II Questions de cours les plus classiques

mp* 20-21 : révisions pour l’écrit - Dérivation, intégration

I Chapitres concernés

C1, C2, C3, C4, C5, C6, C7, C8, C9, C10, C11, C12, C13, C14

II Questions de cours les plus classiques

Dans C, il n’y a guère de questions de cours. On voit parfois posées les propriétés du wronskien pour les équations différentielles linéaires scalaires d’ordre 2, mais ça, ce sera après les vacances.

Ce qui caractérise C, c’est un ensemble de « gros » théorèmes qu’il faut savoir utiliser.

III Exercices

Exercice 1(Théorème de Rolle). SoitP un polynôme réel scindé (surR).

Démontrer que son polynôme dérivéP⁰ est aussi scindé.On peut se contenter de « dessiner » la solution.

Exercice 2 (Théorème de Rolle). Démontrer que le polynôme Dⁿ

(X²−1)ⁿ

est scindé sur R, que toutes ses racines sont simples et appartiennent à l’intervalle ouvert ]−1,1[. On peut se contenter de « dessiner » la solution.

Exercice 3 (Théorème de classe C^k par prolongement). On définit, si x >0,φ(x) = exp(−1/x).

1. Démontrer que φ est de classe C^∞ sur ]0,+∞( et que sa dérivée k- ième est de la forme x7→ P_k(1/x) exp(−1/x), où P_k est polynomiale.

On prolongeφ àR en définissant, si x≤0, φ(x) = 0. Démontrer que φ est de classe C^∞. Tracer l’allure du graphe de φ.

2. Tracer l’allure du graphe de la fonctionx7→φ(x+ 2)φ(−1−x), puis de son unique primitive qui a pour limite 0 en−∞.

Exercice 4 (TCVD après un changement de variable). Trouver un équivalent quand n→+∞ de

Z 1 0

tⁿ

√1 +tⁿdt.

Exercice 5 (TCVD avec fonction indicatrice). Pour tout entier naturel non nul n, on définit

I_n = Z n

0

1− x n

n

lnx dx .

Démontrer que la suite (I_n)converge vers Z +∞

0

e^−x lnx dx.

Exercice 6 (Intégrabilité avec des équivalents). On désigne parα etβ deux réels positifs. Examiner l’intégrabilité sur R⁺_∗ de la fonction

x7−→ (x+ 1)^α−x^α

x^β .

Exercice 7 (Intégrabilité par comparaison). Soit f une fonction réelle continue sur [0,+∞[ et a un réel tel que t 7→e^−taf(t) dt soit intégrable sur [0,+∞[. Démontrer que, si x > a, alors t 7→ e^−txf(t) dt est intégrable sur [0,+∞[.

Exercice 8 (L’intégrale semi-convergente la plus célèbre. . .). et la plus typique !

Montrer que l’intégrale

Z +∞

0

sint t dt converge.

Exercice 9 (Intégrale généralisée : plus difficile !). Soitf une fonction réelle continue sur [0,+∞[ et a un réel tel que l’intégrale

Z +∞

0

e^−taf(t) dt

converge. Démontrer que, si x > a, alors Z +∞

0

e^−txf(t) dt converge (ici, on ne suppose pas l’intégrabilité ; on pourra introduire la fonction

F : y7→

Z y 0

e^−taf(t) dt

pour faire une intégration par parties dans Z A

0

e^−txf(t) dt)

Exercice 10(Intégrale fonction de ses bornes). Soitf : x7→

Z 3x x

cost t dt.

Montrer que f se prolonge en une fonction de classe C^∞ sur R, calculer sa dérivée.

Savoir dériver une intégrale fonction d’une de ses bornes, ou de ses deux bornes, en introduisant une primitive ou en « rentrant » les bornes dans l’intégrale par un changement de variable affine qui ramène le segment d’intégration à [0,1].

Exercice 11 (Continuité et dérivation sous le signe R

). Exercice ne figurant pas dans les feuilles jaunes ; bon exercice bilan, qui se fait facilement si on utilise bien les théorèmes

Soit f : R² →Rde classe C¹; montrer que g : (x, y, z)7→

Z y x

f(z, t)dt

est de classe C¹ surR³.

En déduire une expression de la dérivée de la fonction x7→

Z sinx cosx

f(x², t)dt

Exercice 12 (Continuité et dérivation sous le signe R

). Soit f(x) =

Z +∞

0

arctan(xt) t(1 +t²) dt .

Domaine de définition ? La fonction f est-elle continue ? de classe C¹? Cal- culer la dérivée de f, puis f. Calculer

Z +∞

0

arctant t

2

dt

Exercice 13 (dérivation sous le signe R

). Calculer Z

R

e^−x2−iux dx en la considérant comme fonction de u.

Exercice 14 (dérivation sous le signe R

). Démontrer que la fonction Γ : x7→

Z +∞

0

t^x−1e^−tdt est de classe C^∞ sur son domaine de définition.

Exercice 15 (Dérivation sous le signe R

). Soit f : R → R de classe Cⁿ (n ≥1). On suppose f(a) = 0 (a réel). Partant de

f(x) = Z x

a

f⁰(t)dt

montrer qu’il existe g de classeCⁿ⁻¹ surR tel que, pour tout réelx, f(x) = (x−a)g(x)

Savoir dominer en utilisant un argument de compacité.

Exercice 16 (Un calcul de différentielle). Dans un espace euclidien E, montrer que l’application x 7→ x

kxk² est différentiable en tout point de E\ {0_E}et calculer sa différentielle (utiliser de préférence les dérivées partielles).

Exercice 17 (Un calcul de différentielle). Calculer la différentielle de l’application qui, à toute matrice inversible, associe son déterminant : on l’ex- primera à l’aide de la trace et en faisant intervenir la comatrice, et pour cela on commencera par calculer les dérivées partielles en écrivant par exemple les formules de développement par rapport à une ligne ou une colonne.

Exercice 18 (Résolution d’une EDP). Résoudre

∂²f

∂x² −3 ∂²f

∂x∂y + 2∂²f

∂y² = 0

On pourra utiliser un changement de variable linéaireu=ax+by,v =cx+dy.

Exercice 19 (Dérivées partielles de fonctions composées). Soitf une fonction de classe C² sur un disque ouvert de centre l’origine dans R². On définit la fonction g par g(ρ, θ) =f(ρcosθ, ρsinθ). Exprimer le laplacien de f en fonction des dérivées partielles premières et secondes deg.

Exercice 20(Problème d’extremum). Montrer que(x, y)7→(x+y)e^−x2−y2 admet un minimum et un maximum absolu et les calculer.

Exercice 21 (Principe du maximum).

On désigne par D le carré ouvert ]0, a[×]0, a[.

1. Démontrer que si une fonctionu, de classeC² surD et à valeurs dans R, admet un maximum relatif en un point, alors son laplacien en ce point est négatif ou nul.

2. Soit u une fonction continue sur D, de classe C² sur D, nulle sur le bord de D et telle que ∆u= 0 surD.

On suppose que uprend en au moins un point une valeur strictement positive. Démontrer qu’il existe >0 tel que la fonction

u : (x, y)7−→u(x, y) +(x²+y²)

ait un maximum relatif sur D.

En déduire que uest nulle sur D.

Exercice 22 (Un calcul de gradient). Soit A ∈ S\++

(R) (ce qui signifie que A est symétrique, et que Sp(A) ⊂ R⁺_∗ ou, au choix, X^TAX > 0 pour tout X 6= 0). Soit B ∈ M_n,1(R). On munit M_n,1(R) du produit scalaire canonique. Calculer le gradient de

J : X 7→X^TAX+B^TX

et étudier ses extremums.

A partir de ce point. . .après les vacances !

Exercice 23 (Résolution d’une équation linéaire scalaire d’ordre 1). Soit a un nombre réel ou complexe. Soit f une fonction continue sur un intervalle I de R, à valeurs dans R ou C. Ecrire (avec des intégrales) l’expression de l’unique solution de l’équation

y⁰+ay=f

qui prend au point x₀ deI la valeur y₀.

Exercice 24 (raccordement de solutions). Résoudre l’équation 2xy⁰+ y = 1

1−x sur ]− ∞,0[, ]0,1[ ou ]1,+∞[. Montrer qu’il existe une unique solution sur]− ∞,1[, montrer qu’elle est de classeC^∞et l’étudier (on pourra chercher une solution développable en série entière).

Exercice 25(résolution d’une équation différentielle, utilisation d’ex- pressions intégrales). Soit f continue bornée sur ]0,+∞[. On considère l’équation différentielle

xy⁰−y+f(x) = 0 .

1. Démontrer que l’équation admet une unique solution y₀ telle que y₀⁰ ait une limite nulle en +∞.

2. On suppose de plus que f a une limite en +∞. Démontrer que y₀ a une limite en +∞.

Exercice 26 (Utilisations de propriétés particulières de la matrice d’un système). On considère le système linéaire à coefficients constants X⁰ =AX, où A est une matrice carrée d’ordre n à coefficients réels.

1. On supposeAantisymétrique ; montrer que les solutions sont bornées.

2. On suppose A symétrique définie positive. Montrer que pour toute solutionX, t7→ kX(t)k est croissante.

Exercice 27 (Résolution effective d’un système). Résoudre le système dif- férentiel







x⁰ = x + 2y + (1 +a²)z

y⁰ = −x + z

z⁰ = x + y

(on discutera éventuellement suivant les valeurs du paramètre a).

Exercice 28(Utilisation du wronskien). On considère les deux équations différentielles

x⁰⁰+f(t)x= 0 (E) et x⁰⁰+g(t)x= 0 (E⁰)

où f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle I, vérifiant f > g sur I.

Soient φ etψ des solutions respectives de(E) et(E⁰)surI (ψ n’étant pas la solution nulle).

1. Démontrer que deux solutions linéairement indépendantes de (E) ne peuvent pas avoir de zéro commun.

2. Démontrer que les zéros deψ sont isolés, c’est-à-dire que tout zéro de ψ a un voisinage sur lequel il est l’unique zéro de ψ.

Exercice 29 (Utilisation d’une série de fonctions). Résoudre l’équation différentielle y⁰⁰+y = cos(nt). Soit P

a_n une série absolument convergente.

Montrer que toutes les solutions dey⁰⁰+y=

+∞

X

n=0

a_ncos(nt)sont de classeC². Les exprimer.

Exercice 30 (Variation de la constante). Soit g une fonction continue sur R, à valeurs réelles. En résolvant l’équation

y⁰⁰+y=g(x)

par la méthode de variation de la constante, déterminer une fonction k telle que les solutions soient de la formex7→

Z x 0

k(x−u)g(u)du+αcosx+βsinx.

Montrer alors que, sig est à valeurs réelles positives, alors pour toute solution y et tout réel x :

y(x) +y(x+π)≥0

IV Exercices CCP

Analyse 25

1. Démontrer que, pour tout entier n, la fonction t 7−→ 1 1 +t² +tⁿe^−t est intégrable sur [0,+∞[.

2. On pose u_n= Z +∞

0

dt

1 +t²+tⁿe^−t. Calculer lim

n→+∞u_n.

Analyse 26

Pour tout n>1, on pose In= Z +∞

0

1

(1 +t²)ⁿdt.

1. Justifier queIn est bien définie.

2. Étudier la monotonie de la suite (I_n)_n∈

N^∗ et déterminer sa limite.

3. La série X

n>1

(−1)ⁿI_n est-elle convergente ?

Analyse 27

∀n ∈N^∗, on posef_n(x) = e^−x

1 +n²x² et u_n= Z 1

0

f_n(x)dx.

1. Étudier la convergence simple de la suite de fonctions (f_n)_n∈

N^∗ sur [0,1].

2. Soita∈]0; 1[. La suite de fonctions(f_n)_n∈

N^∗ converge-t-elle uniformé- ment sur [a; 1]?

3. La suite de fonctions(f_n)_n∈

N^∗ converge-t-elle uniformément sur[0,1]? 4. Trouver la limite de la suite(u_n)_n∈

N^∗. Analyse 28

N.B : les deux questions sont indépendantes.

1. La fonctionx7−→ e^−x

√x²−4 est-elle intégrable sur ]2,+∞[? 2. Soita un réel strictement positif.

La fonctionx7−→ lnx

√1 +x^2a est-elle intégrable sur]0,+∞[?

Analyse 29

On pose : ∀x∈]0; +∞[ et∀t∈]0; +∞[, f(x, t) =e^−tt^x−1 .

1. Démontrer que, ∀x ∈ ]0,+∞[, la fonction t 7→ f(x, t) est intégrable sur]0; +∞[.

On pose alors, ∀x∈]0; +∞[,Γ(x) = Z +∞

0

e^−tt^x−1dt.

2. Démontrer que, ∀x∈]0; +∞[, Γ(x+ 1) =xΓ(x).

3. Démontrer que Γest de classe C¹ sur ]0; +∞[et exprimer Γ⁰(x) sous forme d’intégrale.

Analyse 30

1. Énoncer le théorème de dérivation sous le signe intégrale.

2. Démontrer que la fonction f : x 7−→

+∞

Z

0

e^−t2cos (xt)dt est de classe C¹ surR.

3. (a) Trouver une équation différentielle linéaire (E) d’ordre 1 dont f est solution.

(b) Résoudre (E). Analyse 52

1. Prouver que∀(x, y)∈R², x²+y²−xy> 1

2(x²+y²).

2. Soientα∈R et f : R² −→ R (x, y) 7−→







y⁴

x²+y²−xy si (x, y)6= (0,0) α si (x, y) = (0,0).

(a) Quel est le domaine de définition de f?

Déterminer α pour que f soit continue sur R². (b) Justifier l’existence et calculer ∂f

∂x et ∂f

∂y sur R²\

(0,0) . (c) Justifier l’existence et donner la valeur de ∂f

∂x(0,0) et ∂f

∂y(0,0).

(d) f est-elle de classe C¹ sur R²? Analyse 57

1. Soitf une fonction de R² dans R.

(a) Donner, en utilisant des quantificateurs, la définition de la conti- nuité de f en(0,0).

(b) Donner la définition de "f différentiable en(0,0)".

2. On considère l’application définie sur R² par f(x, y) =







xyx²−y²

x²+y² si(x, y)6= (0,0) 0 si(x, y) = (0,0)

(a) Montrer que f est continue sur R². (b) Montrer que f est de classeC¹ surR².

Analyse 58

1. SoitE etF deux R-espaces vectoriels normés de dimension finie.

Soit a∈E et soit f :E −→F une application.

Donner la définition de "f différentiable en a".

2. Soitn ∈N^∗. SoitE un R-espace vectoriel de dimension finie n.

Soit e= (e₁, e₂, . . . , e_n) une base deE.

On pose : ∀x∈E, kxk_∞ = max

16i6n|x_i|, oùx=

n

X

i=1

x_ie_i. On pose : ∀(x, y)∈E×E, k(x, y)k= max(kxk∞,kyk∞).

On admet quek.k∞ est une norme surE et quek.k est une norme sur E×E.

Soit B :E×E −→R une forme bilinéaire sur E.

(a) Prouver que∃C ∈R⁺/∀(x, y)∈E×E, |B(x, y)|6Ckxk_∞kyk_∞. (b) Montrer que B est différentiable sur E×E et déterminer sa diffé-

rentielle en tout (u₀, v₀)∈E×E.