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Montrer que la matrice P est inversible et déterminerP−1

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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ECE1 Année 2018-2019

TD : Exponentielle de matrice

Dans l’exercice, on étudie l’exponentielle d’une matrice pour des matrices carrées de dimensions 2et 3.

Partie I : Exponentielle d’une matrice carrée de dimension 3 Soient AetP les matrice définies par : A=

Ö 1 1 1

−1 1 −1

−2 0 −2 è

, P =

Ö 2 1 1

−1 2 −1 1 −1 1

è

. 1. Montrer que la matrice P est inversible et déterminerP−1.

2. On pose T =P A P−1. (a) Vérifier queT =

Ö 0 2 1 0 0 −1

0 0 0

è

(b) CalculerT2, T3,puis Tn pour out entier natureln>3.

3. En déduire que pour tout n>3, An= 03, où03 désigne la matrice nulle d’ordre3.

4. Pour tout réelt,on définit la matriceE(t)parE(t) =I3+tA+t2

2A2, oùI3désigne la matrice identité d’ordre3.

(a) Montrer que∀ t, t0∈R2, E(t)E t0=E t+t0.

(b) Pour tout t réel, calculer E(t)E(−t). En déduire que la matrice E(t) est inversible et déterminer son inverse en fonction deI3, A, A2, t.

(c) Pour tout tréel et tout entier naturel n, déterminer [E(t)]n en fonction de I3, A, A2, t etn.

Partie II : Exponentielle d’une matrice carrée de dimension 2 Soient B etD les matrices définies par :B =

Ç 0 −1

2 3

å

, D=

Ç 1 0 0 2

å

Pour tout entier naturel nnon nul, et pour tout réelt, on définit la matriceEn(t)par : En(t) =

n

X

k=0

tk

k!Bkque l’on noteEn(t) =

Ç an(t) cn(t) bn(t) dn(t)

å

1. Expliciter la matrice B−λI2, avec λun nombre réel.

Déterminer les réels λpour lesquels la matriceB−λI2 n’est pas inversible.

2. Résoudre les systèmes linéaires BX=X etBX= 2X où X= Ç x

y å

. 3. On pose Q=

Ç 1 1

−1 −2 å

.

(a) Déterminer deux réelsaetbtels queQ2 =aQ+bI2. (b) Montrer queQ est inversible et queQ−1BQ=D.

4. Pour tout entier naturel n,montrer que Bk=

Ç 2−2k 1−2k 2k+1−2 2k+1−1

å . 5. Montrer que : ∀n∈N, an(t) =

n

X

k=0

2tk−(2t)k k! . 6. Déterminer lim

n→+∞an(t)

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