Corrig´e 1. (a) Il s’agit d’une question de cours : MX

Corrig´e 1. (a) Il s’agit d’une question de cours : M_X(t) = exp{λ(e^t−1)}. L’esp´erance est donn´ee par M_X^′ (0). Ici M_X^′ (t) = λe^texp{λ(e^t−1)}, donc E(X) = λ. De plus V ar(X) = M_X^′′(t)−M_X^′ (t)². Or M_X^′′(t) = (λe^t +λ²e^2t) exp{λ(e^t −1)}. Donc M_X^′′(0) = λ+λ², et V ar(X) =λ.

(b) Pour toute valeur dec,xf(x) =cx(1−x²) est une fonction impaire donc E[X] =

Z 1

−1

cx(1−x²)dx= 0.

(c) On calcule d’abord cpour quef_X,Y soit une densit´e. Il faut c

Z +∞ 0

Z +∞ 0

e^−xe^−2ydxdy= 1, soit

c×1×1 2 = 1, c’est-`a-dire

c= 2.

Les lois marginales de X etY sont alors donn´ees par f_X(x) =

(e^−x, x >0,

0, sinon. et f_Y(y) =

(2e^−2y, y >0,

0, sinon.

X suit la loi exponentielleE(1) et Y suit la loi exponentielleE(2). Les variables XetY sont ind´ependantes car f_X,Y =f_Xf_Y.

(d) La loi normale correspond `a l’histogramme (c) qui est sym´etrique et “en cloche”. La moyenne correspond `a l’axe de sym´etrie, soitm = 1.5 ici. Son QQ plot est le QQ plot (ii) o`u tous les points sont approximativement align´es.

La loi uniforme correspond `a l’histogramme d’´equiprobabilit´e (a). Le support de la loi est [0,3], donc a= 0 et b = 3. Son QQ plot est sym´etrique et born´e sur l’axe des ordonn´es `a gauche par 0 et `a droite par 3 : il s’agit du (i).

Enfin, l’histogramme de la loi Γ(3,3.8) est le (b) (non sym´etrique, non born´e) et le QQ plot le (iii).

Corrig´e 2. (a) On note r_i le r´esultat du lancer de la i`eme fl`eche, i= 1,2,3. Chaque lancer peut avoir trois issues :m: “toucher la mouche”,cpm: “toucher la cible mais pas la mouche”

eth : “rater la cible“. Alors

Ω ={(r₁, r₂, r₃),o`u r_i ∈ {cpm, m, h}, i= 1,2,3}.

(b) (i) On noteM : “atteindre la mouche”,C : “atteindre la cible (y compris la mouche)” et H : “ˆetre en dehors de la cible”. On noteR = 0.5 m le rayon de la cible etr= 0.05 m le rayon de la mouche. Pour un d´ebutant, on a, puisque P(C) = 1/2 et par ´equiprobabilit´e des points de la cible atteints,

P(M) =P(M|C)P(C) = πr² πR² ×1

2 = 0.005.

On en d´eduit queP(C\M) = 1/2−0.005 = 0.495.

(ii) Soit X le nombre de fois o`u le d´ebutant atteint la mouche en nparties, c’est-`a-dire en 3nfl´echettes. En supposant les lancers ind´pendants, il s’agit du nombre de succ`es (toucher la cible) lors de la r´ep´etitions de 3nexp´eriences (les lancers) ind´ependants, chacun ayant une probabilit´ep = 0.005 d’ˆetre un succ`es. X suit donc une loi binomiale de param`etres 3netp :

P(X=k) =C_3n^k p^k(1−p)^3n−k, k= 0, . . . ,3n.

(iii) Ici n = 30 et k = 5. On utilise l’approximation de la loi B(90,0.005) par la loi de Poisson P(λ) avec λ=np= 0.45. Donc la probabilit´e recherch´ee est approximativement (1 +^λ_1!¹ +^λ_2!² +^λ_3!³ +^λ_4!⁴ +^λ_5!⁵)e^−λ ≈1.

(iv) Soit Z le nombre de fl`eches lanc´ees jusqu’`a ce que le joueur atteigne la mouche pour la ni`eme fois.Z suit une loi binomiale n´egative de param`etres ket p= 0.05 :

P(Z=k) =C_kⁿ₋⁻₁¹pⁿ(1−p)^k−n, k=n, n+ 1, . . .

(v) SoitY le nombre de lancers n´ecessaires jusqu’`a atteindre la mouche pour la premi`ere fois lors d’une partie. Lors d’une partie, le joueur a la probabilit´e (1−p)³ de ne pas atteindre la mouche, et donc 1−(1−p)³ de l’atteindre (au moins une fois). En supposant les lancers ind´ependants,Y suit une loi g´eom´etrique de param`etre 1−(1−p)³ avec p= 0.05 :

P(Y =k) ={1−(1−p)³}(1−p)^3(k−1), k= 1,2, . . .

(c) On note N_i le nombre de points marqu´es par fl´echette num´eroi par un d´ebutant. On a P(N_i = 0) = 0.5

P(N_i = 5) = 0.495 P(N_i = 20) = 0.005 Donc

E(Ni) = 0×0.5 + 5×0.495 + 20×0.005 = 2.575.

Donc par partie, l’esp´erance du nombre de points marqu´es par un d´ebutant est E(N₁+N₂+N₃) = 3E(N₁) = 7.725.

On a de plus

E(N_i²) = 0²×0.5 + 5²×0.495 + 20²×0.05 = 14.375

doncV ar(N_i) =E(N_i²)−E(N_i)² = 14.375−2.575² = 7.7444. Doncpar partie, la variance du nombre de points marqu´es par un d´ebutant estV ar(N₁+N₂+N₃) = 3V ar(N₁) = 23.23.

Corrig´e 3. (a) On note “T” : la personne soumise au d´etecteur a trich´e et “D” : le d´etecteur lit que la personne a trich´e. D’apr`es l’´enonc´e, on a

P(D|T) = 0.95 P(D|T¯) = 0.005

P(T) = 0.01.

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(b) Cela revient `a calculer la probabilit´e que l’´el`eve ait trich´e, sachant que le d´etecteur dit qu’il a trich´e, soit

P(T|D) = P(T ∩D)

P(D) = P(D|T)P(T)

P(D|T)P(T) +P(D|T¯)P( ¯T) = 0.95×0.01

0.95×0.01 + 0.005×(1−0.01) = 0.6574.

(c) On note D_n : la machine dit lors des n exp´eriences que votre camarade a trich´e. Par ind´ependance des r´eponses de la machine que la personne ait trich´e ou non,P(Dn|T) = 0.95ⁿ etP(D_n|T¯) = 0.005ⁿ. On a alors

P(T|D_n) = P(D_n|T)P(T)

P(D_n|T)P(T) +P(D_n|T¯)P( ¯T) = 0.95ⁿ×0.01

0.95ⁿ×0.01 + 0.005ⁿ×(1−0.01). Cette formule nous donneP(T|D₁) = 0.6574 (r´eponse du 2)),P(T|D₂) = 0.9972,P(T|D₃)>

0.9999. Donc il suffit que l’EPFL r´ep`ete 3 fois l’exp´erience.

Remarque : Il est ´egalement possible de d´eterminernexplicitement. D’‘apr`es ce qui pr´ec`ede, on cherche le plus petit entier n≥1 tel que :

0.95ⁿ×0.01≥0.9999(0.95ⁿ×0.01 + 0.005ⁿ×0.99)

⇔ 0.95ⁿ≥0.9999×0.95ⁿ+ 0.9999×0.005ⁿ×99

⇔ 0.0001×0.95ⁿ ≥0.9999×99×0.005ⁿ

⇔ ( 0.95

0.005)ⁿ= 190ⁿ≥9999×99

⇔ nlog 190≥log(9999×99)

⇔ n≥ log(9999×99) log 190 .

On trouve alors n≥2.63, et donc il suffit que l’EPFL r´ep`ete 3 fois l’exp´erience.

Corrig´e 4. (a) X_i, i= 1, . . . , n ´etant positives, continues et repr´esentant des dur´ees de vie, on peut mod´eliser ces variables al´eatoires par la loi exponentielle. Puisque Don Juan change de partenaire tous les deux mois en moyenne, on a E(X_i) = 2 et donc il faut ici utiliser la loi exponentielle de param`etre λ= 1/2. La fonction de masse de X_i est :

P(X_i ≤x) = 1

2e^−x2, i= 1, . . . , n.

(b) On noteE: ”chacune desnderni`eres relations de Don Juan a dur´e plus de deux mois“.E s’´ecrit (X₁ ≥2)∩(X₂≥2)∩. . .∩(X_n≥2). Par ind´ependance,P(E) =P(X₁ ≥2)×P(X₂ ≥ 2)×. . .×P(Xn≥2). Or, P(Xi ≥2) =e⁻¹. Donc P(E) =e⁻ⁿ.

(c) (i) On aY = max_i=1,...,n{X_i}, ainsi (Y ≤t) = (X₁ ≤t)∩(X₂ ≤t)∩. . .∩(X_n ≤t). Par ind´ependance, P(Y ≤t) =P(X₁ ≤t)×P(X₂ ≤t)×. . .×P(X_n≤t). Ainsi,

P(Y ≤t) =

0, si t≤0,

(1−e^−t/2)ⁿ, sit >0.

(ii) Il suffit de d´eriver la fonction de masse trouv´ee en a) : f_Y(t) =

0, si t≤0,

n

2e^−t/2(1−e^−t/2)ⁿ⁻¹, sit >0.

(iii) Il s’agit ici de donner la probabilit´e conditionnelle P(Y ≤t|X_n> s). On a P(Y ≤t|Xn> s) = P({Y ≤t} ∩ {Xn> s})

P(X_n> s) = P({X1 ≤t} ∩. . .∩ {Xn≤t} ∩ {Xn> s})

P(X_n> s) .

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Cette probabilit´e est nulle pourt < s. Pour t≥s, on a

P(Y ≤t|X_n> s) = P(X₁≤t)×. . .×P(X_n−1 ≤t)×P(s < X_n≤t) P(X_n> s)

= (1−e^−t/2)ⁿ⁻¹(1−e^−t/2−1 +e^−s/2) e^−s/2

= (1−e^−t/2)ⁿ⁻¹(−e^−t/2+e^−s/2) e^−s/2

= (1−e^−t/2)ⁿ⁻¹(1−e^−(t−s)/2).

La probabilit´e queY n’exc`ede pas tmois, sachant que la derni`ere relation de Don Juan a dur´e plus de s >0 mois, est donc :

P(Y ≤t|Xn> s) =

((1−e^−t/2)ⁿ⁻¹(1−e^−(t−s)/2), t > s,

0, sinon.

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