PanaMaths Mars 2005
Calculer :
ln5 ln 2
4 4
x x
e dx
−
∫ e +
Analyse
On observe attentivement le dénominateur de la fraction et on reconnaît au numérateur …
Résolution
La fonction
4
x x
x e
e +
6 est de la forme
( )
( )
' x u x
6 u x avec u définie par : u x
( )
=ex +4.Pour tout x réel, on a : ex+ >4 0, cela est à fortiori vrai sur l’intervalle
[
−ln 2; ln 5]
.La fonction x6ln
(
ex +4)
est donc une primitive de4
x x
x e
e +
6 sur
[
−ln 2; ln 5]
.Donc x64 ln
(
ex+4)
est une primitive de 4 4x x
x e
e +
6 sur
[
−ln 2; ln 5]
.Il vient alors :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
ln 5 ln 5
ln 5 ln 2
ln 2 ln 2
4 4 ln 4 4 ln 4 4 ln 4
4
1 9
4 ln 5 4 4 ln 4 4 ln 9 4 ln 4 ln 9 4 ln 9 ln 2
2 2
4 ln 9 4 ln 9 4 ln 2 4 ln 2
x
x x
e dx e e e
e
−
− −
⎡ ⎤
=⎣ + ⎦ = + − +
+
⎛ ⎞
= + − ⎜⎝ + ⎟⎠= − = − −
= − +
=
∫
Résultat final
ln 5
ln 2
4 4 ln 2
4
x x
e dx
− e
+ =
