Déterminant

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Cours Déterminant PC

I. Déterminant d’une matrice carrée

Proposition 1 : Il existe une unique application : f ^: n

 

 vérifiant les propriétés suivantes :

 f est linéaire par rapport à chacune des colonnes.

 f est antisymétrique par rapport aux colonnes.

 f I

 

n ¹

Définition 1 : On appelle déterminant d’une matrice A

 

aij de n

 

, le scalaire det(A) = f(A). Il est noté :

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2

det

j n

j n

i i ij in

n n nj nn

a a a a

a a a a

A a a a a

a a a a



Proposition 2:

 On ne change pas le déterminant d’une matrice lorsqu’on rajoute à une colonne une combinaison linéaire des autres colonnes.

 det (A) est multiplié par 1 lorsqu’on échange deux colonnes.

 lorsque on multiplie une seule colonne par ≠0, le déterminant est multiplié par .

 Pour tout , det (A)= ⁿ det (A)

 det(A) est égal 0 lorsque deux de ses colonnes sont colinéaires

Définition 2: Soit E est un -espace vectoriel de dimension n et  une base de E.

 =



u u1, 2, ,u_n



Eⁿ, det



u u1, 2, ,u_n



det



M



u u1, 2, ,u_n

 

Où M



u u1, 2, ,u_n



désigne la matrice de la famille



u u1, 2, ,u_n



dans la base 

Proposition 3: Soit E est un -espace vectoriel de dimension n et  une base de E.

 =



u u1, 2, ,u_n



Eⁿ,



u u1, 2, ,u_n



est une base de E si et seulement si, det



u u1, 2, ,u_n



0

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Proposition 4 : Soit ^A

 

^{aij } n

^{ }

. Pour tout (i,j)  1,n² , on note D_ij le déterminant de la matrice n1

 

obtenue à partir de A en supprimant la ligne et la colonne du coefficient aij

Pour tout i 1,n,

   

1

det 1

n i j

ij ij j

A ^ a D







 (c’est le développement de det (A) par rapport à la i^ème ligne de A)

Dij est appelé le mineur d’indice (i,j) de la matrice A.

On appelle cofacteur du coefficient aij, le nombre Cij  

 

^{1i j} Dij

Exemple : réécrire les formules de det (A) pour n=1 , n= 2 et n=3 Proposition 5: Soit A

 

aij  n

 

. On ^det

 

^{A det}

 

^tA

Conséquence : mêmes propriétés sur les lignes que sur les colonnes (multilinéarité , développement par rapport à une ligne,…)

Proposition 6 (déterminant d’une matrice triangulaire).

Le déterminant d’une matrice triangulaire est égal au produit des coefficients de sa diagonale.

Proposition 7.

1. Pour tout (A,B) 



n

  

² , on a det (AB) = det A det B

2. Une matrice A  n

 

est inversible, si et seulement si, det A  0 et dans ce cas ^det

 

^{A1 }_det¹_A

3. det (A) = 0  la famille des colonnes de A est liée  A n’est pas inversible.

4. det (A)  0  la famille des colonnes de A est libre  A est inversible.

Remarque : attention : on n’a pas det(A+B) = det(A) +det(B)

Proposition 8 (déterminant d’une matrice triangulaire par bloc).

Si A p

 

et B n p_

 

alors ^det

   

^det

0 A C

A B

B 

Corollaire 9 : Si la diagonale d’une matrice triangulaire par blocs est constituée de matrices carrées, alors son déterminant est le produit des déterminants des matrices de la diagonale.

Si A A₁... _k sont des matrices carrées alors

1

0 2

0 0 _k

A A

A

 

 detA¹...detA_k

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II Déterminant d’un endomorphisme

Définition 3 .E est un -espace vectoriel de dimension n et f un endomorphisme de E. On appelle déterminant de l’endomorphisme f, le déterminant de sa matrice dans n’importe quelle base de E (il ne dépend pas de la base choisie)

Proposition 10. Soit E un -espace vectoriel de dimension n 1. Pour tout (f , g) 

 

^{E 2}, on a det ( f o g ) = det f det g

2. Un endomorphisme f de E est inversible si, et seulement si, det f  0 et dans ce cas ^det

 

^{f1 }_det¹_f

Proposition 11(le déterminant de Vandermonde).

 

 

2 1

1 1 1

2 1

2 2 2

1

1

2 1

1 1 ,...,

1

n n

n j i

i j n n

n n n

x x x

x x x

V x x x x

x x x









 



