’it´eration de Jacobi est donc strictement inf´erieur `a 1, ce qui est une condition n´ecessaire et suffisante pour que la m´ethode de Jacobi converge.