Résolution Analyse accbcabccbacbcca Calculer le déterminant :

PanaMaths Juin 2007

Calculer le déterminant :

a c c b c a b c c b a c b c c a

Analyse

On effectue classiquement des manipulations sur les lignes et les colonnes.

Résolution

En retranchant la quatrième colonne à la première, on obtient :

( )

1

0 0

0 0

1

a c c b a b c c b c c b

c a b c a b c a b c

c b a c b a c a b b a c

b c c a b a c c a c c a

−

= = −

− −

En retranchant alors la troisième colonne à la seconde :

( ) ( ) ( )

1 1 0 1 0

0 0 0 1

0 0 0 1

1 1 0 1 0

c c b c b c b

a b c a b b c b c

a b a b a b

b a c b a a c a c

c c a c a c a

− = − − = −

− −

− − −

On ajoute alors la première ligne à la quatrième puis la seconde à la troisième :

( )

( )

( )

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1

0 1 0 1 0 0 2

1 0 0 0 2 0 0 2

c b c b c b

b c b c b c

a b a b a b

a c a c a b c

c a c a b c a b

− = − = −

− − +

− + +

PanaMaths Juin 2007

Il ne reste plus alors qu’à développer suivant la première colonne :

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

2 2

2 2 2

2

1 0 0 1 1

0 2

0 0 2

0 2

0 0 2

2

2 2

c b

b c

b c

a b a b a b c

a b c

c a b c a b

a b a b c

a b a b c a b c

− = − +

+ +

+

⎡ ⎤

= − ⎣ + − ⎦

= − + + + −

Résultat final

( ) (

)(

)

a c c b c a b c

a b a b c a b c c b a c

b c c a

= − + + + −