Calculer le déterminant d’ordre n (déterminant de Vandermonde) où 2

(1)

Calculer le déterminant d’ordre n (déterminant de Vandermonde) où 2

n ≥ :

( )

2 2 1

1 1 1 1

2 2 1

2 2 2 2

2 2 1

3 3 3 3

1 2

2 2 1

1 1 1 1

2 2 1

1 1 , , , 1

1 1

n n

n

n n

n n n n

n n

n n n n

a a a a

V a a a

a a a a

− −

− − − −

− −

=

…

Analyse

La structure de ce déterminant, très classique, suggère de mener une récurrence, le calcul de V2 et V₃ pouvant mener, si on ne la connaît pas, à proposer la formule générale. Mais la structure très particulière de ce déterminant peut également nous conduire à observer d’emblée les cas d’annulation et à en tirer profit. La correction propose les deux approches.

Résolution

1

^ère

approche

Pour n=2, on a :

(

2 1

)

¹ 2 1

2

, 1 1

V a a a a a

= a = − Pour n=3, on a :

(2)

Diverses possibilités s’offrent à nous.

On peut, par exemple, développer suivant la première colonne :

( )

( ) ( ) ⁽ ⁾

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )( )( )

2

1 1

2

1 2 3 2 2

2

3 3

2 2 2 2 2 2

2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1

2 2 2

3 2 1 3 2 1 1 2 2 1

2

2 1 3 3 2 1 1 2

2

2 1 3 3 1 3 2 1 2

2 1 3 3 1 2 3 1

2 1 3 1 3 2

1 , , 1 1

a a

V a a a a a

a a

a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a

=

= − − + + −

= − − − + −

⎡ ⎤

= − ⎣ − + + ⎦

⎡ ⎤

= − ⎣ − − + ⎦

= − ⎡⎣ − − − ⎤⎦

= − − −

Ce calcul ne semble pas propice à une généralisation dans le cadre d’un raisonnement par récurrence. Mieux vaut, avant de développer, effectuer quelques transformation sur les colonnes afin de faire plus simplement apparaître les facteurs du résultat.

Nous commençons par retrancher à la troisième (et dernière) colonne a₁ fois la seconde :

( )

2 2 2

1 1 1 1 1

2 2

1 2 3 2 2 2 2 1 2

2 2

3 3 3 3 1 3

1

2 2 2 1

3 3 3 1

1 1

, , 1 1

1 1

1 0

1 1

a a a a a

V a a a a a a a a a

a a a a a a

a

a a a a

a a a a

−

= = −

−

= −

−

Nous retranchons ensuite à la deuxième colonne a₁ fois la première :

( ) ( )

( )

1 1 1

1 2 3 2 2 2 1 2 1 2 2 1

3 3 3 1 3 1 3 3 1

2 1 2 2 1

3 1 3 3 1

1 0 1 0

, , 1 1

1 1

1 0 0

1 1

a a a

V a a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a

a a a a a

−

= − = − −

− − −

= − −

− −

(3)

On factorise alors :

( ) ( )

( )

( )( )

1 2 3 2 1 2 2 1

3 1 3 3 1

2 1 3 1 2

3

1 0 0

, , 1 1

1 0 0

1 1 1 1

V a a a a a a a a

a a a a a

a a a a a

a

= − −

− −

= − −

On développe alors suivant la première ligne :

( ) ( )( )

( )( )

( )( ) ( )

1 2 3 2 1 3 1 2

3 2

2 1 3 1

3

2 1 3 1 2 3

1 0 0

, , 1 1

1 1 1 1

,

V a a a a a a a a

a a a a a a

a a a a a V a a

= − −

La fin du calcul en révèle tout l’intérêt : un mécanisme de récurrence est apparu (ayant travaillé avec a₁, c’est V a

(

2, a3

)

qui apparaît à la fin. Si nous avions travaillé avec a₃, par exemple, c’est naturellement, V a

(

1, a2

)

qui serait apparu …) !

Les calculs précédents conduisent à poser :

(

1 2 3

) ( )

1

, , , ..., _n _j _i

i j n

V a a a a a a

≤ < ≤

=

∏

−

Nous venons d’établir cette égalité pour n=2 et n=3. Supposons qu’elle soit vraie au rang n et montrons qu’elle l’est au rang n+1.

On considère donc maintenant :

( )

2 1

1 1 1 1

2 1

2 2 2 2

2 1

3 3 3 3

1 2 1

2 1

1 1 1 1

1 1 , , , , 1

1 1

n n

n n n n

n n

n n n n

a a a a

V a a a a

a a a a

−

− +

−

+ + +− +

=

…

… …

…

(4)

l’avant-dernière a₁ fois l’antépénultième (la colonne n−1) et ainsi de suite en finissant par retrancher à la seconde colonne a₁ fois la première. On obtient alors :

( )

2 2 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 1

2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2

2 1 2 1

3 1 3 1 3 3 1 3 3 1 3

1 2 1

2 1 2 1

1 1 1 1

2

1 1 1 1 1 1

1 1 , , , , 1

1 1

n n n n

n n

n n n n

n n n n n n n

n n n n

a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a

V a a a a

a a a a a a a a a a a

a a a a a a

− −

− − −

+

− − −

+ + + +

− − − −

=

− − − −

− −

…

… …

…

( ) ( ) ( )

1 2 1

1 1 1 1 1

2 1

2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1

2 1

3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1

2 1

1 1 1 1

2 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 1

n n n n

n n n

n n

n n n n n n n

n n

n n n n n n n

a a a a a

a a a a a a a a a a a

a a a a a a a a a a a

− − −

+ + +

− −

+ + + + + + +

− −

− − − −

=

− − − −

…

On développe immédiatement suivant la première ligne :

( )

( ) ( ) ( )

( )

2 1

2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1

2 1

3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1

1 2 1

2 1

1 1 1 1

2 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 2 2 1 2

1 0 0 0 0

1 1 , , , ,

1 1

n n

n n n n n n n

n n

n n n n n n n

n

V a a a a

a a a a a a

− −

+

− −

+ + + + + + +

−

− − − −

=

− − − −

− −

=

…

… …

…

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 1

2 1 2 2 1

2 1

3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1

2 1

1 1 1 1

2 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

n

n n

n n n n n n n

n n

n n n n n n n

a a a a a

−

− −

+ + + + + + +

− −

− − − −

…

(5)

La factorisation est alors immédiate :

( )

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( )

2 1

2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1

2 1

3 1 3 3 1 3 3 1 3 3 1

1 2 1

2 1

1 1 1 1

2 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2

2 1 3 1 1 1 1

, , , ,

1

n n

n n n n n n n

n n

n n n n n n n

n n

V a a a a

a a

a a a a a a a a

− −

+

− −

+ + + + + + +

+

− − − −

=

− − − −

= − − − −

…

( ) ⁽ ⁾

2 1

2 2

2 1

3 3 3

2 1

1 1 1

1

1 2 1

2

1

1 1 , , ,

n n

n n n

n n

n n n

n

j n n

j

a

a a a

a a V a a a

− −

+ + +

+

=

∏

− ×

…

On peut alors appliquer l’hypothèse de récurrence à V a

(

2, ,… a_n, a_n₊1

)

puisqu’il s’agit d’un déterminant de Vandermonde d’ordre n :

(

2 3 1

) ( )

2 1

, , ..., _n _j _i

i j n

V a a a ₊ a a

≤ < ≤ +

=

∏

− ^.

Finalement :

( ) ( ) ⁽ ⁾

( ) ( )

( )

1

1 2 1 1 2 1

2 1

1

2 2 1

1 1

, , , , , , ,

n

n n j n n

j n

j j i

j i j n

j i

i j n

V a a a a a a V a a a

a a a a

a a

+

+ +

= +

= ≤ < ≤ +

≤ < ≤ +

= − ×

= − × −

= −

∏

∏ ∏

∏

… …

L’égalité est ainsi établie au rang n+1. On a bien :

(

1 2

) ( )

1

, , , _n _j _i

i j n

V a a a a a

≤ < ≤

=

∏

−

…

2

^ème

approche

(6)

Posons alors :

( ) ( )

2 1

2 2 2

2

2 1

1 1 1

2 1

1 1 , , ,

1 1

n n

n

n n

n n n

n n

n n n

x x x

a a a

f x V x a a

a a a

− −

− − −

− −

= =

…

La fonction f est une fonction polynôme de degré n−1 s’annulant pour x=a₂, x=a₃, … et x=an. On dispose donc des n−1 racines et il vient immédiatement :

( ) (

2

)(

3

) (

... _n

)

f x =α x−a x−a x−a

Où α est un coefficient à déterminer. Si on développe V x a

(

, , ,2 … a_n

)

suivant la première ligne, on constate que le coefficient de xⁿ⁻¹ est :

( ) ( ) ( )

2

2 2

1 1

2 2 2

1 1 1

2 2

1

1 1 , ,

1 1

n

n n

n n n

n n

n n n

a a

V a a

a a a

−

− −

− − −

− −

− × = − ×

…

Il s’agit simplement du coefficient α cherché.

On a donc, finalement : f x

( ) ( )

= −1 ⁿ⁻¹×V a

(

2, …,a_n

) (

× −x a2

)(

x a− 3

) (

... x a− _n

) .

Mais :

( )

−1 ⁿ⁻¹× −

(

x a2

)(

x−a3

) (

... x−a_n

) (

= a2−x

)(

a3−x

) (

... a_n−x

)

. Finalement :

( ) ( )

(

2 ²

) (

2

)(

3

) ( )

, , ,

, , ...

n

n n

f x V x a a

V a a a x a x a x

=

= × − − −

…

En choisissant x=a₁, on retrouve la relation :

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

1 2 2 2 1 3 1 1

1 2

2

, , , , , ...

, ,

n n n

n

j n

j

V a a a V a a a a a a a a

a a V a a

=

= × − − −

=

∏

− ×

… …

…

(7)

Résultat final

( ) ( )

2 1

1 1 1

2 1

2 2 2

1 2

2 1 1

1 1 1

2 1

1 1 , , ,

1 1

n n

n j i

i j n

n n

n n n

n n

n n n

a a a

V a a a a a

a a a

− −

≤ < ≤

− −

− − −

− −

= =

∏

−

…