PanaMaths Avril 2009
Calculer, pour tout entier naturel n, la dérivée nième de 1 x 1
+ x 6 .
Analyse
Le calcul des premières dérivées permet d’effectuer une conjecture que l’on démontre facilement par récurrence.
Résolution
En posant :
( )
1(
1)
1f x 1 x
x
= = + −
+ , on obtient rapidement :
( ) ( )
1 1( )
2' 1 1 1
f x = − × +x − − = − +x −
( ) { ( )
2 1} ( ) 3
'' 2 1 2 1
f x = − × − +x − − = +x −
( )3
( )
2( ) (
3 1)
3 1 6 1( )
4f x = × − × −x − − = − −x − Nous faisons alors la conjecture suivante :
( )
( ) ( ) ( )
( 1), 1n n ! 1 n
n f x n x − +
∀ ∈` = − × +
Posons : Pn : « f( )n
( ) ( )
x = −1 n×n! 1(
+x)
− +(n1) ».Les propriétés P0, P1, P2 et P3 sont vraies (cf. la définition de la fonction f et les calculs ci-dessus).
Supposons que la propriété Pn soit vraie. On a donc : f( )n
( ) ( )
x = −1 n×n! 1(
+x)
− +(n 1).On en tire :
(n1)
( ) ( )
( )n '( ) ( (
1) ) { ( )
1 n !( ) (
1 1)
(n1 1)} ( )1 n1 (
1 ! 1) ( )
(n 2)
f + x = f x = − +n × − × × − × +n x − + − = − + × + × +n x − +
La propriété Pn+1 est donc vraie.
Finalement, pour tout entier naturel n, la propriété Pn est vraie.
On a bien : ( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
1
1
1 !
, 1 ! 1
1
n
n n
n
n
n f x n x n
x
− +
+
∀ ∈ = − × + = −
` + .
PanaMaths Avril 2009
Résultat final
( )
( ) ( ) ( )
( )( )
( )
1
1
1 !
, 1 ! 1
1
n
n n
n
n
n f x n x n
x
− +
+
∀ ∈ = − × + = −
` +
