(5) CommeX etY sont ind´ep

Correction

(1) 997×996×995×994×993

1000×999×998×997×996 =_C^C5⁹⁹⁷⁵ 1000

=_A^A5⁵⁹⁹⁷ 1000

. (2) ^C_C²³5^C3997

1000

= 3!997!995!5!

2!1!994!3!1000! = 60×997×996×995

1000×999×998×997×996 =^A23_A^A5^3997C52 1000

(3) On note ⁰⁰F⁰⁰ l”ev´enement que le nouveau-n´e est un fille, ⁰⁰M⁰⁰– il est malade. P(M | F) = ^P(F|M_P(F)^)P(M) =

(1/4)(1/4000) 0,47 .

(4)EZ =EX+EY = 0 + 0 = 0, commeXetY sont ind´ep. V arZ=V aX+V arY = 1 + 1 = 2,φ_Z(t) =e^−2t2/2= e^−t2.

(5) CommeX etY sont ind´ep. de mˆeme loie^−t2 =φZ(t) =φX(t)φY(t) = (φX(t))², doncφX(t) =±e^−t2/2. On a toujoursφX(0) = 1 = +e^−02/2. Supposons qu’il exsite un t0 tel que φX(t0) =−e^−t20/2. Mais φX(t) ´etant continue, il se trouve untentre 0 ett₀ tel queφ_X(t) = 0. Ceci est impossible car pour toutt∈R±e^−t2/26= 0. D’o`u φ<sub>X</sub>(t) = +e<sup>−t2/2</sup> pour touttr´eel, et doncX est une variable Gaussienne et Y aussi (de param`etres 0 et 1).

(6) Pour tout s > 0 Yn → 0 en probabilit´e. En effet P(|Yn| > ) = P(Xn > n^s) = R∞

n^s3x⁻⁴1_{x≥1}dx = (−x⁻³)

∞

n^s= (n^s)⁻³→0 quandn→ ∞.

(7) P

n≥1P(|Yn|> ) =P

n≥1(n^s)⁻³. Cette s´erie est convergente ssi s >1/3. Alors, sis > 1/3, par le lemme de Borel Cantelli P(S

N

T

n≥N{|Yn| < }) = 1 et donc Yn → 0 p.s. Si s ≤ 1/3, comme les v.a. Y1, Y2, . . . , sont ind´ependantes, les ´ev´enements {|Yn|> }, n = 1,2, . . ., le sont aussi, par le r´eciproque du lemme de Borel Cantelli P(T

N

S

n≥N{|Yn|> }) = 1. DoncYn6→0 p.s.

(8) On remarque EX₁ = R

xf_X1(x)dx < ∞, EX₁² = R

x²f_X1(x)dx < ∞. On a EY_n = (EX₁)n^−s, V arY_n = (V arX1)n^−2s. Comme cette s´erie converge dans L² ssi P

nEYn et P

nV arYn convergent, elle converge dans L² ssi s >1. On peut en d´eduire la convergence dansL¹, en probabilit´e et p.s. car c’est la s´erie de v.a. ind´ependantes.

(9) Par le lemme de Borel-Cantelli c’est le domaine o`uP

nP(Z_n= 2)<∞, cadα >1. Comme la s´erieP

nn⁻²X_n converge p.s., alorsP

nV_n converge p.s. dans ce domaine.

(10) Par le r´eciproque du lemme de Borel-Cantelli (les v.a. Z1, . . . ´etant ind´ependantes) c’est le domaine o`u P

nP(Z_n= 2) =∞, cadα∈]0,1]. Comme la s´eriePV_n de termes non-n´egatives contient p.s. une infinit´e de termes

´egales `a 1, cette s´erie diverge p.s.

(11)P(a < In < Sn < b) = (min(b,1)−max(a,0))ⁿ pour tout a < b, a, b∈R. En d´erivant par rapport `a b et ensuite par rapport `a (−a) on obtient la densit´e ´enonc´ee.

(12) On prend la fonction testg:R²→Rmesurable born´ee, Eg(Sn−In, In) =

Z

g(y−x, x)n(n−1)(y−x)ⁿ⁻²1{x∈[0,1],y∈[0,1],y−x∈[0,1]}. Soity−x=z,x=t. Le Jacobien vaut 1. Alors

Eg(Sn−In, In) = Z

g(z, t)n(n−1)zⁿ⁻²1{t∈[0,1],z+t∈[0,1],z∈[0,1]}dzdt.

La densit´ef_(Sn−In,In)(z, t) =n(n−1)zⁿ⁻²1{t∈[0,1],z+t∈[0,1],z∈[0,1]}. (13) Pour tout z ∈ [0,1] R

Rn(n−1)zⁿ⁻²1{t∈[0,1],z+t∈[0,1],z∈[0,1]}dt == R1−z

0 (n(n−1)zⁿ⁻²1_{z∈[0,1]})dt = n(n− 1)(1−z)zⁿ⁻². La densit´e estn(n−1)(1−z)zⁿ⁻²1_{z∈[0,1]}.

(14)P(Sn−In≤x) =Rx

0 n(n−1)(1−z)zⁿ⁻²dz=nxⁿ⁻¹−(n−1)xⁿ pourx∈[0,1]. Ceci vaut 0 pourx <0 et 1 pourx >1.

P(n(1−Sn +In) < x) = P(Sn −In > 1−x/n) = 0 si x < 0 et = 1 st x > n. Si x ∈ [0, n] ceci vaut 1−n(1−x/n)ⁿ⁻¹+ (n−1)(1−x/n)ⁿ= 1−(1−x/n)ⁿ⁻¹(n−(n−1)(1−x/n)) = 1−(1−x/n)ⁿ⁻¹(1 +x−x/n) = 1−(1−x/n)ⁿ−x(1−x/n)ⁿ⁻¹.

(15) F_n(1−Sn+In)(x) converge vers la fonction (1−(x+ 1)e^−x)1_{x≥0} Cette fontion est bien une fonction de r´epartition, car elle est croissante, continue sur R avec les limites 0 et 1 dans −∞ et +∞ respectivement. Donc 1−Sn+In converge en loi vers la loi de fonction de r´epartition (1−(x+ 1)e^−x)1_{x≥0}. Sa densit´exe^−x1x>0

(16) Commef(x) = exp(−x) est continue et born´ee cette limite vautR

Re^−xxe^−x1_x>0dx=|2x=s, dx=ds/2, x= s/2|==R∞

0 e^−s(s/2)(1/2)ds= 1/4.

3

Pourλ <1,n^λ(1−Sn+In) =n^λ−1(n(1−Sn+In)) o`un(1−Sn+In) converge en loi etn^λ−1converge vers 0, donc le produit (comme l’un des termes converge vers une constante) converge en loi vers 0. Pourλ >1,P(n^λ(1−Sn+In)< x) ne converge pas vers une fonction de repartition. Donc il n’y a pas de convergence en loi.

(17) Soient ((Yn, Zn))n≥1 une suite de v.a. ind´ependantes `a valeurs dans R² de mˆeme loi, EY1 = a, EZ1 = b, EY₁²<∞etEZ₁²<∞et la matrice de covariances 2×2 de (Y1, Z1) estD. Alors la suite (^Y1+···+Y_n ^n−na,^Z1+···+Z_n ^n−nb) converge en loi vers la loi du vecteur Gaussien dansR²dont le vecteur des esp´erances est 0 et la matrice de covariances estD.

(18) Ceci converge en loi vers √

Y²+Z² o`u (Y, Z) est un vecteur Gaussien de matrice de covariance D avec d₁₁ = σ_y, d₂₂ = σ_z, d₁₂ =d₂₁ = c_yz. En effet, par le Thm de la limite centrale vectoriel pour tout g : R² → R mesurable born´ee Eg(√

n~V_n)→Eg(Y, Z). Notamment, sif :R² →Rtelle quef(x, y) =p

x²+y², h:R→R une fonction mesurable born´ee, alors h◦f est mesurable born´ee. On a donc

Eh(√

nkVnk) =Eh◦f(√

n~Vn)→Eh◦f(X, Y) =Eh(p

X²+Y²).

La fonction cos(y²+z²) ´etant continue born´ee, cette limite vaut (2π)⁻¹(σxσy−c²_yz)^−1/2

Z Z

R²

cos(y²+z²) exp(−(y, z)D⁻¹(y, z)^T)dydz.

(19)G(^Y1+···Y_n ⁿ,^Z1+···Z_n ⁿ) =G(a, b) +^∂G(a,b)_∂y ^Y1+···+Y_n ^n−na+^∂G(a,b)_∂z ^Z1+···+Z_n ^n−nb+o(kVnk).

o(kVnk) =kVnk ×f(kVnk) o`uf(x) est une fonction telle que lim_x→0f(x) = 0 CommekVnk →0 p.s. par la loi de grands nombres, lim_n→∞f(kVnk) = 0 p.s.

Alors√

no(kVnk) =√

nkVnkf(kVnk) est le produit de deux fonctions, l’une convergente en loi, l’autre convergente p.s. (donc en loi) vers la constante 0, donc le produit converge en loi vers 0.

(20) On d´eduit de (19) que cette suite converge en loi vers la v.a. ^∂G(a,b)_∂y Y + ^∂G(a,b)_∂z Z o`u (Y, Z) est le vecteur Gaussien ci-dessus. C’est une v.a. Gaussienne d’esp´erance 0 et de varianceα²σ_x²+β²σ_y²+ 2αβcyz avec α= ^∂G(a,b)_∂y , β= ^∂G(a,b)_∂z .

(21) La limite p.s. (donc en proba et en loi) vautm1/m2par la loi de grands nombres.

(22) On a G(y, z) = y/z. Donc on a une v.a. Gaussienne d’esp´erace 0 et de variance (1/m₂)²(m₂−(m₁)²) + (−m1/m²₂)²(m₄−(m₂)²) + 2(1/m₂)(−m1/m²₂)(m₃−m₂m₁).

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