PanaMaths Janvier 2013

(1)

PanaMaths Janvier 2013

Résoudre le système différentiel :

3

' 8

' 2

t t

x x y e y x y e

⁻

⎧⎪⎨

⎪⎩

= + +

Analyse

Nous avons affaire à un système différentiel dont les équations sont à coefficients constants.

Après récriture sous la forme matricielle X'=AX+B, on a sans peine les valeurs propres de A puis la solution générale du système homogène. Une variation des constantes permet alors de résoudre complètement le système.

Résolution

On note : 1 8 A ⎛2 1⎞

= ⎜ ⎟

⎝ ⎠, y

X z

= ⎜ ⎟⎛ ⎞

⎝ ⎠.

L’écriture matricielle du système est alors :

3

' 1 8

' 2 1

t t

x x e

y y e⁻

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= × + ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Résolution de l’équation homogène

Le polynôme caractéristique de la matrice A s’écrit :

( )

^det

( )

¹ ⁸

(

¹

)

² ¹⁶

(

¹ ^{4 1}

)(

⁴

) (

³

)(

⁵

)

2 1

A

P X A XI X X X X X X

X

= − = − = − − = − − − + = − − − +

−

A, matrice carrée d’ordre 2, admet deux valeurs propres distinctes, 3− et 5, elle est donc diagonalisable.

Nous allons déterminer, pour chaque valeur propre, un vecteur propre associé.

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PanaMaths Janvier 2013

Pour 3− .

On a : 8 3

3 2 0

2 3

x y x

AX X x y

x y y

+ = −

= − ⇔⎧⎨ + = −⎩ ⇔ + = .

Le vecteur ₃ 2 u₋ ⎛ ⎞1

⎜ ⎟−

⎝ ⎠

G est donc un vecteur propre associé à la valeur propre 3− .

Pour 5.

On a : 8 5

5 2 0

2 5

x y x

AX X x y

x y y

+ =

= ⇔⎧⎨ + =⎩ ⇔ − = .

Le vecteur ₅ 2 u ⎛ ⎞1

⎜ ⎟⎝ ⎠

G est donc un vecteur propre associé à la valeur propre 5.

Ainsi, la solution générale du système homogène s’écrit :

3 5

2 2 2 2

1 1

t t

x e e

e e

y e e

α β

− −

−

⎛ + ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= + = ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⎜ ⎟ − +

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

où α et βsont deux constantes réelles quelconques.

Recherche d’une solution particulière

Notons ^p

p

x y

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ une telle solution. On la cherche sous la forme :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 5

2 2

2 ^t 2 ^t ^t ^t

p

t t

p

x e e t e t e

t t

y e e t e t e

α β

− −

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ +

= + = ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜⎝− ⎟⎠ ⎜⎝ ⎟ ⎜⎠ − + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

p p

x y

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ est solution du système différentiel si, et seulement si :

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

3 5

3 5 3

2 ' 2 '

2 2

' '

t t

t t t

t t

t t t

t e t e

e e e

t t

t e t e

e e e

α β

− −

− − −

⎛ + ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ =⎜ ⎟=

⎜− ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − + ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

D’où :

( ) ( )

3 5

3 5 3

2 ' 2 '

' '

t t t

t e t e e

α β

−

− −

⎧ + =

⎪⎨

− + =

⎪⎩ (S’)

(3)

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Par combinaison linéaire, on obtient facilement :

( ) ( )

3 3

5 3

' 1 2

4

' 1 2

4

t t t

t e e e

α β

− −

−

⎧ = −

⎪⎪⎨

⎪ = +

⎪⎩

Soit :

( ) ( )

4

4 8

' 1 2

4

' 1 2

4

t

t t

t e

t e e

α

β ⁻ ⁻

⎧ = −

⎪⎪⎨

⎪ = +

⎪⎩

Il vient alors :

( ) ( )

4 4

4 8 4 8

1 1 1 1

4 4 2 16 2

1 1 1 1 1

4 4 4 16 16

t t

t t t t

t e t e t

t e e e e

α

β ⁻ ⁻ ⁻ ⁻

⎧ = ⎛⎜ − ⎞⎟= −

⎪⎪ ⎝ ⎠

⎨ ⎛ ⎞

⎪ = ⎜− − ⎟= − −

⎪ ⎝ ⎠

⎩

Puis :

4 3 4 8 5 3

1 1 1 1 1

2 2

16 2 16 16 8

1 1 1 1 1 1 1

16 2 16 16 8 2 16

t t t t t t

p

p t t t t t t t

e t e e e e t e

x

y e t e e e e e t e

− − − −

⎛ ⎛⎜ − ⎞⎟ + ⎛⎜− − ⎞⎟ ⎞ ⎛ − +⎛⎜ ⎞⎟ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞=⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎟ ⎜= ⎝ ⎠ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎛ ⎞ ⎟

⎝ ⎠ ⎜⎝ −⎜⎝ − ⎟⎠ + −⎜⎝ − ⎟⎠ ⎟ ⎜⎠ ⎝− +⎜⎝ − ⎟⎠ ⎟⎠

Solution générale

Finalement, la solution générale du système différentiel s’écrit :

3 3 5 3

3 5

3 3 5 3

1 1

2 2

8 8

2 2

1 1 1 1 1 1

8 2 16 8 2 16

t t t t

t t

t t t t t t

t e e e t e

x e e

y e e

e t e e e e t e

α β

α β α β

− − −

−

− − − −

⎛ − +⎛⎜ ⎞⎟ ⎞ ⎛ + − +⎛⎜ ⎞⎟ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ + ⎞

⎛ ⎞=⎜ ⎟+⎜ ⎝ ⎠ ⎟ ⎜= ⎝ ⎠ ⎟

⎜ ⎟ − + ⎜ ⎛ ⎞ ⎟ ⎜ ⎛ ⎞ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜⎝− +⎜⎝ − ⎟⎠ ⎟ ⎜⎠ ⎝− + − +⎜⎝ − ⎟⎠ ⎟⎠

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Résultat final

La solution générale du système différentiel :

3

' 8

' 2

t t

x x y e

y x y e⁻

⎧ = + +

⎪⎨

= + +

⎪⎩

S’écrit :

3 5 3

2 2 1

8

1 1 1

8 2 16

t t t

t t t t

e e t e

x

y e e e t e

α β

− −

⎛ + − +⎛⎜ ⎞⎟ ⎞

⎜ ⎟

⎛ ⎞=⎜ ⎝ ⎠ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎛ ⎞ ⎟

⎝ ⎠ ⎜⎝− + − +⎜⎝ − ⎟⎠ ⎟⎠

où α et βsont deux constantes réelles quelconques.