N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
W EILL
Sur une forme du déterminant de Vandermonde
Nouvelles annales de mathématiques 3
esérie, tome 7 (1888), p. 427-429
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SIK INE FORME DU DÉTERMINANT DE VANDERMONDE;
PAU M. WE1LL.
a, b, c, . . . /, étant des quantités distinctes, la fraction
T ,— -. ^ peut se mettre sous la forme (x — a)(x — b)...(x — l) l
\ ^ ; les quantités A, B? . . . , L seront données par
^••1 X — CL
les équations
en désignant par S^ la somme des produits p k p de toutes les quantités «, b, c, . . . /, sauf <7, et ainsi des autres.
Les équations (i) étant toujours possibles, leur dé- terminant n'est pas nul ; or ce déterminant, qui est
A =
s'annule quand deux quelconques des quantités a, h, c, . . . deviennent égales, et il est, par rapport aux lettres, de même degré que le déterminant de A ander- monde; donc il n'en diffère que par un facteur numé- rique, qui est, comme on le voit facilement, (-+- i), si le nombre des quantités est pair, et (—i) si ce nombre est impair. On a, par exemple,
1
a a1
a*
= i
b IA b*
b bc
i
a a2
i
c r2
c*
i
+ £
i
b b*
i
d d*
d*
• - w bcd
i
c r2
/ db
= —
i
cd -+- da cda
b -i- c bc
h a -+- ac
i
c -\- a ca
i
d-\- a
i
-hb
dab b
a -4
I
- b -\- c
abc
En résolvant le système (i) par rapport à A, on en conclut qu'un déterminant tel que
Sf SJ
s/,
( 4*9 )
est indépendant de a\ il suffît, pour le voir, d'égaler entre elles les deux valeurs de A obtenues l'une direc- tement, et l'autre, en résolvant le système (i).
