PanaMaths Avril 2013 Résolution Analyse Calculer :

PanaMaths Avril 2013 Calculer :

1 2

lim

ⁿ

1 1 ... 1

n

n

n n n



    

    

    













Analyse

Le logarithme népérien de l’expression dont on cherche la limite nous donne immédiatement une somme de Riemann !

Résolution

Pour tout n entier naturel non nul, on a :

1

1 2 1 1 2

ln 1 1 ... 1 ln 1 1 ... 1

1 1 2

ln 1 ln 1 ... ln 1

1 ln 1

n

n

k

n n

n n n n n n n

n

n n n n

k

n _ n

                

            

 

 

      

           

 





  

On reconnaît ici une somme de Riemann pour la fonction ^{f x: ln 1}



^x



sur l’intervalle

 

0 ;1 . La fonction f étant continue sur cet intervalle (la fonction x 1x est continue sur l’intervalle

 

0 ;1 en tant que fonction affine. Elle prend ses valeurs dans l’intervalle

 

^{1; 2}

qui est inclus dans ^*_ sur lequel la fonction logarithme népérien est continue), on a :

 

1 1 0

lim 1 ln 1 ln 1

n

n k

k x dx

n n

 

   

 

 

 

^.

Pour déterminer une primitive de la fonction ^{x ln 1}



^x



, on peut s’inspirer du fait que la fonction logarithme népérien admet pour primitive sur ^*_ la fonction x xlnx x . On part de la fonction ^:x



^1x

 

^{ln 1x}



qui est dérivable sur l’intervalle

 

^{0 ;1 et}

admet pour dérivée : ^{' :x ln 1}



 ^x



¹. On en déduit immédiatement que la fonction



¹

 

^{ln 1}



x x  x x est une primitive de la fonction ^{x ln 1}



^x



sur l’intervalle

 

^{0 ;1 .}

PanaMaths Avril 2013

Plus « classiquement », on peut procéder à une intégration par parties en posant :

 

^{ln 1}

 

u x  x , qui donne ^'

 

¹

u x 1

 x

 , et ^{v x'}

 

^1 qui admet pour primitive la fonction v telle que ^{v x}

 

^{ 1 x}. On a alors :

     

       

     

   

   

ln 1 '

'

1 ln 1 1 1

1

1 ln 1

1 ln 1

x dx u x v x dx

u x v x u x v x dx

x x x dx

x

x x dx

x x x

 

 

     



   

   

 







Il vient alors :

     

         

1 1

0ln 1 1 ln 1 0

1 1 ln 1 1 1 1 0 ln 1 0 0 2 ln 2 1

ln4

x dx x x x

e

     

       

 





On a donc : lim ln ⁿ 1 ¹ 1 ² ... 1 ln⁴

n

n

n n n e



        

      

 

  et donc, finalement :

1 2 4

lim ⁿ 1 1 ... 1

n

n

n n n e



       

    

    

Résultat final

1 2 4

lim ⁿ 1 1 ... 1

n

n

n n n e



       

    

    