PanaMaths Mars 2018

(1)

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Soit a ∈ K ( K = \ ou ^ ) et ^F ^∈K ( ) ^X ^{avec :} ( ) ( ) ( ) ( ) ¹ ¹

²

F X R X X a Q X

= =

− où ^{Q a} ( ) ^≠ ⁰

Donner la partie polaire de F en a en fonction de Q puis en fonction de R.

Analyse

Comme ^{Q a}

( )

^≠⁰, a est pôle d’ordre 2 de F. On peut donc formellement écrire :

( ) ( )

2

A B S X

F X = X a+ X a +Q X

− −

( )

¹

Q X et sa dérivée s’écrivent simplement et permettent alors d’obtenir facilement A et B.

Résolution

A partir de

( )

( ) ( )

2

A B S X

F X = X a+ X a +Q X

− − , il vient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

1 2 S X X a

X a F X A X a B

Q X Q X

× −

= − × = × − + + .

Avec X =a, on obtient : 1

( )

Q a =B.

En dérivant chaque membre de l’égalité

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 S X X a 2

A X a B

Q X Q X

× −

= × − + + , il vient :

( )

( ( ) ) ⁽ ⁾ ^{( )} ^{( ) (} ⁾ ^{( )}

2 2

' '

Q X 2 S X S

A X a X a X

Q X Q

Q X

− = + × − × + − ×⎜ ⎟⎛ ⎞

⎝ ⎠

(2)

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Avec X =a à nouveau, on obtient :

( )

( ( ) )

²

'

Q a A Q a

− = .

Finalement :

( ) ( )

( ( ) )

²

⁽ ⁾ ^{( ) (} ⁾

²

^{( )} ^{( )}

' 1

Q a S X

F X Q a X a Q a X a Q X

= − + +

× −

× − .

( ) ( )

( ( ) )

²

^{( ) (} ⁾

²

^{( )} ^{( )}

' 1 1 1

Q a S X

F X Q a X a Q a X a Q X

= − × + × +

− −

Disposant de la décomposition précédente, on va chercher à exprimer

( )

1 B=Q a et

( )

( ( ) )

²

' A Q a

Q a

= − en fonction de R et de certaines de ses dérivées.

On a : ^{R X}

( ) (

⁼ ^X ⁻^a

)

²^×^{Q X}

( )

^.

D’où : ^{R X}^'

( )

^{= ×}²

(

^X^{− ×}^a

) ( ) (

^{Q X} ⁺ ^X ⁻^a

)

²^×^{Q X}^'

( )

^.

Puis :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

'' 2 2 ' 2 ' ''

2 4 ' ''

R X Q X X a Q X X a Q X X a Q X

Q X X a Q X X a Q X

= × + × − × + × − × + − ×

= × + × − × + − ×

Il vient alors : ^R^''

( )

^a ^{= ×}² ^{Q a}

( )

^{, soit :}^B⁼^{Q a}¹

( )

⁼ ^R^''²

( )

^a ^.

En dérivant une nouvelle fois, il vient :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

''' 2 ' 4 ' 4 ''

2 '' '''

6 ' 6 '' '''

R X Q X Q X X a Q X

X a Q X X a Q X

Q X X a Q X X a Q X

= × + × + × − ×

+ × − × + − ×

= × + × − × + − ×

Il vient alors : ^R^'''

( )

^a ^{= ×}⁶ ^{Q a}^'

( )

^{, soit} ^'

( )

¹ ^'''

( )

Q a = ×6 R a . D’où :

( )

( ( ) ) ^{( )} ^{( )} ^{( )} ( ( ) ^{( )} ) ( ( ) ^{( )} )

2 2

2 2 2

' 1 2 4 ''' 2 '''

' '''

6 '' 6 '' 3 ''

Q a R a R a

A Q a B R a

R a

Q a R a R a

⎛ ⎞

= − = − × = − × ×⎜⎜⎝ ⎟⎟⎠ = − × = − ×

(3)

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Finalement :

( ) ( )

( ( ) )

²

^{( ) (} ⁾

²

^{( )} ^{( )}

2 ''' 1 2 1

3 '' ''

R a S X

F X R a X a R a X a Q X

= − × × + × +

− −

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