PanaMaths Avril 2009

PanaMaths Avril 2009

Soit a un réel.

Calculer, pour tout entier naturel n, la dérivée nième de la fonction :

( )

x 6 x a e +

Analyse

Le calcul des premières dérivées permet d’effectuer une conjecture que l’on démontre facilement par récurrence.

Résolution

En posant : ^{f x}

( ) (

)

( ) ( ) ( )

' 1 ^x 1 ^x

f x = − −x a e⁻ = − + −x a e⁻

( ) ( ) ( )

'' 1 1 ^x 2 ^x

f x = − − − +x a e⁻ = x+ −a e⁻

( )³

( ) (

)

(

)

f x = − − +x a e⁻ = − + −x a e⁻

Nous faisons alors la conjecture suivante :

( )

( ) ( ) ( )

, 1^{n n x}

n f x x a n e⁻

∀ ∈` = − × + −

Posons : P_n : « ^{f( )n}

( ) ( ) (

)

Les propriétés P₀, P₁, P₂ et P₃ sont vraies (cf. la définition de la fonction f et les calculs ci-dessus).

Supposons que la propriété P_n soit vraie. On a donc : ^{f( )n}

( ) ( ) (

)

On en tire :

( )

( ) ( )

^{( ) ( ) ( )}

( ) ( )( ) ( ) ( ( ) )

1

1

' 1 1

1 1 1 1 1

n n n x

n x n x

f x f x x a n e

x a n e x a n e

+ −

− + −

= = − × − − +

= − × − + − − = − × + − + .

La propriété P_n+1 est donc vraie.

Finalement, pour tout entier naturel n, la propriété P_n est vraie.

On a bien : ^{∀ ∈n `, 1f( )n}

( ) ( ) (

)

PanaMaths Avril 2009

Résultat final

( )

( ) ( ) ( )

, 1^{n n x}

n f x x a n e⁻

∀ ∈` = − × + −