[ Baccalauréat ES 2005 \ L’intégrale de mars à novembre 2005

(1)

[ Baccalauréat ES 2005 \

L’intégrale de mars à novembre 2005

Pondichéry 31 mars 2005 . . . . 3

Amérique du Nord 1

^er

juin 2005 . . . . 8

Antilles–Guyane juin 2005 . . . . 13

Asie juin 2005 . . . . 17

Centres étrangers 17 juin 2005 . . . . 26

Métropole juin 2005 . . . . 31

La Réunion juin 2005 . . . .37

Liban juin 2005 . . . . 41

Polynésie juin 2005 . . . . 47

Antilles-Guyane septembre 2005 . . . . 51

Métropole septembre 2005 . . . . 56

Amérique du Sud novembre 2005 . . . . 61

Nouvelle-Calédonie novembre 2005 . . . . 67

(2)

(3)

[ Baccalauréat ES Pondichéry 31 mars 2005 \

EXERCICE1 6 points

Commun à tous les candidats

Une résidence de vacances propose deux types d’appartements (studio et deux-pièces) à louer à la semaine. L’appartement doit être restitué parfaitement propre en fin de séjour.

Le locataire peut décider de le nettoyer lui-même ou peut choisir l’une des deux formules d’entretien suivantes : la formule Simple (nettoyage de l’appartement en fin de séjour par le personnel d’entretien) ou la formule Confort (nettoyage quotidien du logement durant la semaine et nettoyage complet en fin de séjour par le personnel d’entretien).

Le gestionnaire a constaté que :

— 60% des locataires optent pour un studio et parmi ceux-ci 20% ne souscrivent aucune formule d’entretien ;

— La formule Simple a beaucoup de succès : elle est choisie par 45% des locataires de Studio et par 55% des locataires de deux-pièces ;

— 18% des locataires ne souscrivent aucune formule.

On rencontre un résident au hasard.

SoitSl’évènement « Le résident a loué un studio » Al’évènement « Le résident a souscrit la formule Simple » Bl’évènement « Le résident a souscrit la formule Confort »

Rl’évènement « Le résident n’a souscrit aucune formule d’entretien » 1. Traduire l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

2. a. Quelle est la probabilité que le résident ait loué un deux-pièces ? b. CalculerPS(B).

3. a. CalculerP(R∩S) ; en déduireP³ R∩S´

.

b. Le résident a loué un deux-pièces. Montrer que la probabilité qu’il assure lui-même le nettoyage de son appartement est 0,15.

4. Le gestionnaire affirme que près de la moitié des résidents choisit la formule Simple. Présenter les calculs qui justifient son affirmation.

5. La location d’un studio à la semaine coûte 350 euros, celle d’un deux-pièces 480 euros.

La formule Simple coûte 20 euros et la formule Confort 40 euros.

SoitLle coût de la semaine (loyer et entretien) ; il prend différentes valeursLi. On désigne par pi, la probabilité que le coût de la semaine soit égal àLi.

a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous.

Li 350 370 390 480 500 520

pi 0,12 0,21 0,12

b. Calculer l’espérance deL. En donner une interprétation.

Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples ; pour chacune des cinq questions, une et une seule affirmation est exacte.

Indiquez sur votre copie le numéro de la question et recopiez l’affirmation exacte sans justifier votre choix.

(4)

Barème : À chaque question est attribué 1 point.

Une réponse inexacte enlève 0,5 point.

Une question sans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point.

Si le total des points est négatif, la note attribuée à l’exercice est ramenée à zéro.

Soitf la fonction définie sur ]4 ;+∞[ par

f(x)= −2x+1− 8 x−4 etΓsa courbe représentative dans un repère orthonormal du plan.

1. Une autre expression def(x) est

•f(x)= −2x+1− 2 x−1

•f(x)=2x²−9x+12 4−x

•f(x)=2x²+9x−2 x−4

2. Soitf^′la fonction dérivée def sur ]4 ;+∞[. Une expression def^′(x) est

•f^′(x)= −2− 8 (x−4)²

•f^′(x)=(2−x)(x−6) (x−4)²

•f^′(x)=−2x²+16x−24 (x−4)²

3. La courbeΓadmet pour asymptote

• la droite d’équationy=4

• la droite d’équationx=4

• la droite d’équationy=4x 4. La droite d’équationy= −2x+1 est

• asymptote à la courbeΓ

• située en dessous de la courbeΓ

• tangente à la courbeΓ.

5. La fonctionx7−→F(x) donnée par

•F(x)= −x²+x+8(x−4)²

•F(x)= −x²+x+8ln(x−4)

•F(x)= −x²+x−8ln(x−4) est une primitive def sur ]4 ;+∞[.

L’objet de cet exercice est de démontrer le résultat suivant : lim

x→+∞

µlnx x

¶

=0.

Partie A : Étude d’une fonction

(5)

Baccalauréat ES A. P. M. E. P.

1. Calculer f^′(x) et montrer que l’on a :f^′(x)=2−px 2x .

2. En déduire le tableau de variations de f sur ]0 ;+∞[ (les limites aux bornes ne sont pas de- mandées).

3. Justifier alors que, pour toutxde ]0 ;+∞[, on a : lnx<p x.

Partie B : Utilisation des théorèmes de comparaisons

1. Démontrer que, pour tout réelxstrictement supérieur à 1, on a : 0<lnx

x < 1 px. 2. Déterminer lim

x→+∞

µ 1 px

¶

. En déduire lim

x→+∞

µlnx x

¶ . On rappelle que la dérivée de la fonctionx7−→p

xestx7−→ 1 2p

x.

Le tableau suivant donne la population d’une ville nouvelle entre les années 1970 et 2000.

Année 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000

Rang de l’annéex 0 5 10 15 20 25 30

Population en mil-

liers d’habitantsy 18 21 25 30 36 42 50

Le nuage de points associé à ce tableau est représenté graphiquement sur l’annexe jointe le rangxde l’année est en abscisse et la populationyen ordonnée.

Cette annexe sera complétée au fur et à mesure des questions et rendue avec la copie.

Partie A : Un ajustement affine

1. À l’aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d’ajustement affine deyenx par la méthode des moindres carrés (les coefficients seront arrondis au centième).

Tracer cette droite sur le graphique donné en annexe.

2. Déduire de cet ajustement une estimation de la population en 2003, à un millier près.

Partie B : Un ajustement exponentiel

1. L’allure du nuage incite à chercher un ajustement par une fonctionf définie sur [0 ; +∞[ par f(x)=ae^bxoùaetbsont des réels.

Détermineraetbtels que f(0)=18 et f(30)=50. On donnera une valeur arrondie debau millième.

2. Déduire de cet ajustement une estimation de la population en 2003, à un millier près.

3. Tracer la courbe représentative def sur le graphique donné en annexe.

4. La population en 2003 était de 55 milliers. Lequel des deux ajustements vous semble le plus pertinent ? Justifier votre choix.

Partie C : Calcul d’une valeur moyenne

On considère maintenant que, pour une année, la population est donnée en fonction du rangxpar f(x)=18e^0,034x.

Pondichéry 5 31 mars 2005

(6)

1. Calculer la valeur moyenne de la fonction f sur [0; 30] ; on donnera le résultat arrondi au dixième.

2. À l’aide d’une lecture graphique, déterminer l’année au cours de laquelle la population atteint cette valeur moyenne ?

(7)

Annexe à rendre avec la copie Exercice 4

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 5 10 15 20 25 30

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

0 5 10 15 20 25 30 35

b b b b b b b

Pondichéry 7 31 mars 2005

(8)

[ Baccalauréat ES Amérique du Nord 1

^er

juin 2005 \

Les deux questions sont indépendantes.

Les résultats seront arrondis à 10⁻².

Le gouvernement d’un pays envisage de baisser un impôt de 30 % en cinq ans.

1. On suppose que le pourcentage de baisse est le même chaque année.

Vérifier que ce pourcentage de baisse annuel est alors égal à environ 6,89 %.

2. La première année cet impôt baisse de 5 %, la deuxième année la baisse est de 1 % et la troi- sième année de 3 %.

a. Quelle est la baisse, en pourcentage, de cet impôt au terme de ces trois premières années ? b. Pour atteindre son objectif quel pourcentage annuel de baisse doit décider ce gouverne-

ment, en supposant que ce pourcentage est le même sur les deux dernières années ?

Le tableau suivant donne l’évolution du chiffre d’affaires (C. A.), en millions d’euros, sur la période 1994-2003.

Année 1994 1997 1999 2001 2003

Rangxi 1 4 6 8 10

C. A.yi 176 209 284 380 508

1. Le nuage de pointsMi¡ xi ;yi¢

est représenté ci-dessous dans un repère orthogonal. Un ajustement affine semble-t-il adapté ?

0 100 200 300 400 500

0 2 4 6 8 10

M1

M2

M₃

M4

M5

x y

(9)

b. Construire le nuage de pointsN_i(x_i ;z_i) dans le repère orthogonal suivant :

- sur l’axe des abscisses, on placera 0 à l’origine et on choisira 1 cm pour représenter 1 année,

- sur l’axe des ordonnées, on placera 5 à l’origine et on choisira 1 cm pour représenter le nombre 0,1.

3. a. Déterminer avec la calculatrice une équation de la droitedd’ajustement dezenxobtenue par la méthode des moindres carrés (coefficients arrondis à 10⁻²près) et tracer la droited dans le repère précédent.

b. En déduire une relation entreyetxde la formey=A×k^x. (arrondirAà l’entier près etk à 10⁻²près)

4. a. Tracer la droiteddans le même repère que celui du nuage de points (Ni).

b. Donner une estimation, arrondie au millier d’euros, du chiffre d’affaires en 2005.

c. À partir de quelle année peut-on prévoir que le chiffre d’affaires sera supérieur à 1 milliard d’euros ?

Pour les candidats ayant suivi la spécialité mathématique

0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4

O x

y

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4 5 6

H₁ H₂

Les courbesH₁etH₂représentées dans le repère orthonormal ci-dessus ont respectivement pour équation

y=1

x et y=2 x.

On noteD₂le domaine délimité par les courbesH₁etH₂et les droites d’équationx=2 etx=3.

On noteD^′

2le domaine délimité par l’axe des abscisses, la courbeH₁et les droites d’équationx=2 etx=3.

Amérique du Nord 9 1^erjuin 2005

(10)

1. Colorier les domainesD₂etD^′

2d’une couleur différente et montrer qu’ils ont la même aire.

Soitnun entier naturel strictement positif. On noteunl’aire du domaineD_n délimité par les courbesH₁etH₂et les droites d’équationx=netx=n+1.

2. Exprimerunen fonction den.

3. Montrer que la suite (un) est décroissante.

On pourra comparer les nombresn(n+2)et (n+1)². 4. Étudier la convergence de la suite (un).

5. Déterminer la plus grande valeur dentelle que l’aire du domaineD_n reste supérieure à 1 d’unité d’aire. SoitNcette valeur. 10

6. Calculer l’aire du domaine délimité par les courbesH₁etH₂et les droites d’équationx=1 et x=N.

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte.

L’exercice consiste à cocher cette réponse exacte sans justification.

Barème :Une bonne réponse rapporte 1 point ; une mauvaise réponse enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point.

Si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l’exercice est0.

COMPLÉTER LE DOCUMENT RÉPONSE DONNÉ EN ANNEXE

(11)

QUESTIONS RÉPONSES

1.Soit une série statistique à deux variables (x; y). Les valeurs dexsont 1, 2, 5, 7, 11, 13 et une équation de la droite de régression deyenxpar la méthode des moindres carrés esty=1,35x+22,8. Les coordonnées du point moyen sont :

(6,5; 30,575) (32, 575; 6,5) (6,5; 31,575)

2.(un) est une suite arithmétique de raison−5.

Laquelle de ces affirmations est exacte ?

Pour tout entiern, un+1−un=5 _u₁₀₌_u₂₊₄₀ _u₃₌_u₇₊₂₀

3.L’égalité ln¡ x²−1¢

=ln(x−1)+ln(x+1) est vraie

_{Pour tout}_x_de ]− ∞;−1[∪]1 ;+∞[ _{Pour tout}_x_de_R₋_{₋_{1 ; 1}.}

_{Pour tout}_x_{de ]1 ;}_+∞_[

4.Pour tout réelx, le nombree^x−1 e^x+2égal à :

₋¹ 2 ^e

−x−1 e^−x+2 ¹⁻^e

−x

1+2e^−x

5.On pose I= Z_{ln 3}

ln2

1 e^x−1dxet J=

Z_{ln 3}

ln2

e^x

e^x−1dx alors le nombre I−J est égal à

_ln² 3 _ln³ 2 ³

2

6.L’ensemble des solutions de l’inéquation µ

1− 2 100

¶x

6_0,5 est

_S₌

·ln(0,5) ln(0,98);+∞

·

_S₌

·

−∞; ln(0,5) ln(0,98)

·

_S₌

· ln 0,5

0,98;+∞

·

On a représenté ci-dessous la courbe représentativeΓ, dans un repère orthonormal, d’une fonction f définie surR. La courbeΓpasse par les points A(0; 2) et C(−2 ; 0) et la droite (AB) est la tangente en A àΓ. La tangente àΓen son point D d’abscisse−1 est parallèle à l’axe des abscisses.

Amérique du Nord 11 1^erjuin 2005

(12)

−1 1 2

1 2 3

−1

−2

−3

Γ D

B A

C

1. Parmi les trois représentations graphiques ci-dessous, une représente la fonction dérivée f^′ def et une autre représente une primitiveFdef surR.

Courbe 1 Courbe 2 Courbe 3

−2 2 4

−2 2

−4 O

−2

−4

−2 2

−4 O

−2

−4

−6

−2 2

−4 O

Déterminer la courbe associée à la fonctionf^′et celle qui est associée à la fonctionF. Vous expliquerez avec soin les raisons de votre choix

2. a. Déterminer, à l’aide des renseignements fournis par l’énoncé, les valeurs de f(0) et de f^′(0).

b. On suppose quef(x) est de la formef(x)=(x+K)e^αxoùKetαsont des constante réelles.

Calculer f^′(x), puis traduire les renseignements trouvés à la question précédente par un système d’équations d’inconnuesK etα.

En déduire quef est définie parf(x)=(x+2)e^−x.

3. a. Montrer que la fonctionϕdéfinie parϕ(x)=(−x−3)e^−xest une primitive def. b. En déduire la valeur de l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surface hachurée.

On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième du résultat.

(13)

[ Baccalauréat ES Antilles–Guyane juin 2005 \

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples ; pour chacune des cinq questions, une et une seule affirmation est exacte.

Indiquez sur votre copie le numéro de la question et la bonne affirmation sans justifier votre choix.

Barème :

À chaque question et attribué un certain nombre de points. Une réponse inexacte enlève la moitié des points affectés. Une question sans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point. Si le total est négatif, il est ramené à zéro.

Question 1

Ce tableau incomplet donne les résultats d’un son- dage dans une population de 60 personnes.

Cadres Employés

Hommes 25

Femmes 8 15

2 15

2 5

8 23

On interroge une personne au hasard ; la probabilité que ce soit une femme sachant que c’est un cadre est : Question 2

Une loi de probabilité d’espéranceµ, de variance V et d’écart typeσest définie par le tableau ci-dessous.

x_i 1 2 3 4

p_i 0,2 0,4 0,1 0,3 V=5

4 µ=2 σ=

p5 4 On a alors :

Question 3

SoientCetDdeux évènements indépendants.

On donneP(C)=1

3etP(D)= 1

12. P(D∩C)= 5

12 P(C∪D)= 7

18 P_D(C)= 1 36 On a alors :

Question 4

On lance une pièce de monnaie équilibrée quatre fois de suite. La probabilité d’obtenir au moins une fois pile est :

1 4

15 16

1 16

Question 5

Une expérience aléatoire est représentée par l’arbre ci-dessous où A et B sont deux évènements, A et B leurs évènements contraires

0,2 A

B 0,3 B

A 0,1 B

B

Alors on a : P(B)=0,22 P³ A∩B´

=0,8 P_B(A)=0,7

(14)

EXERCICE2 5 points Pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

Soitf une fonction dont le tableau de variations, incomplet est le suivant ; on désigne parf^′la fonction dérivée de la fonctionf.

x −∞ −3 −1 1 +∞

Signe de f^′(x)

Variations def

+ 0 − − 0 +

−∞

−6

. . . +∞

2

. . .

On admet quef est définie sur ]− ∞;−1[∪]−1 ;+∞[ par : f(x)=ax+b+ c

x+1 oùa,betcsont des réels.

1. Calculer f^′(x) en fonction dea,betc.

2. En vous aidant des informations contenues dans le tableau de variations ci-dessus, montrer que l’on a :a=1,b= −1,c=4.

3. Déterminer les limites manquantes dans le tableau de variations fourni.

4. Montrer que la courbe représentativeC_f de la fonction f admet comme asymptote la droite Dd’équationy=x−1 lorsquextend vers+∞ou vers−∞.

Étudier la position relative de la courbeC_f et de son asymptoteD.

5. Déterminer la valeur exacte de Z2

1 [f(x)−(x−1)]dxet interpréter le résultat en terme d’aire.

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Dans une zone de marais on s’intéresse à la population des libellules.

On noteP0la population initiale etPnla population au bout denannées.

Des études ont permis de modéliser l’évolution deP_npar la relation : (R) Pour tout entier naturelnon a :Pn+2−Pn+1=1

2(Pn+1−Pn).

On suppose queP0=40000 etP1=60000.

On définit l’accroissement de la population pendant lan-ième année par la différencePn−Pn−1. 1. Calculer l’accroissement de la population pendant la première année, la deuxième année, la

troisième année, puis en déduireP2etP3.

2. On considère les suites (Un) et (Vn) définies pour tout entier naturelnpar :

U P P et V P 1

P .

(15)

b. En utilisant la relation (R), calculerVn+1−Vn. En déduire que, pour toutn, on a :Vn=P1−1

2P0. CalculerVn.

c. Démontrer que, pour tout entier natureln, on aPn=2(Vn−Un).

En déduire une expression dePnen fonction den.

d. Montrer que la suite (Pn) converge et calculer sa limite.

Que peut-on en déduire en ce qui concerne l’évolution de cette population au bout d’un nombre d’années suffisamment grand ?

Une entreprise a noté les valeurs du coût total de productionC(x) d’un engrais en fonction de la massexproduite.

Le tableau ci-dessous donne les valeursxi de masse d’engrais produite et celles yi=C(xi) des coûts totaux de production correspondants pouri entier variant de 1 à 5.

xien tonnes 10 12 14 16 18

yien centaines d’euros 100 110 145 196 308 Partie A

1. Représenter le nuage de points associé à la série statistique¡ x_i ;y_i¢

dans un repère orthogonal (unités graphiques : 0,5 cm pour une tonne sur l’axe des abscisses et 0,05 cm pour une centaine d’euros sur l’axe des ordonnées.)

2. On recherche une fonction définie sur l’intervalle [10 ; 18] dont la courbe représentative « ajuste » de façon acceptable le nuage de points.

Une fonctionf est dite « acceptée » si, pour les cinq valeursxidu tableau, on a :

−106_f_(x_i₎₋_C(x_i₎6_10.

a. Soitf la fonction définie sur [10; 18] par :

f(x)=e^0,3x+80.

Recopier et compléter le tableau ci-dessous (les valeurs sont arrondies à 10⁻²).

La fonctionf est-elle « acceptée » ?

xi 10 12 14 16 18

f(xi) f(x_i)−C(x_i)

b. Étudier les variations def sur [10; 18] et tracer la courbe représentative de la fonctionf dans le repère précédent.

Partie B : étude d’une fonction auxiliaire

Soitgla fonction définie sur l’intervalle [10; 18] par

g(x)=(0,3x−1)e^0,3x−80.

Antilles-Guyane 15 juin 2005

(16)

1. On désigne parg^′la fonction dérivée deg.

Montrer que, pour toutxde [10; 18], on a :g^′(x)=0,09xe^0,3x. En déduire le sens de variations degsur [10; 18].

2. Établir le tableau de variations degsur l’intervalle [10; 18].

3. Montrer que l’équationg(x)=0 admet une unique solutionαsur [10; 18] et donner un enca- drement deαà 10⁻¹.

En déduire le signe deg(x) sur [10; 18].

Partie C

Le coût moyen de production d’une tonne en fonction de la massexproduite est exprimé en centaines d’euros par :

Cm(x)=f(x) x oùf est la fonction étudiée dans lapartie Aetx∈[10 ; 18].

1. On désigne parC_m^′ la fonction dérivée de la fonctionCm. CalculerC_m^′ (x) pourxappartenant à l’intervalle [10; 18].

2. Déduire à l’aide de lapartie Ble sens de variations de la fonctionCmsur l’intervalle [10; 18].

3. Pour quelle production, en tonnes, a-t-on un coût moyen minimal ? Quel est ce coût à un euro près par défaut ?

(17)

[ Baccalauréat ES Asie juin 2005 \

Pour chaque question, une seule réponse a , b, c, ou d, est exacte.

Indiquer sur la copie la réponse exacte.

Aucune justification n’est demandée.

Une bonne réponse rapporte1point. Une mauvaise réponse enlève0,5point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève, aucun point.

Si le total des points est négatif , la note globale attribuée à l’exercice est0.

Les trois arbres donnés ci-dessous représentent des situations probabilistes. Les nombres indiqués sur les différentes flèches sont des probabilités, et, en deuxième niveau, des probabilités condition- nelles. Ainsi pour l’arbre donné dans la question 1 : 0,35=P(A) et 0,1=PA(E).

Question 1 A

B

E F E F 0,35

0,65

0,1

0,9 0,5 0,5

La probabilité de l’évènementEest égale à : a 0,5 b 0,1 c 0,6 d 0,36

Question 2 A

B

G

H G H 0,35

0,65

0,3

0,7 x 1−x

Les évènements AetGétant supposés indépendants,xest égal à :

a 0,35 b 0,1 c 0,3 d 0,36

Question 3

A

B 0,35

0,65

Ici la situation probabiliste est associée à une expérience aléatoire schématisée par l’arbre ci-contre.

Cette expérience aléatoire est répétée quatre fois de façon in- dépendante.

La probabilité d’obtenir au moins une fois l’évènementAest égale à :

a 0,35 b 0,821 493 75

c 0,178 506 25 d 0,015 006 25

(18)

EXERCICE2 5 points Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

PARTIE A

Soit la fonctionf définie pour toutxélément de l’intervalle [0 ;+∞[ par : f(x)= 20

1+15e^−0,4x. On admet que la fonctionf est dérivable sur cet intervalle.

1. Déterminer la limite de la fonctionf en+∞.

Interpréter graphiquement le résultat.

2. Démontrer que la fonctionf est croissante sur l’intervalle [0 ;+∞[.

PARTIE B

La fonctionf modélise sur l’intervalle [0; 14] la fonction coût total de production, en euro, d’un produit. Sa représentation graphique sur cet intervalle, notéeΓ, est donnée enANNEXE 1 (à rendre avec la copie).

Pour une quantité de produitq, exprimée en tonnes et comprise entre 0 et 14, on pose donc : f(q)= 20

1+15e⁻^0,4q. Pour toutq dans l’intervalle [0; 14], le quotient f(q)

q est appelé coût moyen de production deq tonnes de produit.

1. Pourqdans l’intervalle [0; 14], soitQle point d’abscisseqde la représentation graphique (Γ) de la fonctionf.

Montrer que le coefficient directeur de la droite (OQ) est égal au coût moyen f(q) q . 2. L’entreprise cherche à minimiser le coût moyen de production.

Par lecture graphique indiquer la valeur deqqui réalise ce minimum et la valeur de ce minimum.

(19)

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Pour fabriquer un alliage une usine utilise deux métaux A et B en quantitésxetyexprimées en tonnes.

Le coût de production qui en résulte, exprimé en milliers d’euros, est donné par la formule : C(x,y)=2x+0,5y²+4.

L’ANNEXE 1 (à rendre avec la copie)comporte deux figures.

— La figure 1 représente la surface d’équationz=C(x;y) pour 06_x6_{20 et 0}6_y6_12.

— La figure 2 représente les courbes de niveau de cette surface pourzvariant de 20 en 20.

Les parties 1 et 2 sont indépendantes.

Partie 1

Cette partie est un questionnaire choix multiples constitué de deux questions, chacune comportant quatre propositions de réponse dont une seule est exacte.

Une bonne réponse rapportera0,5point.

Une mauvaise réponse sera pénalisée de0,25point.

Si le total des points de cette partie est négatif, la note attribuée sera0.

Les réponses seront indiquées sur la copie. Aucune justification n’est demandée.

1. Lequel des points donnés ci-dessous est un point de la surface d’équationz=C(x;y) ? a M(13; 9; 60) b N(12; 4; 40) c R(12; 8; 60) d S(15; 4; 40) 2. La courbe de niveauz=20 est :

a une parabole b une droite c une hyperbole d autre réponse Partie 2

Les métaux A et B sont achetés respectivement 0,5 et 1 millier d’euros la tonne. L’entreprise affecte 11 milliers d’euros à l’achat des métaux.

1. Un exemple :

Si l’entreprise achète 4 tonnes de métal A, combien de tonnes de métal B achète-t-elle ? 2. Cas général

Soitxla quantité de métal A etyla quantité de métal achetées.

Montrer quexetysont liés par la relationx+2y=22.

3. a. Tracer sur la figure 2 de l’ANNEXE 1 l’ensemble des points dont l’équation est x+2y=22.

b. En déduire, graphiquement le coût minimum de production des alliages pour un investis- sement de 11 milliers d’euros, et les quantités correspondantes de métaux A et B achetées.

Asie 19 juin 2005

(20)

EXERCICE3 3 points Commun à tous les candidats

La courbeC_f est la représentation graphique d’une fonctionf définie et dérivable sur l’intervalle [0; 6].

La courbeC_f est représentée sur lafeuille ANNEXE 2.

Soit A le point du plan de coordonnées (−1 ; 0) et B le point du plan de coordonnées (1; 5). Le point B appartient à la courbeC_f.

La droite (AB) est la tangente à la courbeC_f au point B.

1. Déterminer f^′(1), oùf^′est la fonction dérivée de la fonctionf sur l’intervalle [0; 6].

2. L’une des trois courbesC₁,C₂, etC₃représentées sur les figures 1, 2 et 3 de lafeuille ANNEXE 2représente la fonctionf^′. Laquelle ?

Justifier votre réponse.

(21)

Le but de cet exercice est d’étudier l’évolution du prix d’une matière première.

On ne fera qu’un seul graphique qui sera complété tout au long des questions.

Partie A

Le tableau suivant donne le prix d’une tonne de matière première en milliers d’euros au 1^erjanvier de chaque année :

Année 1998 1999 2000 2001

Rang de l’année :xi 0 1 2 3

Prix d’une tonne en milliers d’euroy_i 6,48 5,74 5,19 5,01

1. Sur la copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique (x_i ;y_i), le plan étant rapporté a un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour une année sur l’axe des abscisses, 2 cm pour un millier d’euros sur l’axe des ordonnées).

2. Dans cette question, on envisage un ajustement affine pour modéliser l’évolution du prix de cette matière première.

a. Déterminer une équation de la droite d’ajustement deyenxobtenue par la méthode des moindres carrés, et la tracer sur le graphique précédent (les calculs seront effectués à la calculatrice et les résultats seront donnés à 10⁻³près).

b. En supposant que cet ajustement affine reste valable pour les années suivantes, quel serait le prix d’une tonne de matière première au 1^erjanvier 2005?

Partie B

En fait, à partir de l’année 2001, le prix d’une tonne de cette matière première commence à remonter, comme le montre le tableau suivant :

Année 2001 2002 2003 2004

Rang de l’année :x_i 3 4 5 6

Prix d’une tonne en milliers d’euroyi 5,01 5,10 5,20 5,52 1. Placer sur le graphique de lapartie Ales points associés à ce 2^etableau.

2. On désire trouver une fonction qui modélise l’évolution de ce prix sur la période 1998–2008.

Pour cela, on considère la fonctionf définie pour toutxde l’intervalle [0; 11] par f(x)=x+10−5ln(x+2).

On admet que la fonctionf est dérivable sur cet intervalle, et on noteraf^′sa fonction dérivée.

a. Donner un tableau de valeurs de la fonctionf pour les valeurs dex entières comprises entre 0 et 11. Les valeurs de la fonction seront arrondies à 10⁻².

b. Calculerf^′(x), puis étudier le sens de variation de la fonctionf sur l’intervalle [0; 11].

Dresser son tableau de variations. Les valeurs des extremums seront données à 10⁻²près.

c. Tracer la courbe (C) représentative de la fonctionf sur le graphique de lapartie 4.

3. On admet que la fonctionf modélise l’évolution du prix de cette matière première sur la pé- riode 1998–2008.

a. Selon ce modèle, quel serait le prix d’une tonne de matière première au^erjanvier 2005?

b. Déterminer en quelle année le prix d’une tonne de matière première retrouvera sa valeur de 1998.

Asie 21 juin 2005

(22)

ANNEXE 1 Exercice 2

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité À rendre avec la copie

CourbeΓ

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

10 20

O 10 x

y

Γ

1 1

(23)

ANNEXE 2 Exercice 3 Courbe def :

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

O −→ı

−

→ A

B C_f

Propositions pour la courbe def^′:

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

O −→ı

−

→

C₁

Figure 1

-1 0 1 2 3 4 5 6 7

-2 -1 0 1 2 3 4

O →−ı

−

→

C₂

Figure 2 0 1 2 3 4 5 6 7

0 1 2 3 4 5 6

O →−ı

−

→

C₃

Figure 3

Asie 23 juin 2005

(24)

ANNEXE 1 Exercice 2

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité À rendre avec la copie

Figure 1 : surface d’équationz=C(x;y)

20 40 60 80 100 120

0

x y

z

0 2

4 6

8 10

12 14

16 18 200

6 12

(25)

Figure 2 : courbes de niveau

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

x

y

Asie 25 juin 2005

(26)

EXERCICE1 3 points Commun à tous les candidats

Pour chacune des questions ci-dessous, une seule des réponses proposées est exacte.

L’exercice consiste à cocher cette réponse exacte sans explication.

Barème :Une bonne réponse rapporte 0,5 point ; une mauvaise réponse enlève 0,25 point.

L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point.

Si le total de points est négatif, la note globale attribuée à l’exercice est 0.

QUESTIONS RÉPONSES CHOISIES

x7−→ex

1. La fonction :x7−→ex+ln 2 a pour dérivée

x7−→ex+1

x7−→e 2

x7−→ 1

3x+1 3 2. La fonctionx7−→ln(3x)+ln 3 a pour dérivée

x7−→1

x7−→x1

x7−→ −3x2e^−2x⁺³ 3. SurR, une primitive de la fonctionx7−→e^−2x+3est

x7−→e^−2x+3

x7−→ −1 2e^−2x+3

2 solutions 4. DansR, l’équation : e^2x+e^x−6=0 possède

1 solution

0 solution

2 solutions 5. Dans ]0 ;+∞[, l’équation : (lnx]²+lnx−6=0 possède

1 solution

0 solution

2

6. DansRl’équation : 1,1^x=2,2 a pour solution le nombre

ln 2

^{ln 2,2}

ln 1,1

(Les probabilités demandées seront exprimées sous forme de fractions irréductibles)

Une boîte de jeu est constituée de questions portant sur les deux thèmes « Cinéma » ou « Musique ».

Cette boîte contient un tiers de questions portant sur le thème « Cinéma », les autres portant sur le

(27)

PREMIÈRE PARTIE :Dans cette partie, on pose à Pierre une question choisie au hasard dans la boîte et on sait que :

— La probabilité que Pierre réponde correctement à une question du thème « Cinéma » est égale à1

2.

— La probabilité que Pierre réponde correctement une question du thème « Musique » est égale à3

4.

On considère les évènements suivants : C: la question porte sur le thème « Cinéma », M: la question porte sur le thème « Musique », E: Pierre répond correctement à la question posée.

1. Déterminer la probabilité de l’évènement :

« La question porte sur le thème « Musique » et Pierre y a répondu correctement ».

2. Montrer que la probabilité de l’évènement E est égale à2 3.

3. On suppose que Pierre n’a pas répondu correctement à la question posée ; quelle est la proba- bilité pour que la question ait porté sur le thème « Cinéma » ?

(Certaines de ces réponses pourront être justifiées à l’aide d’un arbre de probabilités) DEUXIÈME PARTIE :En fait le jeu se déroule de la façon suivante :

On pose à Pierre une première question (selon les modalités décrites dans la première partie) et il marque 5 points s’il répond correctement et le jeu s’arrête.

Sinon, on lui pose une deuxième question choisie, indépendamment de la première et il marque 2 points s’il répond correctement et le jeu s’arrête.

Sinon, on lui pose une troisième question (choisie indépendamment des deux précédentes) et il marque 1 point s’il répond correctement.

Sinon le jeu s’arrête et il ne marque aucun point.

À chaque fois qu’une question est tirée, on remet dans la boîte une question portant sur le même thème.

1. Traduire cette situation à l’aide d’un arbre de probabilités.

2. Définir la loi de probabilité du nombre de points marqués par Pierre.

3. Calculer l’espérance mathématique du nombre de points marqués par Pierre.

Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

On a divisé une population en deux catégories : « fumeurs » et « non-fumeurs ».

Une étude statistique a permis de constater que, d’une génération à l’autre,

• 60 % des descendants de fumeurs sont des fumeurs,

• 10 % des descendants de non-fumeurs sont des fumeurs.

On suppose que le taux de fécondité des fumeurs est le même que celui des non-fumeurs.

On désigne par :

• fnle pourcentage de fumeurs à la génération de rangn,

• gn=1−fnle pourcentage de non-fumeurs à la génération de rangn, oùnest un entier naturel.

On considère qu’à la génération 0, il y a autant de fumeurs que de non-fumeurs.

On a doncf0=g0=0,5.

1. Traduire les données de l’énoncé par un graphe probabiliste.

Centres étrangers 27 17 juin 2005

(28)

2. Justifier l’égalité matricielle :

¡fn+1 gn+1¢

=¡ fn gn¢

×Aoù Adésigne la matrice :



0,6 0,4 0,1 0,9





3. Déterminer le pourcentage de fumeurs à la génération de rang 2.

4. Déterminer l’état probabiliste stable et l’interpréter.

5. Montrer que : pour tout entier natureln,fn+1=0,5fn+0,1.

6. On pose, pour tout entier natureln,un=fn−0,2.

a. Montrer que la suite (un) est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

b. Donner l’expression deunen fonction den.

c. En déduire que, pour tout entier natureln, fn=0,3×0,5ⁿ+0,2.

d. Déterminer la limite de la suite¡ fn¢

lorsquentend vers+∞et l’interpréter.

Sur la figure ci-dessous on donne les représentations graphiquesC₁etC₂de deux fonctionsf1etf2

définies et dérivables sur [0; 3].

0 1 2 3

O x

y

e−1 e

C₁

C₂

Figure 1

1. L’une des deux courbes représentées ci-dessous est la représentation graphique de la fonction f définie sur [0; 3] parf(x)=f1(x)−f2(x).

(29)

0

-1 1 2 3

1 2 3

O

O x

y

Figure 2 e

0

-1 1 2 3

1 2 3

O

O x

y e

Figure 3

e−1

Laquelle de ces deux courbes ne peut pas convenir ?

2. a. Donner le tableau de signes de la fonctionf sur l’intervalle [0; 3].

b. Donner le tableau de signes de la fonctionf^′dérivée def sur l’intervalle [0; 3].

3. On noteFune primitive def sur [0; 3]. Indiquer les variations deFsur l’intervalle [0; 3].

4. L’une des trois fonctions représentées ci-dessous est la représentation graphique d’une fonc- tionF.

0

-1 1 2 3

1 2 3

O

Figure 4

e²−3

2 e²−3

2

0

-1 1 2 3

1 2 3

O

Figure 5

e²−3 2

0

-1 1 2 3

1 2 3

O

Figure 6 Justifier que les courbes représentées sur les figures 5 et 6 ne peuvent pas convenir.

5. Donner la valeur exacte de Ze−1

0 f(x)dx.

6. Calculer, en unités d’aire, la valeur exacte de l’aire du domaine hachuré sur la figure 1.

Commun à tous tes candidats

Un club sportif a été créé en 1998; à l’origine le nombre d’adhérents était égal à 600.

Première partieÉtude du nombre d’adhérents de 1998 à 2004

On donne, dans le tableau ci-dessous, le nombre d’adhérents de 1998, à 2003 :

Année 1998 1999 2000 2001 2002 2003

rang de l’annéexi 0 1 2 3 4 5

nombre d’adhérentsyi 600 690 794 913 1 045 1 207

Centres étrangers 29 17 juin 2005

(30)

On poseY_i=ln¡ y_i¢

et on réalise un ajustement affine par la méthode des moindres carrés du nuage de points (xi ;Yi).

Une équation de la droite d’ajustement deY par rapport àxestY =0,14x+6,397.

En utilisant cet ajustement,

1. Déterminer une prévision du nombre d’adhérents en 2004.

2. Justifier les affirmations suivantes :

a. y_i=600×1,15^xⁱ; 600 a été arrondi à l’unité, 1,15 a été arrondi au centième.

b. De 1998 à 2004, on peut considérer que le nombre d’adhérents a augmenté de 15 % par an.

Deuxième partie :Étude du nombre d’adhérents à partir de l’année 2004 En fait le club a compté 2 400 adhérents lors de l’année 2004.

On considère la fonctionf définie sur [0 ;+∞[ par : f(x)= 3600

1+0,5e^−x.

On suppose que le nombre d’adhérents en (2004+n) est égal àf(n), oùnest un entier naturel.

1. Déterminer la limite de la suite (u_n) lorsquentend vers+∞et l’interpréter.

2. On se propose de calculer le nombre moyen d’adhérents M de 2005 à 2009 a. Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous :

Année 2005 2006 2007 2008 2009

n 1 2 3 4 5

f(n) 3 040

Les valeurs def(n) seront arrondies à l’unité

b. Calculer la valeur de M, moyenne du nombre prévisionnel d’adhérents entre 2005 et 2009 (le résultat sera arrondi à l’unité).

3. On considère la fonctionFdéfinie sur [0 ;+∞[ par : F(x)=3600ln¡

e^x+0,5¢ . a. Montrer queFest une primitive def sur [0 ;+∞[.

b. Calculer la valeur moyenneµdef sur l’intervalle [0,5; 5,5].

On pourra constater que les valeurs M etµsont proches.

(31)

[ Baccalauréat ES Métropole juin 2005 \

La courbe (C) donnée ci-contre est la courbe re- présentative d’une fonctionf définie et dérivable sur l’intervalle ]−3 ;+∞[.

On sait que le point A de coordonnées (0; 1) appartient à la courbe (C) et que la fonctionf admet un minimum pourx=0. En outre, les droites d’équa- tions respectivesy=4 etx= −3 sont asymptotes à la courbeC.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 101112131415-1 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

x y

4

1 O

−3

C A

Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles.

Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette réponsesur la feuille réponse fournie enANNEXE 1 (à rendre avec la copie).

Une réponse exacte rapporte 0,5 point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L’absence de réponse ne rapporte aucun point et n’en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

1.La limite de la fonctionf en+∞est :

• +∞

• −3

• 4 2. On note f^′ la fonction dérivée de la

fonctionf sur l’intervalle ]−3 ;+∞[ • f^′(0)=1

• f^′(1)=0

• f^′(0)=0 3.L’équation de la tangente à la courbe

(C) au point A est : • y=1

• y=x

• y=0 4.Sur l’intervalle ]−3 ; +∞[, l’équation

f(x)=x • n’admet aucune solution

• admet comme solution unique :x=0

• admet une solution unique appartenant à l’intervalle ]1; 2[

Dans les deux questions suivantes, on considère la fonctiong définie sur l’intervalle ]−3 ;+∞[ par g=ln◦f, où ln désigne la fonction logarithme népérien.

(32)

5.Six=0, alors

• on ne peut pas calculerg(x)

• g(x)=1

• g(x)=0 6. On peut affirmer que sur l’intervalle

]−3 ;+∞[ • ga les mêmes variations que la fonction ln

• ga les mêmes variations que la fonctionf

• ga les variations inverses de celles de la fonctionf

Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité

En 2004, une caisse de retraite propose à ses adhérents un barème de rachat d’un trimestre de cotisation des années antérieures selon le tableau suivant :

Âge de l’adhérent en années 54 55 56 57 58

Rangxi 0 1 2 3 4

Montantyi du rachat d’un tri-

mestre de cotisation en euros 2 229 2 285 2 340 2 394 2 449

(Source :CARMF mai 2004) 1. Calculer l’augmentation en pourcentage du montant du rachat d’un trimestre entre un salarié

de 54 ans et un salarié de 58 ans. On donnera le résultat arrondi à l’unité.

2. Sur votre copie, représenter le nuage de points associé à la série statistique¡ x_i;y_i¢

dans un repère orthogonal :

• sur l’axe des abscisses, on placera 0 à l’origine et on choisira 2 cm pour une unité ;

• sur l’axe des ordonnées, on placera 2 200 à l’origine et on choisira 1 cm pour 20 euros.

3. Dans cette question, les calculs effectués à la calculatrice ne seront pas justifiés.

Le nuage de points permet de penser qu’un ajustement affine est justifié.

Donner une équation de la droite de régression (D) de y enx, obtenue par la méthode des moindres carrés.

Représenter la droite (D) dans le repère précédent.

4. Quel serait avec cet ajustement affine le montant du rachat d’un trimestre pour un salarié âgé de 60 ans ?

5. En fait le montant du rachat d’un trimestre pour un salarié âgé de 60 ans est de 2 555 euros et le montant du rachat d’un trimestre après 60 ans est calculé de la façon suivante : à partir de 60 ans, le montant du rachat baisse de 3 % par an.

Calculer le montant du rachat d’un trimestre pour un salarié ayant 65 ans.

Candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité

Au 1^erjanvier 2005, une ville en pleine expansion avait une population de 100 000 habitants.

Un bureau d’étude fait l’hypothèse qu’à partir du 1^erjanvier 2005 :

(33)

Partie A : étude théorique

Pour tout entier natureln, on noteun le nombre d’habitants de cette ville au 1^erjanvier de l’année 2005+n.

Ainsi,u0=100000.

1. Calculeru1etu2.

2. Justifier que, pour tout entier natureln,un+1=1,05un+4000.

3. Pour tout entier natureln, on posevn=un+80000.

a. Calculerv0.

b. Montrer que (vn)n∈Nest une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

c. Exprimervnen fonction den.

En déduire queun=180000×(1,05)ⁿ−80000.

d. Calculer la limite de la suite (un)n∈N. Partie B

Le but de cette partie est de prévoir l’évolution de la population jusqu’en 2020, en utilisant le modèle théorique étudié à lapartie A.

1. Quel sera le nombre d’habitants de la ville au 1^erjanvier 2020?

2. À partir de quelle année la population de cette ville dépassera-t-elle 200 000 habitants ?

FORMULAIRE POUR L’EXERCICE 2

SUITES ARITHMÉTIQUES, SUITES GÉOMÉTRIQUES Suite arithmétique de premier termeu0∈Ret de raisona∈R:

Pour toutn∈N, un+1=un+a, un=u0+na.

Suite géométrique de premier termeu0∈Ret de raisonb∈R: Pour toutn∈N, un+1=bun, un=u0bⁿ.

Somme de termes :•1+2+...+n=n(n+1) 2

•Sib6=1 alors 1+b+b²+ ··· +bⁿ=1−bⁿ⁺¹ 1−b

Soitf la fonction définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par : f(x)=x−2+10e^−0,5x.

On note (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal et (D) la droite d’équationy=x−2. La courbe (C) est partiellement représentée enANNEXE 2.

1. Déterminer la limite de la fonctionf en+∞. 2. On poseα=2ln 5.

a. Montrer quef(α)=α.

Métropole 33 juin 2005

(34)

b. Donner une valeur approchée à 10⁻¹près deα.

3. On admet que la fonction f est dérivable sur l’intervalle [0 ;+∞[ et on note f^′ la fonction dérivée def sur cet intervalle.

a. Calculerf^′(x),pour toutxélément de l’intervalle [0 ;+∞[.

b. Étudier le signe def^′(x) sur l’intervalle [0 ;+∞[, et dresser le tableau de variations complet de la fonctionf sur cet intervalle.

4. Justifier que lim

x→+∞[f(x)−(x−2)]=0 et que, pour toutxde l’intervalle [0 ;+∞[, f(x)−(x−2)>0.

Donner l’interprétation graphique de ces résultats.

5. Sur le graphique donné enANNEXE 2 (à rendre avec la copie): a. placer le point de la courbe (C) d’abscisseα;

b. tracer la tangente à la courbe (C) au point d’abscisseα; c. tracer la droite (D).

6. On noteAl’aire (en unités d’aire) du domaine E délimité par la courbe (C), la droite (D) et les droites d’équations respectivesx=2 etx=6.

a. Hachurer sur le graphique, donné enANNEXE 2 (à rendre avec la copie), le domaine E, puis exprimer l’aireA à l’aide d’une expression faisant intervenir une intégrale.

b. Déterminer la valeur exacte de l’aireA, puis en donner la valeur arrondie au centième.

Une usine d’emballage de pommes est approvisionnée par trois producteurs. Le premier producteur fournit 70 % de l’approvisionnement de cette usine, le reste étant également partagé entre le deuxième producteur et le troisième.

Avant d’être emballées, les pommes sont calibrées par une machine pour les trier selon leur diamètre.

Les pommes dont le diamètre est conforme aux normes en vigueur sont emballées, les autres, dites

« hors calibre », sont rejetées.

Il a été constaté que 20 % des pommes fournies par le premier producteur sont hors calibre, 5 % des pommes fournies par le second producteur sont hors calibre et 4 % des pommes fournies par le troi- sième producteur sont hors calibre.

Chaque jour les pommes livrées par les différents producteurs sont entreposées dans le même hangar. Pour l’étude du problème qui suit, on convient qu’elles sont bien mélangées.

Un contrôle de qualité sur les pommes est effectué de la manière suivante : un contrôleur choisit de manière aléatoire une pomme dans ce hangar, puis mesure son diamètre pour déterminer si elle est de « bon calibre » ou « hors calibre ».

Un mercredi matin, un contrôle de qualité est effectué par le contrôleur de la manière décrite ci- dessus.

On appelleraF1l’évènement : « la pomme prélevée provient du premier producteur » F2l’évènement : « la pomme prélevée provient du deuxième producteur »

F3l’évènement : « la pomme prélevée provient du troisième producteur » Cl’évènement : « la pomme prélevée a un bon calibre »

Cl’évènement : « la pomme prélevée est hors calibre ».

(35)

2. Recopier sur votre copie et compléter l’arbre suivant :

F1

0,7

. . . C

F2

. . . C

F3

. . . C

3. Justifier que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre et provienne du troisième producteur est 0,144 0.

4. Montrer que la probabilité pour que la pomme prélevée ait le bon calibre est : 0,846 5.

5. La pomme mesurée est hors calibre. Le contrôleur affirme :

« Cette pomme provient très probablement du premier producteur ».

Quel calcul permet de justifier cette affirmation ? Faire ce calcul et conclure.

Métropole 35 juin 2005

(36)

ANNEXE 2 Exercice 2 À rendre avec la copie

Courbe représentative (C) sur l’intervalle [0; 8] de la fonctionf définie par :

f(x)=x−2+10e^−0,5x.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1 2 3 4 5 6 7 8 x

y

(37)

[ Baccalauréat ES La Réunion juin 2005 \

Commun tous les candidats

Au rayon « image et son » d’un grand magasin, un téléviseur et un lecteur de DVD sont en promotion pendant une semaine. Une personne se présente :

• la probabilité qu’elle achète le téléviseur est 3 5;

• la probabilité qu’elle achète le lecteur de DVD si elle achète le téléviseur est 7 10;

• la probabilité qu’elle achète le lecteur de DVD si elle n’achète pas le téléviseur est 1 10.

On désigne parTl’évènement : « la personne achète le téléviseur » et par L l’évènement : « la personne achète le lecteur de DVD ».

On noteraTetLles évènements contraires respectifs deTet deL.

1. Traduire les données de l’énoncé à l’aide d’un arbre pondéré.

2. Déterminer les probabilités des évènements suivants (les résultats seront donnés sous forme de fractions) :

a. « la personne achète les deux appareils » b. « la personne achète le lecteur de DVD »

c. « la personne n’achète aucun des deux appareils ».

3. Montrer que, si la personne achète le lecteur de DVD, la probabilité qu’elle achète aussi le téléviseur est 21

23.

4. Avant la promotion, le téléviseur coûtait 500(et le lecteur de DVD 200(. Pendant cette semaine, le magasin fait une remise de 15 % pour l’achat d’un seul des deux appareils et de 25 % pour l’achat des deux appareils. On désigne parDla dépense effective (en() de la personne.

a. Déterminer les valeurs possibles deD.

b. Déterminer la loi de probabilité deD. c. Calculer l’espérance mathématique deD.

d. Le responsable du rayon « image et son » prévoit qu’il se présentera dans la semaine 80 personnes intéressées par ces deux appareils. Quel chiffre d’affaires peut-il espérer effectuer sur la vente de ces deux appareils ?

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Le candi- dat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Une seule-réponse par question est acceptée et aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rap- porte0,5point. Une mauvaise réponse enlève0,25point. L’absence de réponse n’apporte ni n’enlève aucun point. Si le total des points est négatif, la note totale attribuée à l’exercice est0.