1.INTRODUCTION ET R ´ESULTATS Deheuvels et Derzko [5] ont ´etudi´e le processus empirique des rapports d’espacements de deux ´echantillons ind´ependants de tailles n1, n2≥1

UNIFORMES NON RECOUVRANTS

(NON-OVERLAPPING UNIFORM m-SPACINGS-RATIO EMPIRICAL PROCESSES)

MO¨ISE J ´ER ´EMIE

Communicated by Marius Iosifescu

We consider an empirical process based upon ratios of pairs of non-overlapping m-spacings generated by independent samples of arbitrary sizes. We show that when both samples are uniformly distributed on intervals of equal lengths, this empirical process converges to a centered Gaussian process whose structure is specified.

AMS 2010 Subject Classification:60F05, 60F17, 60G15.

Key words: processus empiriques, processus gaussiens, principes d’invariance faibles, lois limites, espacements, statistiques d’ordre, lois faibles.

1.INTRODUCTION ET R ´ESULTATS

Deheuvels et Derzko [5] ont ´etudi´e le processus empirique des rapports d’espacements de deux ´echantillons ind´ependants de tailles n1, n2≥1. Dans le cas d’une loi uniforme sur (0,1), ils ont montr´e que, lorsque n₁∧n₂ → ∞, ce processus convergeait en loi vers un processus limite gaussien de la forme

B(t)−6Ct(1−t) Z 1

0

B(s)ds, pour 0≤t≤1,

o`u {B(t) : 0 ≤ t ≤ 1} est un pont brownien, et C une constante d´ependant du comportement limite de n₁/n₂. Nous g´en´eralisons leurs r´esultats aux m- espacements non recouvrants. Soient, sur un espace de probabilit´e (Ω,A,P), deux suites ind´ependantes,{X_n:n≥1}et{Y_n:n≥1}, de variables al´eatoires [v.a.] ind´ependantes de mˆeme loi, sauf mention contraire, uniforme sur (0,1), avec F_X(t) := P(X₁ ≤ t) = F_Y(t) := P(Y₁ ≤ t) = t, pour 0 ≤ t ≤ 1. Pour n1, n2 ≥1 entiers, d´esignons parX1,n1 < . . . < Xn1,n1 etY1,n2 < . . . < Yn2,n2 les statistiques d’ordre de X₁, . . . , X_n1 et Y₁, . . . , Y_n2. Posons X_0,n1 =Y_0,n2 = 0, et X_n1+1,n1 = Y_n2+1,n2 = 1. Sans perte de g´en´eralit´e, nous supposons que,

REV. ROUMAINE MATH. PURES APPL.59(2014),3,307–329

sur (Ω,A,P), ces v.a. sont distinctes. Pour tout entier m tel que 1 ≤ m ≤ (n₁∧n₂) + 1,nous notons les m-espacements par

D^(m)_i,n

1;X =X_i+m,n1 −X_i,n1 et D_j,n^(m)

2;Y =Y_j+m,n2−Y_j,n2, o`u 0≤i≤n1−m+ 1, et 0≤j≤n2−m+ 1, et consid´erons les rapports

R_i,j,n1,n2 = (n1−m+ 2)D^(m)_i,n1;X (n₁−m+ 2)D^(m)_i,n

1;X + (n₂−m+ 2)D^(m)_j,n

2;Y

.

La loi deRi,j,n1,n2 est ind´ependante dei, j, et satisfait, lorsquen1∧n₂→∞, Ri,j,n1,n2

→d βm,m,

o`u β<sub>r,s</sub> d´esigne une loi b´eta de param`etres r > 0 et s >0 (voir (1.7)). Nous consid´erons ici un processus empirique bas´e sur une s´election des Ri,j,n1,n2, associ´ee `a des familles d’espacements non recouvrantsD^(m)_i,n

1;X (resp. D^(m)_j,n

2;Y) (pour m = 1, voir Deheuvels et Derzko [4, 5]). Nous choisissons d’abord un entier N :=N(N₁, N₂) tel que 0≤N ≤N₁∧N₂, o`u

(1.1) N₁ :=b(n₁+ 1)/mc −1, N₂ :=b(n₂+ 1)/mc −1,

et buc ≤ u < buc + 1 d´esigne la partie enti`ere inf´erieure de u ∈ R. Nous introduisons ensuite des suites d’indices 0≤i_0,n1 < . . . < i_N,n1 ≤n₁−m+ 1, et 0 ≤ j_0,n2 < . . . < j_N,n2 ≤ n₂ −m+ 1, telles que i_k+1,n1 −i_k,n1 ≥ m et jk+1,n2−jk,n2 ≥m pourk= 0, . . . , N. Nous consid´erons alors lesN+ 1 paires de m-espacements non recouvrants d´efinis, pour k= 0, . . . , N, par

S_k,N;X^(m) :=D^(m)_i

k,n1,n1;X =Xik,n1+m,n1 −Xik,n1,n1, (1.2)

S_k,N;Y^(m) :=D^(m)_j

k,n2,n2;Y =Y_jk,n

2+m,n2 −Y_jk,n

2,n2. Nous supposons dans ce qui suit que

(1.3) P =P(N, N₁) :=N₁−N ≥0 et Q=Q(N, N₂) :=N₂−N ≥0, v´erifient les conditions limites, lorsque N → ∞,

(1.4) P/(N+ 1)→c∈[0,∞], et Q/(N + 1)→d∈[0,∞], o`u c, d∈[0,∞] sont des constantes. Nous consid´erons les rapports de m-espacements, pourk= 0, . . . , N≤N1∧N2,

(1.5) Rk;n₁,n₂ :=Ri_k,n1,j_k,n2,n₁,n₂ = (N+P+ 1)S_k,N;X^(m)

(N+P+ 1)S_k,N;X^(m) + (N+Q+ 1)S_k,N;Y^(m) .

La fonction de r´epartition [f.r.] empirique correspondante est donn´ee par (1.6) H_N;n1,n2(x) = 1

N + 1

N

X

k=0

1I{Rk;n1,n2≤x}, pour x∈R.

La f.r. H_r et la densit´e h_r de la loi b´eta β_r,r sont donn´ees, pour r >0, par

(1.7) H_r(x) :=

Z x 0

t^r−1(1−t)^r−1 β(r, r) dt=

Z x 0

h_r(t)dt, 0≤x≤1.

Nous abordons dans ce qui suit l’´etude du processus empirique

(1.8) γN;n1,n2(x) := (N+ 1)^1/2(HN;n1,n2(x)−Hm(x)), pour 0≤x≤1, dont nous ´etudions le comportement sous les conditions (1.4). Comme r´esultat principal, nous ´etablissons un principe d’invariance, donnant une approxima- tion de{γ_N;n1,n2(v) : 0≤v≤1}par des suites de r´epliques de processus gaus- siens centr´es, de la forme (voir Deheuvels [3], Deheuvels et Derzko [5])

(B◦Hm)C(v) := B(Hm(v))−C(2m+ 1)!

(m!)² (v(1−v))^m (1.9)

× Z 1

0

B(H_m(s))ds, 0≤v≤1.

Ici{B(v) : 0≤v≤1}d´esigne un pont brownien, etC ∈R, une constante.

Dans le cas suivant, la structure limite de γ_N^(m)_;n

1,n2 est simple. Notons kgk :=

sup_u|g(u)|la norme sup, etI(u) =u, 0≤u≤1, l’identit´e.

Exemple 1.1. SiN =o(N1) etN =o(N2) lorsqueN → ∞, de sorte que c = d = ∞ dans (1.4), pour un choix convenable de (Ω,A,P), il existe une suite{B_N⁰ :N ≥1}de ponts browniens, telle que, lorsque N → ∞,

(1.10)

γ_N;n1,n2 −B_N⁰ (H_m)

=o_P(1).

L’exemple 1.1 laisse entendre que, ind´ependamment de c et d, γ_N;n1,n2 pourrait converger vers un pont brownien lorsque N → ∞. Ce n’est cepen- dant pas le cas comme l’ont montr´e Deheuvels et Derzko [5] pour m = 1. Le th´eor`eme 1.1 suivant g´en´eralise leur r´esultat `a m≥1.

Th´eor`eme1.1. Lorsquec=d= 0, pour un choix convenable de(Ω,A,P), il existe deux suites

B_N⁺(v) : 0≤v≤1 et

B_N⁻(v) : 0≤v≤1 , N = 1,2, . . ., de ponts browniens, li´es par les relations r´eciproques,

B^±_N◦H_m(v) = B_N^∓◦H_m(v)−2(2m+ 1)!

(m!)² (v(1−v))^m× (1.11)

Z 1 0

B^∓_N◦Hm(s) ds, pour 0≤v≤1,

et v´erifiant les relations, lorsque N → ∞,

γ_N;n1,n2−

B⁺_N◦H_m−(2m+ 1)!

(m!)² × (1.12)

1 + 1

√2m+ 1

(I(1−I))^m Z 1

0

B⁺_N ◦Hm(s) ds

=o_P(1), et

γ_N;n1,n2−

B⁻_N◦H_m−(2m+ 1)!

(m!)² × (1.13)

1− 1

√2m+ 1

(I(1−I))^m Z 1

0

B⁻_N ◦H_m(s) ds

=o_P(1).

La preuve du th´eor`eme 1.1 est expos´ee dans le§5.3.

Remarque 1.1.On v´erifie (voir (1.9) et (2.18)) que

(1.14) (B◦Hm)_C1(·)= (B^d ◦Hm)_C2(·) ⇐⇒ C1(C1−2) =C2(C2−2).

Posons δ= (2m+ 1)^−1/2. La relation (1.14) implique que (B◦Hm)_{1+δ}

et (B◦H_m)_{1−δ}, dans (1.12)–(1.13), sont identiquement distribu´es (voir le§2).

Le th´eor`eme 1.1 peut ˆetre pr´ecis´e comme suit.

Th´eor`eme 1.2. Sur un espace (Ω,A,P) convenable, il existe deux suites B_N⁺(v) : 0≤v≤1 et

B_N⁻(v) : 0≤v≤1 , N = 1,2, . . ., de ponts brow- niens, li´es par les relations (1.11), et tels que, lorsque N → ∞,

γN;n1,n2 −

B_N⁺◦Hm−2(2m+ 1)!

(m!)²

1 +p RN,m

(1.15)

×(I(1−I))^m Z 1

0

B_N⁺◦H_m(s) ds

=O_P

N^−1/4 (logN)^1/2 , et

γN;n1,n2 −

B_N⁻◦Hm−2(2m+ 1)!

(m!)²

1−p RN,m

(1.16)

×(I(1−I))^m Z 1

0

B_N⁻◦Hm(s) ds

=O_P

N^−1/4 (logN)^1/2

,

(1.17) o`u RN,m := 1− m 2m+ 1

N+ 1

N+ 1 +P + N + 1 N + 1 +Q

.

Dans le§2, nous rappelons des r´esultats de [5] s’appliquant aux processus limites des th´eor`emes 1.1–1.2. Dans le §3, nous pr´esentons la m´ethodologie utilis´ee. Le §4 expose nos principes d’invariance. Le §5, contient les preuves des th´eor`emes 1.1–1.2, g´en´eralisant les r´esultats de Deheuvels et Derzko [5].

2. PROCESSUS GAUSSIENS CENTR ´ES SUR LEUR MOYENNE Les r´esultats ci-dessous sont dˆus `a Deheuvels et Derzko [5], et cit´es avec leurs notations. Pour d ≥ 1, soit un processus gaussien continu {X(t) : t ∈ [0,1]^d}, de covariance K(s, t) =E(X(s)X(t)) v´erifiant la condition

(2.1) 0< σ_X² :=

Z

[0,1]^d×[0,1]^d

K(s, t) dsdt <∞.

Nous d´esignons ici par dtla mesure de Lebesgue dans R^d. Posons Ψ(t) :=

Z

[0,1]^d

K(s, t) ds=E

X(t) Z

[0,1]^d

X(s) ds

, t∈[0,1]^d. Compte tenu de (2.1), nous avons la relation

(2.2) σ_X² =

Z

[0,1]^d

Ψ(t) dt= Var Z

[0,1]^d

X(s) ds

.

Pour tout C∈R, notons (2.3) X_C(t) :=X(t)− C Ψ(t)

σ_X² Z

[0,1]^d

X(s) ds, pour t∈[0,1]^d.

Pour tout C ∈ R, soit l’endomorphisme J_C : Y ∈ E 7−→ Y_C ∈ E de l’espace vectoriel E=E(X) :={λX_C : λ∈R, C ∈R}, d´efini par

(2.4) J_CY=Y_C :=Y−CΨ σ_Y²

Z

[0,1]^d

Y(s) ds.

Posons f◦g=f(g), et notonsf⁻¹, l’inverse def lorsqu’il existe.

Lemme 2.1. Pour tout A, B, C ∈R, nous avons les identit´es J_A◦J_B=J_A◦J_B =JA+B−AB;

(2.5)

JA◦(JB◦JC) = (JA◦JB)◦JC =JA+B+C−AB−AC−BC+ABC; (2.6)

J0◦JA=JA◦J0 =JA; JA◦JB=J1 ⇐⇒ A= 1 ou B = 1;

(2.7)

J₁◦J_A=J_A◦J₁ =J₁; A6= 1 =⇒J_A⁻¹=J_A/(A−1) (2.8)

JA+JB = 2J_(A+B)/2. (2.9)

Lemme 2.2. Pour tout C ∈R, nous avons les identit´es en loi (2.10) JC(X0) =X_C =^d JC(X2) =X_2−C.

Lemme 2.3.

X₁(t) : t∈[0,1]^d et R

[0,1]^dX(s) ds=^d N(0, σ_X²) sont ind´e- pendants.

Th´eor`eme 2.1. Soit Y =^d N(0, σ²) une variable al´eatoire gaussienne ind´ependante de

X(t) :t∈[0,1]^d . Pour tout C ∈ R, nous avons l’´egalit´e en loi

(2.11) n

X_C(t) + Ψ(t)Y :t∈[0,1]^do _d

=n X_1±√

(1−C)²+σ²σ_X²(t) :t∈[0,1]^do .

D´emonstration. Voir Deheuvels et Derzko [5].

Corollaire 2.1. Nous avons l’identit´e en loi (2.12) n

X(t) :t∈[0,1]^do _d

=n

X(t)−2Ψ(t) σ²_X

Z

[0,1]^d

X(s) ds:t∈[0,1]^do .

D´emonstration. Voir Deheuvels et Derzko [5].

Remarque 2.1.Lorsque d = 1 et X = B(H_m), o`u B(.) ´etant un pont brownien et H_m comme en (1.7), on a, pour 0≤s, t≤1,

K(s, t) = E(B(H_m(s))B(H_m(t))) =H_m(s∧t)−H_m(s)H_m(t), Ψ(t) =

Z

[0,1]

K(s, t) ds= (2m)!

4(m!)² (t(1−t))^m, (2.13)

σ_X² = σ²_B◦Hm = 1 4(2m+ 1). (2.14)

Comme cas particulier de (2.12), on constate que (voir (1.3), dans [3]) (B◦Hm)= (B^d ◦Hm)−2(2m+ 1)!

(m!)² (I(1−I))^m Z 1

0

B(Hm(s))ds.

(2.15)

De plus, le lemme 2.3 implique l’ind´ependance de (2.16) (B◦Hm)− (2m+ 1)!

(m!)² (I(1−I))^m Z 1

0

B(Hm(s))ds et (B◦Hm).

En prenant X=B◦Hm etd= 1, posons (2.17) (B◦Hm)_C =B(Hm)−C(2m+ 1)!

(m!)² (I(1−I))^m Z 1

0

B(Hm(s))ds.

Compte tenu de (2.16), nous voyons que, pour 0≤s, t≤1, E((B◦H_m)_C(s)(B◦H_m)_C(t)) =H_m(s∧t)−H_m(s)H_m(t) (2.18)

+(2m+ 1)(C²−2C)((2m)!)²

4(m!)⁴ (st(1−s)(1−t))^m.

3. LE PROCESSUS EMPIRIQUE DE BASE 3.1. Un th´eor`eme d’approximation forte

Comme dans la proposition 5.1 de Deheuvels et Derzko [5], soit, pour N = 1,2, . . ., une suite i.i.d. {(ζ<sub>`,N</sub>, ξ`,N) : ` ≥ 1} de r´epliques de (ζ, ξ), o`u ζ =^d ξ = Γ(1,^d 1) sont des v.a. ind´ependantes exponentielles de moyenne 1. Pour r >0 et x≥0, la f.r.Gr et la densit´e gr de la loi Γ(r,1) sont donn´ees par

(3.1) G^(r)(x) := 1

Γ(r) Z x

0

t^r−1e^−t= Z x

0

g_r(t)dt.

Nous posons (3.2) Z_k,N :=

(k+1)m

X

`=km+1

ζ_`,N et Z_k,N⁰ :=

(k+1)m

X

`=km+1

ξ_`,N pour k, N ≥0.

Pour k ≥ 0, (Z_k,N, Z_k,N⁰ ) = (Z, Z^{d 0}), o`u Z =^d Z⁰ = Γ(m,^d 1) sont ind´e- pendantes et de loi Γ(m,1). Les fonctions de quantiles des lois β_r,r et Γ(r,1), sont

K_r(u) = inf{x≥0 :H_r(x)≥u}, 0< u <1, (3.3)

Q_r(v) = inf{x≥0 :G^(r)(x)≥v}, 0< v <1.

(3.4)

Les densit´es de quantile km(v) = _dv^dKm(v) et qm(v) = _dv^dQm(v) sont continues en v∈(0,1), et telles que, pour 0< v <1,

km(v) = d

dv Km(v) = 1

hm(Km(v)) ∈(0,∞), (3.5)

q_m(v) = d

dv Q_m(v) = 1

g^(m)(Q_m(v)) ∈(0,∞).

(3.6)

Nous g´en´eralisons la proposition 3.1 de Deheuvels et Derzko [5] `am≥1.

Proposition 3.1. Nous avons, pour m≥1, km(v) = (1 +o(1))1

m n ¹

2

m

2^1−2mm!

o−1/m

v^1/m−1, v↓0, (3.7)

km(v) = (1 +o(1))1 m

n ¹

2

m

2^1−2mm!

o−1/m

(1−v)^1/m−1, v↑1, (3.8)

q_m(v) = 1 +o(1)

m {Γ(m+ 1)}^1/m)v^1/m−1, v↓0 (3.9)

qm(v) = 1 +o(1)

1−v , v↑1, (3.10)

K_m(v) = (1 +o(1))n ¹

2

m

2^1−2mm!

o−1/m

v^1/m, v↓0, (3.11)

Km(v) = 1−(1 +o(1)) n ¹

2

m

2^1−2mm!

o−1/m

(1−v)^1/m, v↑1.

(3.12)

Q_m(v) = (1 +o(1)){Γ(m+ 1)}^1/m)v^1/m), v↓0, (3.13)

Q_m(v) =−(1 +o(1)) log(1−w), w↑1.

(3.14)

D´emonstration. Omise.

Nous introduisons une paire al´eatoire (R, T) et une suite i.i.d. de r´epliques de (R, T),{(R_k,N, T_k,N) :k≥0, N ≥1}, en posant, pour k≥0 et N ≥1,

R = Z/(Z+Z⁰), T =Z+Z⁰, (3.15)

R_k,N = Z_k,N/(Z_k,N+Z_k,N⁰ ), T_k,N =Z_k,N+Z_k,N⁰ . (3.16)

Les variablesR=^d βm,metT = Γ(2m,^d 1) sont ind´ependantes. Par la trans- formation de quantiles (voir le th´eor`eme 1, pp. 3–4 de Shorack et Wellner [10]), nous posons, pour k≥0 et N ≥1,

V = H_m(R) et V_k,N =H_m(R_k,N), (3.17)

W = G^(2m)(T) et W_k,N =G^(2m)(T_k,N). (3.18)

{(V_k,N, W_k,N) :k≥0, N ≥1} d´efinit une suite i.i.d. de r´epliques de (V, W), o`u V =^d U(0,1) etW =^d U(0,1) sont ind´ependantes, de loi uniforme sur (0,1).

On a, pour tout 0≤k≤N,

Z_k,N =R_k,N T_k,N =Km(V_k,N)Q2m(W_k,N) et (3.19)

Z_k,N⁰ = (1−Rk,N)Tk,N = (1−Km(Vk,N))Q2m(Wk,N). La mesure empirique bas´ee sur{(V_k,N, W_k,N) : 0≤k≤N} est not´ee

(3.20) λN = 1

N + 1

N

X

k=0

δ(^Vk,N,W_k,N), pour N ≥0,

o`uδ_z d´esigne la mesure de Dirac enz∈R². Siλd´esigne la mesure de Lebesgue sur [0,1]², le processus empirique associ´e est donn´e par

(3.21) αN(A) := (N + 1)^1/2(λN(A)−λ(A)),

pourA⊆[0,1]² bor´elien. Nous d´efinissons la version continue `a droite [c`ad] de la f.r. empirique bivari´ee correspondante en posant, pour 0≤v, w≤1,

UN(v, w) =λN([0, v]×[0, w]). (3.22)

Pour 0≤v, w≤1, on note

(3.23) α_N(v, w) =α_N([0, v]×[0, w]) = (N + 1)^1/2(U_N(v, w)−vw),

la version c`ad du processus empirique de{(V_k,N, W_k,N)}. La version continue

`

a gauche [c`ag] du processus empirique de {(1−V_k,N,1−W_k,N)} sera not´ee {α^∗_N(v, w) : 0≤v, w≤1}. CommeαN(1,1) = 0, on a pour 0≤u, v≤1,

α^∗_N(1−v,1−w) = αN(v, w)−αN(v,1)−αN(1, w).

(3.24)

On notera que les processus empiriques marginaux α_N:1(v) := α_N(v,1), pour 0≤v≤1, (3.25)

α_N:2(w) := α_N(1, w), pour 0≤w≤1, (3.26)

engendr´es, respectivement par {V_k,N : 0≤k≤N} et {W_k,N : 0≤k≤N} , sont des processus empiriques uniformes ind´ependants, sur [0,1]. Nous allons

´

etudier le comportement limite de {α_N:1(v) : 0≤v≤1}, processus empirique engendr´e par{V_k,N : 0≤k≤N}, et des statistiques

∆N := ZN−Z⁰_N = 1 N+ 1

N

X

k=0

Z_k,N−Z_k,N⁰ , (3.27)

et

Θ_N := Z_N+Z⁰_N −2m= 1 N + 1

N

X

k=0

{T_k,N−2m}. (3.28)

Nous g´en´eralisons `a m≥1 le th´eor`eme 3.1 de Deheuvels et Derzko [5].

Th´eor`eme3.1. Pour un choix convenable de(Ω,A,P), il existe une suite {(B_N(.), φ_N, ψ_N) :N ≥1} v´erifiant les propri´et´es suivantes.

(i) Pour chaque N ≥ 1, {B_N(v) : 0≤v≤1} est un pont brownien et φ_N =^d ψ_n=^d N(0,1) sont deux v.a. normales standard.

(ii) Pour chaqueN ≥1,{B_N(v) : 0≤v≤1},φ_N etψ_N sont ind´ependants.

(iii) Nous avons, lorsque N → ∞,

||α_N;1−BN||=O_P

N^−1/2(logN)²

, (3.29)

(N+ 1)^1/2∆_N−φ_N

r 2m

2m+ 1+ 4m Z 1

0

B_N(H_m(x)) dx (3.30)

=O_P

N^−1/2(logN)³ ,

(N+ 1)^1/2ΘN−ψN

√ 2m

=O_P

N^−1/2(logN)³

. (3.31)

D´emonstration. La d´emonstration du th´eor`eme 3.1 est donn´ee au §4.4, apr`es ´etablissement de r´esultats pr´eliminaires dans les§§3.2 et 4 ci-dessous.

3.2. D´ecompositions du processus empirique

Nous suivons la proposition 5.1 de Deheuvels et Derzko [5]. En premier, les propositions 3.2-3.3 ci-dessous g´en´eralisent `am≥1 les propositions 3.1–3.2 de Deheuvels et Derzko [5]. Rappelons (3.24).

Lemme 3.1. Nous avons l’´egalit´e (3.32)

Z 1 0

αN:1(v)dv= Z 1

0

αN(v,1)dv=− Z 1

0

α^∗_N(z,1)dz.

D´emonstration. Par (3.24), α_N:1(v) = α_N(v,1) = −α^∗_N(1−v,1). On effectue alors le changement de variables v= 1−z dans (3.32).

Proposition 3.2. Nous avons les identit´es (N + 1)^1/2∆N =

Z Z

[0,1]²

(2Km(s)−1) Q2m(t) αN(ds,dt) (3.33)

= 2 Z Z

[0,1]²

km(v) q2m(w){α_N(v, w)−αN(v,1)−αN(1, w)} dv dw +

Z 1 0

q2m(w) αN(1, w) dw

= 2 Z Z

[0,1]²

km(1−v) q2m(1−w) α^∗_N(v, w) dv dw

− Z 1

0

q2m(1−w) α^∗_N(1, w) dw, (N + 1)^1/2 ΘN =

Z 1 0

Q2m(t) αN(1,dt) (3.34)

=− Z 1

0

q2m(w) α_N(1, w) dw= Z 1

0

q2m(1−w) α^∗_N(1, w) dw.

Proposition 3.3. Nous avons (N+ 1)^1/2∆_N = 2

Z Z

[0,1]²

km(1−v) q2m(1−w) (3.35)

{α^∗_N(v, w)−v α^∗_N(1, w)−w α^∗_N(v,1)} dvdw + 4m

Z 1 0

k_m(1−v) α^∗_N(v,1) dv.

D´emonstration.Dans les propositions 3.2–3.3 de Deheuvels et Derzko [5], on change les loisU(0,1),Γ(2,1), enβ(m, m),Γ(2m,1) (voir J´er´emie [6]).

Apr`es avoir obtenu, dans les propositions 3.2-3.3, les repr´esentations ap- propri´ees de (N+ 1)^1/2∆N et (N+ 1)^1/2 ΘN en termes de αN et α^∗_N, nous allons approximer dans le §4.2 ces statistiques par des homologues gaussiens.

Nous renvoyons `a Deheuvels et Derzko [5] et J´er´emie [6] pour les d´etails.

4. APPROXIMATIONS GAUSSIENNES 4.1. Ponts browniens et processus de Wiener

Nous renvoyons `a Deheuvels et Derzko [5] pour les d´efinitions du processus de Wiener univari´e {W(u) : u ≥ 0}, et du Wiener {W(u, v) : u, v ≥ 0}, `a variables dans R²+. On note{B(u, v) : 0≤u, v≤1}, un pont brownien bivari´e et {B^∗(u, v) : 0 ≤ u, v ≤ 1}, un pont brownien bivari´e r´eduit. Les processus d´efinis comme en (4.3) par {B_[0](u, v)}, {B_[1](u) = B(u,1)}, et {B_[2](v) = B(1, v)}, sont des ponts browniens univari´es. Les relations B(0,0) =B(1,1) = 0, impliquent que ce processus d´efini, pour 0≤u, v≤1, par

(4.1) B^∗(1−u,1−v) = Z Z

(u,1]×(v,1]

B(du,dv) =B(u, v)−B(u,1)−B(1, v), v´erifie l’identit´e en loi

(4.2) {B(u, v) : 0≤u, v≤1}=^d {B^∗(u, v) : 0≤u, v≤1}.

Lemme4.1. Les processus B_[0](., .), B_[1](.) et B_[2](.) sont ind´ependants, et constituent, respectivement un pont brownien bivari´e r´eduit et deux ponts browniens univari´es v´erifiant, pour 0≤u, v≤1,

(4.3) B(u, v) =B_[0](u, v) +v B_[1](u) +u B_[2](v).

D´emonstration.Voir le§4.1 de Deheuvels et Derzko [5] et J´er´emie [6].

4.2. D´ecompositions de ponts browniens

Nous suivons la proposition 5.1 de Deheuvels et Derzko [5], en g´en´eralisant par la proposition 4.1 suivante, la proposition 4.3 de Deheuvels et Derzko [5].

Rappelons les d´efinitions (3.3)–(3.5) et (3.6) de K_m, Q_2m, k_m et q_2m. Soit {B(v, w) : 0≤v, w≤1} un pont brownien bivari´e, et, compte tenu de (4.2), soitB^∗(., .) un pont brownien bivari´e d´efini, comme dans (4.1) par la relation (4.4) B^∗(1−v,1−w) =B(v, w)−B(v,1)−B(1, w),

pour 0 ≤ v, w ≤ 1. Via (4.3), nous notons B^∗_[0](., .), B_[1]^∗ (.) et B_[2]^∗ (.), un pont brownien r´eduit et des ponts browniens univari´es, d´efinis en fonction de B^∗, par les relations, pour 0≤v, w≤1,

B^∗_[0](v, w) =B^∗(v, w)−vB^∗(1, w)−wB^∗(v,1), (4.5)

B_[1]^∗ (v) =B^∗(v,1) et B_[2]^∗ (w) =B^∗(1, w).

(4.6)

Proposition4.1. Avec les hypoth`eses ci-dessus, nous avons les relations, Z Z

[0,1]²

(2 Km(v)−1) Q2m(w) B(dv,dw) (4.7)

= 2 Z Z

[0,1]²

km(1−v) q2m(1−w) B^∗_[0](v, w) dv dw +4m

Z 1 0

km(1−v) B_[1]^∗ (v) dv

= 2 Z Z

[0,1]×[0,∞)

B^∗_[0](1−Hm(x),1−G^(2m)(y)) dx dy +4m

Z 1 0

B^∗_[1](1−Hm(x)) du=^d N(0,2m), Z Z

[0,1]²

Q2m(w) B(dv,dw) =− Z 1

0

q2m(1−w) B(1, w) dw (4.8)

= Z ₁

0

q_2m(1−w) B^∗(1, w) dw= Z ₁

0

q_2m(1−w) B_[2]^∗ (w) dw, o`u les composantes al´eatoires

2 Z Z

[0,1]²

B^∗_[0](v, w) km(1−v) q2m(1−w) dv dw (4.9)

= 2 Z Z

[0,1]×[0,∞)

B^∗_[0](1−H_m(x),1−G^(2m)(y)) dx dy=^d N

0, 2m 2m+ 1

,

4m Z 1

0

k_m(1−v) B_[1]^∗ (v) dv= 4m Z 1

0

B_[1]^∗ (1−H_m(x)) dx (4.10)

=−4m Z 1

0

B(H_m(x),1) dx=^d N

0, 4m² 2m+ 1

, et

(4.11)

Z 1 0

q_2m(1−w) B_[2]^∗ (w) dw=^d N(0,2m), sont ind´ependantes.

D´emonstration. Nous proc´edons comme dans la proposition 4.3 de De- heuvels et Derzko [5], et renvoyons pour plus de d´etails `a J´er´emie [6].

4.3. APPROXIMATIONS FORTES

Le fait suivant est dˆu `a Castelle et Laurent-Bonvalot [2]. Posons log₊v= log(v∨e), pourv∈R, et||f||= sup_z|f(z)|.

Fait 1. Sur un espace (Ω,A,P) convenable, il est possible de construire des vecteurs al´eatoires {(V_k,N, W_k,N) : 0≤k≤N, N ≥1} uniform´ement dis- tribu´es sur [0,1]² et des ponts browniens bivari´es {B_N(v, w) : 0≤v, w≤1}

tels que, pour des constantes a, b, c >0, etx≥0, N ≥1,

(4.12) P

n^1/2||α_N −B_N|| ≥log₊N alog₊N +x

≤b e^−cx. Comme une cons´equence de (4.12), nous avons, lorsque N → ∞, (4.13) n^1/2||α_N −BN||=O_P (logN)²

.

Rappelons (4.4), (4.5) et (4.6). Consid´erons, pour 0≤u, v, w≤1 B_N(v) =B_N(v,1) =−B^∗_N(1−v,1) =−B^∗_[1];N(1−v), (4.14)

B^∗_N(1−v,1−w) =B_N(v, w)−B_N(v,1)−B_N(1, w), (4.15)

B^∗_[0];N(v, w) =B^∗_N(v, w)−vB^∗_N(1, w)−wB^∗_N(v,1), (4.16)

B_[1];N^∗ (v) =B^∗_N(v,1) et B_[2];N^∗ (w) =B^∗_N(1, w), (4.17)

Le fait suivant d´ecoule des principes d’invariance forts de Koml´os, Major et Tusn´ady [7, 8] et du lemme A1 de Berkes et Philipp [1].

Fait 2.Pour un choix convenable de (Ω,A,P), il est possible de d´efinir simultan´ement un tableau{γ_i,n: 1≤i≤n} de v.a., i.i.d. pour chaque n≥1, de loi γi,n

= Γ(m,d 1), et une suite {W_n(t) :t≥0, n≥1} de processus de Wiener, tels que, pour chaque n≥1 et x≥0,

(4.18) P max

1≤j≤n

j

X

i=1

γi,n−jm−√

m Wn(j)

≥x+A logn

!

≤B e^−cx,

o`u A >0, B >0 et C >0 sont des constantes.

4.4. Preuve du th´eor`eme 3.1

Nous suivons la proposition 5.1 de Deheuvels et Derzko [5], la proposi- tion 4.2 suivante g´en´eralisant au cas m≥1 leur proposition 4.4. Nous notons B_N comme dans le fait 1, o`u B_N, B^∗_N, B^∗_[0];N, B_[1];N^∗ et B_[2];N^∗ sont d´efinis comme dans (4.14)−(4.17). Compte tenu de (4.4), (4.5) et (4.6), nous posons

φ_N :=

r2(2m+ 1) m

Z Z

[0,1]²

k_m(1−v) q_2m(1−w) B^∗_[0];N(v, w) dv dw (4.19)

ψ_N = 1

√2m Z 1

0

q_2m(1−w) B_[2];N^∗ (w) dw.

(4.20)

Comme suite de (4.13), nous avons, lorsque N → ∞,

||α_N;1−B_N|| ≤ ||α_N −B_N||=O_P

N^−1/2(logN)² , (4.21)

qui donne (3.29). La proposition suivante compl`ete la preuve du th´eor`eme 3.1.

Proposition 4.2. Nous avons, lorsqueN → ∞,

(N + 1)^1/2∆_N −φ_N

r 2m

2m+ 1+ 4m Z 1

0

B_N(H_m(x)) dx (4.22)

=O_P

N^−1/2(logN)³

,

(N + 1)^1/2 Θ_N −ψ_N√ 2m

=O_P

N^−1/2(logN)³ , (4.23)

o`u, pour chaque N ≥ 1, le pont brownien {B_N(v) : 0≤v≤1} et les v.a.

φ_N =^d N(0,1) et ψ_N =^d N(0,1) sont ind´ependants.

D´emonstration. Voir Deheuvels et Derzko [5] et J´er´emie [6].

5. RAPPORTS D’ESPACEMENTS 5.1. Faits de base

Nous suivons la proposition 5.1 de Deheuvels et Derzko [5]. Le fait 3 et le lemme 5.2 suivants g´en´eralisent `a m≥1 le fait 5 et le lemme 5.1 de Deheuvels et Derzko [5]. Dans (1.2), sans perte de g´en´eralit´e, nous nous ramenons au cas o`u, pour tout 0 ≤ k ≤ N, i_k,n1 = i_0,n1 +km, et j_k,n2 = j_0,n2 +km, o`u i0,n1 =j0,n2 = 0. On pose ainsi, pourk= 0, . . . , N,

S_k,N;X^(m) =D_i^(m)

k,n1,n1;X =X_(k+1)m,n1 −Xkm,n1, S_k,N;Y^(m) =D_j^(m)

k,n2,n2;Y =Y_(k+1)m,n2−Y_km,n2.

Le fait suivant est bien connu (voir Pyke [9]). Rappelons les d´efinitions (3.27) et (3.28) de ∆_N et Θ_N. Pour tout entier m fix´e tel que 1≤m < n₁∧n₂, soient N₁ =b(n₁+ 1)/mc −1 et N₂=b(n₂+ 1)/mc −1 comme dans (1.1), et soient P =P(N, N1) et Q=Q(N, N2) comme dans (1.3).

Fait 3.Pour chaque 1≤N < N₁∧N₂, il existe deux suites ind´ependantes {ζ<sub>`,N</sub> :`≥1} et {ξ<sub>`,n</sub> :`≥1} de v.a. exponentielles de moyenne 1, telles que les relations suivantes soient v´erifi´ees. Posons

T_N;X =

N

X

k=0 (k+1)m

X

`=km+1

ζ`,N =

N

X

k=0

Zk,N = N+ 1

2 {Θ_N + 2m+ ∆N}, (5.1)

R_N;X =

N+P

X

k=N+1 (k+1)m

X

`=km+1

ζ_`,N =

N+P

X

k=N+1

Z_k,N,

T_N;Y =

N

X

k=0 (k+1)m

X

`=km+1

ξ`,N =

N

X

k=0

Z_k,N⁰ = N + 1

2 {Θ_N + 2m−∆N}, (5.2)

R_N;Y =

N+Q

X

k=N+1 (k+1)m

X

`=km+1

ξ`,N =

N+Q

X

k=N+1

Z_k,N⁰ ,

o`u, pour tout k ≥0, Z_k,N =

(k+1)m

X

`=km+1

ζ_`,N et Z_k,N⁰ =

(k+1)m

X

`=km+1

ξ_`,N sont comme dans (3.2). De plus, nous avons, pour tout k= 0, . . . , N,

S_k,N;X^(m) =^d Z_k,N

T_N;X +R_N;X, et S_k,N;Y^(m) =^d Z_k,N⁰ T_N;X +R_N;X. (5.3)

Compte tenu de (1.5) et en faisant usage du fait 3, nous observons que les ´egalit´es d’´ev´enements suivantes sont v´erifi´ees. Posons, pour tout t∈[0,1],

τ_N(t) =

1 + 1

t −1

{T_N;Y +R_N;Y}/(N+Q+ 1) {T_N;X +R_N;X}/(N +P+ 1)

−1

.

En se rappelant des d´efinitions (3.16)–(3.17), deRk,N, Vk,N, nous voyons que, pour tout 0≤k≤N, ett∈[0,1],

{R_k;n1,n2 ≤t}=





 S_k,N;Y^(m) S_k,N;X^(m)

≥ 1

t −1

N+P+ 1 N+Q+ 1





 (5.4)

=

(Z_k,N⁰ Zk,N

≥ 1

t −1

{T_N;Y +R_N;Y}/(N +Q+ 1) {T_N;X +R_N;X}/(N+P+ 1)

)

=

(Z_k,N⁰ Zk,N

≥ 1 τN(t) −1

)

=

( Z_k,N

Zk,N +Z_k,N⁰ ≤τN(t) )

={R_k,N ≤τN(t)}

={H_m(R_k,N)≤H_m(τ_N(t))}={V_k,N ≤H_m(τ_N(t))}.

Rappelons (1.6)–(1.8). Compte tenu de (3.22)–(3.23) et (3.25), nous d´eduisons de (5.4) que, pour tout t∈[0,1],

γ_N;n1,n2(t) = (N+ 1)^1/2(U_N(H_m(τ_N(t)),1)−H_m(t))

= αN;1(Hm(τN(t))) + (N + 1)^1/2(Hm(τN(t))−Hm(t)).

Lemme 5.1. Nous avons, lorsque N → ∞,

γ_N;n1,n2−α_N;1(H_m(τ_N))− (2m−1)!

((m−1)!)² (5.5)

×(I(1−I))^m−1(N + 1)^1/2(τN −I) =O_P

N^−1/2

. Posons, pour tout N ≥1,

Q_N = {T_N;Y +R_N;Y}/(N+Q+ 1) {T_N;X+R_N;X}/(N +P+ 1) −1.

Observons que

(5.6) τ_N(t)−t=−t(1−t) Q_N{1 + (1−t)Q_N}⁻¹. Posons, de plus

D_N = Q_N + 1 2m

N+ 1

N +P + 1+ N + 1 N+Q+ 1

∆_N (5.7)

+ 1 2m

N + 1

N+P + 1− N+ 1 N +Q+ 1

ΘN.

Lemme 5.2. Supposons 0≤c≤d≤ ∞. Alors, lorsque N → ∞, (5.8) N^1/2(∆N,ΘN,D_N)−→^d

m^1/2X, m^1/2Y, σ1(c, d) Z , o`u X =^d N(0,1), Y =^d N(0,1), Z =^d N(0,1) sont ind´ependantes et (5.9) σ₁²(c, d) =







1 m

n c

(1+c)² +_(1+d)^d 2

o

si 0≤c≤d <∞

1 m

c

(1+c)² si 0≤c < d=∞

0 si c=d=∞

.

De plus, nous avons, lorsque N → ∞,

(5.10) N^1/2Q_N −→^d N 0, σ₂²(c, d) , o`u

(5.11) σ²₂(c, d) =







1 m

n 1

1+c+_1+d¹ o

si 0≤c≤d <∞

1 m

1

1+c si 0≤c < d=∞

0 si c=d=∞

.

D´emonstration. Nous nous limiterons `a 0< c, d <∞ dans (1.4). Posons T_N;X =m (N+ 1) +η_N⁰ √

N+ 1, R_N;X =m P +η_N⁰⁰

√ P (5.12)

T_N;Y =m (N + 1) +v⁰_N√

N+ 1, R_N;Y =m Q+v⁰⁰_Np Q.

(5.13)

Compte tenu de (5.1)−(5.2) et (5.12)−(5.13), nous notons

(5.14) (N + 1)^1/2 ∆_N =η⁰_N −v⁰_N et (N+ 1)^1/2 Θ_N =η_N⁰ +v_N⁰ .

Par le th´eor`eme central limite, on a, lorsque N → ∞, (5.15) η_N⁰ , η_N⁰⁰, v_N⁰ , v⁰⁰_N d

−→ η⁰, η⁰⁰, v⁰, v⁰⁰ ,

o`u η⁰, η⁰⁰, v⁰, v⁰⁰ sont des v.a. N(0, m) ind´ependantes. Donc, lorsqueN → ∞, Q_N =

n

m+v_N⁰ √

N + 1 +v_N⁰⁰√ Q N +Q+ 1

on

m+ η⁰_N√

N + 1 +η⁰⁰_N√ P N +P + 1

o−1

−1 (5.16)

= 1 m

v_n⁰√

N + 1 +v_n⁰⁰√ Q N +Q+ 1 − 1

m η_N⁰ √

N+ 1 +η⁰⁰_N√ P N+P+ 1 +O_P

1 N +P+ 1

+O_P

1 N+Q+ 1

=O_P

1

√N +P+ 1

+O_P

1

√N+Q+ 1

=O_P 1

√N + 1

−→P 0.

Ici, nous avons utilis´e les in´egalit´es,

√ 1

N +P + 1≤

√N + 1 +√ P N +P + 1 ≤

√3

√N+P+ 1,

√ 1

N +Q+ 1 ≤

√N + 1 +√ Q N +Q+ 1 ≤

√3

√N +Q+ 1. Nous d´eduisons de ces relations que, lorsqueN → ∞,

(5.17) √

N+ 1Q_N −→^d N(0, σ₂²(c, d)), o`u nous faisons usage de (1.4) pour montrer que

σ₂²(c, d) = 1 m

1

1 +c+ 1 1 +d

.

Nous obtenons (5.10)–(5.11). Par (5.7) et (5.14)–(5.16), nous concluons que,

(N+ 1)^1/2D_N = (N+ 1)^1/2Q_N (5.18)

+ 1 2m

N+ 1

N +P + 1+ N + 1 N+Q+ 1

η_N⁰ −v_N⁰

+ 1 2m

N+ 1

N +P + 1− N + 1 N+Q+ 1

η_N⁰ +v_N⁰

= 1 m

v⁰⁰_Np

(N + 1)Q N +Q+ 1 − 1

m η_N⁰⁰p

(N+ 1)P N+P + 1 +O_P

r N + 1 N+P+ 1

! +O_P

s N + 1 N+Q+ 1

!

−→d N 0, σ²₁(c, d) ,

o`u compte tenu de (5.15), σ₁²(c, d) = lim

N→∞

m. 1

m²

(N + 1)Q

(N+ 1 +Q)² + (N+ 1)P (N + 1 +P)²

(5.19)

= 1

m

d

(1 +d)² + c (1 +c)²

, ce qui donne (5.9).

En faisant usage du fait 2, nous pouvons d´efinir, pour chaqueN ≥1, une v.a. θ_N =^d N(0,1), ind´ependante de {ζ<sub>`,N</sub> :`≥1} et {ξ<sub>`,N</sub> :`≥1} (et donc, des ∆N,ΘN, φN, ψN, de la proposition 4.2), telle que lorsque N → ∞,

1 m

v_N⁰⁰p

(N + 1)Q N+Q+ 1 − 1

m η_N⁰⁰p

(N + 1)P N+P+ 1 −

1 m

(N+ 1)P (N +P + 1)² (5.20)

+ (N + 1)Q (N+Q+ 1)²

1/2

θN

=O_P √

N+ 1 logP N +P+ 1

+O_P

√

N+ 1 logQ N +Q+ 1

=O_P

logN

√ N

.

D´emonstration du Lemme 5.1.Nous nous limiterons `am≥3, les casm= 1,2 ´etant analogues. Par un d´eveloppement de Taylor de Hm(τN(t))−Hm(t) dans (5.5), on obtient que, uniform´ement ent∈[0,1], lorsque N → ∞,

Hm(τN(t))−Hm(t) (5.21)

= (τN(t)−t)hm(t) +(τN(t)−t)²

2 h⁰_m(t) +O h

(τN(t)−t)² i

= (2m−1)!

((m−1)!)² (t(1−t))^m−1(τ_N(t)−t) + (2m−1)!

2(m−2)!(m−1)! (1−2t) (t(1−t))^m−2(τ_N(t)−t)² +Oh

(τ_N(t)−t)²i .

Or, il d´ecoule de (5.6) et (5.21) que, lorsque N → ∞, (5.22) kτ_N−Ik ≤ 1

4|Q_N| {1− |Q_N|}⁻¹ =O_P 1

√N+ 1

.

Par (5.21), (5.22), comme la fonction t 7→ (1−2t) (t(1−t))^m−2 est born´ee sur [0,1], on a, lorsqueN → ∞,

Hm(τ_N)−Hm− (2m−1)!

((m−1)!)² (I(1−I))^m−1(τ_N −I) =O_P

1 N+ 1

. Par (5.5), on en d´eduit (5.5), ce qui ach`eve la d´emonstration.

Lemme 5.3. Nous avons, lorsque N → ∞, (5.23)

(N + 1)^1/2(τ_N−I) +I(1−I) (N + 1)^1/2Q_N

=O_P

N^−1/2 . D´emonstration. Par (5.6), en faisant un d´eveloppement de Taylor de τN(t)−t, on a, uniform´ement en t∈[0,1], et lorsque N → ∞,

(N + 1)^1/2(τN(t)−t)

=−t(1−t)(N+ 1)^1/2Q_N(1−(1−t)Q_N)

=−t(1−t)(N+ 1)^1/2Q_N +t(1−t)² (N + 1)^1/2Q²_N.

Or, d’apr`es (5.10), on a, lorsque N → ∞, (N+ 1)^1/2Q_N =O_P(1), de plus

t7→t(1−t)² est born´ee sur [0,1], donc, on a, lorsque N → ∞, (N+ 1)^1/2(τ_N(t)−t) =−t(1−t)(N + 1)^1/2Q_N+O_P

(N + 1)^1/2Q²_N . Et donc, on en d´eduit que, lorsque N → ∞,

(N+ 1)^1/2(τN −I) +I(1−I)(N + 1)^1/2Q_N

=O_P

(N+ 1)^1/2Q²_N

=O_P

N^−1/2 , ce qui ach`eve la d´emonstration.

Lemme 5.4. Nous avons, lorsque N → ∞, (5.24) kα_N;1(Hm(τN))−αN;1(Hm)k=O_P

N^−1/4(log(N))^1/2

. D´emonstration. Voir Deheuvels et Derzko [5] et J´er´emie [6].

Proposition 5.1. Pour un choix convenable de (Ω,A,P), il existe une suite B_N, N ≥1, de ponts browniens, et des suites {φ_N, ψ_N, θ_N}, N ≥1, de variables al´eatoires normales N(0,1), telles que, pour chaque N ≥1,BN,φN, ψ_N et θ_N soient ind´ependants, et v´erifient, lorsqueN → ∞,

γ_N;n1,n2 −B_N(H_m) + (2m−1)!

((m−1)!)² (I(1−I))^m× (5.25)

1 m

(N + 1)P

(N+ 1 +P)² + (N + 1)Q (N+ 1 +Q)²

1/2

θN

− 1 2m

N + 1

N+ 1 +P + N+ 1 N + 1 +Q

φN

r 2m

2m+ 1−4m Z 1

0

BN(Hm(x))dx

!

− 1 2m

N+ 1

N + 1 +P − N + 1 N+ 1 +Q

ψN

√ 2m

=O_P

N^−1/4 (logN)^1/2

.

D´emonstration. Nous d´eduisons (5.25) de (5.5) du lemme 5.1, de (5.24) du lemme 5.4, de (5.23) dans le lemme 5.3, de (5.18) dans la preuve du lemme 5.2, et de (5.20), en combinaison avec (3.29), (3.30) et (3.31) dans le th´eor`eme 3.1.

5.2. Preuve du th´eor`eme 1.2

Rappelons (5.25), et observons que nous avons les identit´es en loi sui- vantes. En supposant que le pont brownien {B(t) : 0≤t≤1} et les v.a.

normalesN(0,1) φ, ψ, et θ, soient ind´ependants, nous avons, Y_N(t) := B_N(H_m(t))− (2m−1)!

((m−1)!)² (t(1−t))^m× 1

m

(N + 1)P

(N+ 1 +P)² + (N+ 1)Q (N + 1 +Q)²

1/2

θN

− 1 2m

N + 1

N + 1 +P + N+ 1 N + 1 +Q

× φ_N

r 2m

2m+ 1−4m Z 1

0

B_N(H_m(x)) dx

!

− 1 2m

N + 1

N+ 1 +P − N+ 1 N + 1 +Q

ψ_N √

2m

=d B(H_m(t))−(2m+ 1)!

(m!)² (t(1−t))^m

× m

2m+ 1

N + 1

N + 1 +P + N+ 1 N + 1 +Q

Z 1 0

B(Hm(x)) dx +(2m)!

4(m!)² (t(1−t))^m

N + 1

N+ 1 +P + N+ 1 N + 1 +Q

×φ

r 2m 2m+ 1+

N + 1

N + 1 +P − N + 1 N + 1 +Q

ψ √

2m

−

(N+ 1)P

(N + 1 +P)² + (N + 1)Q (N+ 1 +Q)²

1/2

θ 2√ m

= (B◦H_m)^





m 2m+ 1

N+ 1

N+ 1 +P + N + 1 N + 1 +Q

^





(t) + Ψ(t)Y,

o`u (B ◦Hm)C(·) est comme dans (2.17), Ψ(t) = (2m)!

4(m!)² (t(1−t))^m et σ_X² =σ_B◦H² _m = 1

4(2m+ 1) sont comme dans (2.13) et (2.14), et