Université BORDEAUX 1 Algèbre L2/2013
Liste d’exercices no 1 (Algèbre linéaire. Déterminants)
Exercice 1
SoitA une matrice carrée. Prouver que detA= dettA.
Exercice 2
SoitA une matrice carréen×n. Prouver que
1 ∗ 0 A
= detA.
Exercice 3
Montrer, sans le développer que le déterminant
1 1 9 1 5 3 2 8 9
est divisible par 17 [observer que les nombres 119, 153 et 289 sont tous divisibles par 17].
Exercice 4 Montrer que
1 +a a a
b 1 +b b
c c 1 +c
= 1 +a+b+csans le développer.
Exercice 5
Montrer que, avec des coefficients arbitrairesa, b, c, , ..., p, le déterminant suivant est égal à 0 :
0 0 0 a b
0 0 0 c d
0 0 0 e f
g h i j k
l m n o p
.
Exercice 6
Calculer le déterminant suivant où la matrice est de taillen×n(n≥2) :
1 0 1
1 1 . ..
. .. ... 0
0 1 1
.
Exercice 7
Calculer les déterminants suivants où les matrices sont de taillen×n(n≥2) :
det (aibj) ;
a b · · · b b a . .. ...
... . .. ... b b · · · b a
;
an ... a2
a1
.
Exercice 8
Déterminer si les matrices suivantes sont inversibles. Le cas échéant trouvez les cofacteurs et l’inverse de la matrice.
2 3 6 9
;
2 3 6 11
;
1 0 1 0 2 3 1 4 7
;
1 0 1 0 2 3 4 1 0
.
Exercice 9
SoitA la matrice A= (aij)où
aij =
1 sii≤j 0 sinon.
Justifier queA est inversible et calculer son inverse. On peut chercher à résoudre un système.
Exercice 10
SoitS la matrice 5×5 à coefficients réels :S =
0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
.
1. Calculer detS. Déterminer S−1.
2. Montrer qu’il existe deux sous espaces vectorielsE1 etE2 deR5 de dimension respective 2et 3 tels que :R5 =E1⊕E2 etS(E1)⊂E1 S(E2)⊂E2.
Exercice 11
Lesquelles des familles de vecteurs suivantes sont libres dansR3 etR5 ? Dans chaque cas, trouver une base pour l’espace engendré par la famille.
1. ((2,1,0),(0,3,1),(0,0,1));
2. ((2,1,0),(0,0,1),(0,3,1));
3. ((2,1,0),(1,1,1),(0,3,1)).
4. ((2,1,0,0),(1,1,1,1),(0,3,1,1)(0,0,3,3)).
Exercice 12
SoitAune matrice telle que la transposée deAest égale à−A.Que peut-on dire sur le déterminant de A ?
Exercice 13
Montrer queG={(τ+ 2σ,2τ+ 3σ,−τ,−2τ−σ),(τ, σ)∈C2}etH ={(α, β, γ, δ)∈C4,3α−γ = 0, α+γ−δ = 0}sont deux sous espaces vectoriels deE =C4 et déterminer leur dimension. Trouver la dimension de G∩H etG+H et une base pour chacun d’eux.
