On considère le déterminant : D

Semaine 5 : Déterminants PC

On considère la matrice : A =  ^{a b d c – a – c d b – d – a c b – a – b d c} 

Calculer A.

A . En déduire det  A .

On considère le déterminant : D

= ∣ ^{      1 2 2 6 0 – 2  3    – 2           0 n n – 1     n – 2} ∣

1. Démontrer que pour tout n  3, D

=nD

2n n – 1 D

2. On pose u

= D

n! . Déterminer l'expression de u

en fonction de n . En déduire celle de D

C est une matrice carrée à coefficients dans telle que : ℝ

∀ X ∈ M

ℝ , det C X =det  X 

1. Montrer que ∀  P , Q ∈ GL

ℝ

, det  PCQ I

=1 2. En déduire que C = 0 .

Pour la question 2, on utilisera le fait que toute matrice de rang r est équivalente à la matrice J

dont tous les coefficients sont nuls sauf les r premiers coefficients diagonaux qui sont égaux à 1.

Soit a , b , c ∈ ℝ

^{tel que} a

b

c

= 1 . On note A =  ^{a b c b c a c a b}  ^{∈ M}

^{ℝ .}

1. Calculer det  A . En posant s= ∣ ab c ∣ , prouver que ∣ det  A ∣ = 1

2 ^s 3 −s

 2. Montrer que ∣ det  A ∣ 1

Pour x ∈ ℝ , on note D

 x=1 et pour tout n ∈ ℕ

:

D

 x  ₌ ∣ ^{ cosx 1 0 0  1 2 1 0 cosx   0 1 2 cosx      1 0 0 1 2 cosx} ∣ montrer qu e ^D

 x =cosnx Soient n ∈ ℕ impair et A ∈ M

ℝ telle que A

= A – I

Démontrer que : det  A= – 1 .

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Semaine 5 : Déterminants PC

Montrer que la matrice A=  ^{1 2 3 3 1 2 2 3 1}  est inversible et préciser son inverse.

Calculer l'inverse de la matrice A=  ^{5 1 2 – 1 4 1 – – 3 3 2}  ^{∈ M}

^ℝ

Calculer le déterminant D= ∣ ^{2 0 0 3 – 0 3 0 1 – 2 1 5 1 4 0 0 3} ∣ de deux manières différentes.

Calculer le déterminant de A=[ ∣ _{i – j} ∣ _]

Calculer le déterminant ∣ ^{   a}

^{ 0     0  a   }

∣ ^{( les a}

sur la diagonale )

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Semaine 5 : Déterminants PC

Indications et réponses :

A A

= a

b

c

d

 I

et on en déduit que : det  A

=a

b

c

d



. det A=ou – a

b

c

d



Le terme en a

est obtenu en faisant le produit des coefficients diagonaux de A : il est affecté du signe – donc det A=– a

b

c

d



.

Pour tout n  3, la relation D

= nD

 2 n  n – 1 ^ D

s'obtient en développant le déterminant suivant la dernière ligne et ensuite le mineur d'ordre n – 1 par rapport à la dernière colonne.

En posant u

= D

n! , l'égalité de vient u

=u

2 u

1  .

L'ensemble des suites vérifiant la relation 1 est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de ℝ

^.

La technique classique de recherche d'une base permet préciser que les suites solutions de 1  s'écrivent : u

= – 1

 2

où ;  ∈ ℝ

Or u

=D

_et u

= 1

2 D

permet de trouver  et  donc : u

= 1

3  – 1

 2

3 2

∀ n3 Il s'en suit que : D

= n !

3  – 1

2

 .

1. det  PCQ  I

= det  P  det  C  P

Q

 det  Q  _{(*) or} det C P

Q

=det  P

Q

 En remplaçant dans * , il vient que det  PCQ I

=det P det  P

Q

det  Q =I

2. C de rang r équivalente à J

donc il existe deux matrices carrées inversibles P te Q d'ordre n telles que : PCQ = J

. On a donc det  J

I

=1 _⇔ 2

=1 ⇔ r=0 . C est donc de rang 0 : c'est la matrice nulle.

Faire des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes.

C

reçoit C

 C

 C

; on factorise abc .

L

reçoit L

– L

et L

, L

– L

(faire apparaître des "0" sur la première colonne) ...

On parvient à det  A = a  b  c  ab  ac  bc – a

– b

– c

 Soit en notant s= ∣ abc ∣ , ∣ det  A ∣ = ∣ _{a bc} ∣ × 1

2 ∣ 3 a

b

c

 –  abc 

∣ = 1

2 s 3 – s

 En utilisant l'inégalité de Cauchy-Schwarz appliquée aux vecteurs a , b , c  et 1,1,1 

s

= ∣ _a  b  c

∣ = u.v 

 ∥ u ∥

∥ v ∥

=3 a

 b

 c

=3 ^donc s ∈ [ 0 :  3 ] ^.

on étudie f : s 1

2 s 3 – s

 sur l'intervalle [ 0 :  ^{3 ]} et on obtient le résultat : ∣ det  A ∣ 1 .

D

 x  = ∣ ^{ cosx 1 0 0  1 2 1 0 cosx   0 1 2 cosx      1 0 0 1 2 cosx} ∣ . En développant par rapport à la dernière colonne, il vient : D

=2cosxD

– D

. Avec D

=cosx , D

=cos2 x et la relation de récurrence, on montre que par récurrence double que D

=cosnx .

En effet : 2 cosxcos  n – 1 x = cosnx cos n – 2 x et donc cosnx =2 cosxcos  n – 1 x – cos  n – 2 x

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Semaine 5 : Déterminants PC

Puisque A et I

commutent, A

I

= AI

 A

– A I

=0 donc A

=– I

det  A

=det A

=det  – I

= – 1

=– 1 et det  A=– 1 .

A

= 1

18  ^{−5 1 7 −5 7 1 −5 1 7} 

A

= 1

30  ^{– – 5 4 9 2 3 3 0 5 9} 

1. Développer par rapport à la première colonne :

D =2 ∣ ^{– 3 0 1 – 1 5 1 0 0 3} ∣ ⁻³ ∣ ^{– 0 3 1 5 2 4 1 0 0} ∣ ^{=2×3×16 – 3×4×16= – 96} ( développer suivant les 3èmes colonnes des deux déterminants d'ordre 3 )

2. Échanger C

et C

puis une permutation circulaire sur les lignes L

, L

et L

permet d'obtenir un déterminant triangulaire par blocs...

D=− ∣ ^{2 4 3 3 0 0 0 0 – 2 1 5 1 – 0 0 3 1} ∣ ^{=− ∣ 2 4 3 3 ∣ × ∣ 1 5 – 3 1 ∣ ==– 96}

det  A= – 1

2

n – 1

• Ajouter C

à la première colonne ;

• Factoriser n – 1 et noter A ' le déterminant obtenu ( det  A=n – 1 det  A '  ) ;

• det A' =det L

, L

– L

,... , L

– L

 _;

• En développant suivant la première colonne, puis en ajoutant la première ligne à chacune des autres, det  A '  est égal à un déterminant d'ordre n – 1 triangulaire supérieur.

D= ∣ ^{   a}

^{     0  0 a   }

∣ ^{( les a}

sur la diagonale ) Il faut faire des échanges de colonnes.

D= n 2 ∏

k=1 n

a

si n est pair et D= n−1 2 ∏

k=1 n

a

si n est impair

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