PanaMaths Mars 2009

PanaMaths Mars 2009

Soit I et J les intégrales :

(

²

)

2

I

0

e

^x

cos x dx

= ∫

π

^et J

0²

( e

^x

sin

²

x dx )

= ∫

π

Calculer I J + et I J − (pour le calcul de I J − , on pourra procéder à deux intégrations par parties après avoir remarqué que l’on a :

( )

2 2

cos x − sin x = cos 2 x ) et en déduire I et J.

Analyse

Le calcul est classique et fait appel à la linéarité de l’intégrale et à la technique de l’intégration par parties.

Résolution

On a d’abord :

( ) ( )

( )

( )

( )

2 2

2 2

0 0

2

2 2

0 2

2 2

0 2

0 2 0 2

I J cos sin

cos sin

cos sin

1

x x

x x

x

x

x

e x dx e x dx

e x e x dx

e x x dx

e dx

e e

π π

π

π

π

π

π

+ = +

= +

= +

=

= ⎣ ⎦⎡ ⎤

= −

∫ ∫

∫

∫

∫

PanaMaths Mars 2009

Puis, en tenant compte de la remarque de l’énoncé :

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

2 2

2 2

0 0

2

2 2

0 2

2 2

0 2

0

I J cos sin

cos sin

cos sin

cos 2

x x

x x

x

x

e x dx e x dx

e x e x dx

e x x dx

e x dx

π π

π

π

π

− = −

= −

= −

=

∫ ∫

∫

∫

∫

Soit alors : ^{u x}

( )

^{=cos 2}

( )

^x qui donne ^{u x'}

( )

^{= −2sin 2}

( )

^x qui est continue sur 0;

2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ et

( )

' ^x

v x =e , fonction continue sur 0;

2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦, admettant comme primitive : ^{v x}

( )

^=ex.

On a alors (intégration par parties) :

( )

( ) ( ( ) )

( ) ( )

2

0

2 2 0

0 2 2

0 2

2

0

I J cos 2

cos 2 2 sin 2

cos 2 1 2 sin 2

2

1 2 sin 2

x

x x

x

x

e x dx

e x e x dx

e e x dx

e e x dx

π

π π

π π

π π

π

− =

⎡ ⎤

=⎣ ⎦ − −

⎛ ⎞

= ⎜⎝ × ⎟⎠− +

= − − +

∫

∫

∫

∫

Pour calculer ²

( )

0

sin 2 ex x dx

π

∫

, nous allons procéder à une nouvelle intégration par parties.

Soit alors : ^{u x}

( )

^{=sin 2}

( )

^x qui donne ^{u x'}

( )

^{=2 cos 2}

( )

^x qui est continue sur 0;

2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦ et

( )

' ^x

v x =e , fonction continue sur 0;

2

⎡ π⎤

⎢ ⎥

⎣ ⎦, admettant comme primitive : ^{v x}

( )

^=ex.

PanaMaths Mars 2009

On obtient :

( )

( ) ( )

2 2

0

2

2 2

0 0

2 2

I J 1 2 sin 2

1 2 sin 2 2 cos 2

1 2 sin 2

2

x

x x

e e x dx

e e x e x dx

e e

π π

π

π π

π π π

− = − − +

⎧ ⎫

⎪⎡ ⎤ ⎪

= − − + ⎨⎣ ⎦ − ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

⎛ ⎞

= − − + ⎜⎝ × ⎟⎠

∫

∫

( ) ( )

2

1 0 2 I J 1 4 I J

e

π

⎧ ⎫

⎪ − × − − ⎪

⎨ ⎬

⎪ ⎪

⎩ ⎭

= − − − −

D’où : ^{5 I J}

(

^{− = − −}

)

^{eπ2 1} et, finalement : 1 ²

I J 1

5 e

⎛ π ⎞

− = ⎜− − ⎟

⎝ ⎠. On a donc le système :

2

2

I J 1

I J 1 1

5 e

e

π π

⎧ + = −

⎪⎪⎨ ⎛ ⎞

⎪ − = ⎜− − ⎟

⎪ ⎝ ⎠

⎩ On obtient facilement :

( ) ( )

{ }

^{2 2 2}

1 1 1 1

I I J I J 1 1 2 3

2 2 e 5 e 5 e

π π π

⎧ ⎛ ⎞⎫ ⎛ ⎞

⎪ ⎪

= + + − = ⎨ − + ⎜− − ⎟⎬= ⎜ − ⎟

⎪ ⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎠

⎩ ⎭

Et :

( ) ( )

{ }

^{2 2 2}

1 1 1 1

J I J I J 1 1 3 2

2 2 e 5 e 5 e

π π π

⎧ ⎛ ⎞⎫ ⎛ ⎞

⎪ ⎪

= + − − = ⎨ − − ⎜− − ⎟⎬= ⎜ − ⎟

⎪ ⎝ ⎠⎪ ⎝ ⎠

⎩ ⎭

Résultat final

( )

2

2 2

0

I cos 1 2 3

5

ex x dx e

π

⎛ π ⎞

= = ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

∫

^{et 2}

(

²

)

²

0

J sin 1 3 2

5

ex x dx e

π

⎛ π ⎞

= = ⎜ − ⎟

⎝ ⎠

∫