Fr´ed´eric Bertrand Magist`ere 2`eme ann´ee - 2007/2008
T. D. n
o4
Exercices sur des r´ esultats divers
Exercice 1 Propri´et´es sur la moyenne et la variance d’un ´echantillon Soient X1, . . . , Xn des variables al´eatoires i.i.d d’esp´erance µet d’´ecart-type σ. No- tons
X = 1 n
n
X
i=1
Xi et S∗2 = 1 n−1
n
X
i=1
Xi−X2
.
1. Moyenne empirique.
a. Calculer l’esp´erance de X.
b. Calculer la variance de X.
2. Variance empirique.
a. Calculer l’esp´erance de S∗2. b. Calculer la variance de S∗2.
3. Dans cette question, nous supposons que les variables al´eatoires suivent une loi normale. R´epondre aux questions 1.a., 1.b, 2.a, 2.b dans ce cas pr´ecis.
Qu’observez-vous ?
Exercice 2 Un r´esultat du cours D´emontrer la proposition suivante.
Proposition : Soient une variable al´eatoire U suivant une loi normale centr´ee- r´eduite etXune variable suivant ind´ependamment deU une loiχ2n. Alors la variable al´eatoire
Tn = U pX/n· suit la loi de Student `an degr´es de libert´e.
De plus, si (X1, . . . , Xn) est une suite de n variables al´eatoires ind´ependantes et identiquement distribu´ees d’une loi normale de moyenne µ et de variance σ2, alors la variable al´eatoire
X−µ S∗/√
n
suit une loi de Student `a n−1 degr´es de libert´e, o`u
X = 1 n
n
X
i=1
Xi et S∗2 = 1 n−1
n
X
i=1
Xi−X2
.
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