[ Baccalauréat STI 2005 \ L’intégrale de juin à novembre 2005

(1)

L’intégrale de juin à novembre 2005

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bleus

Métropole Arts appliqués juin 2005 . . . . ??

La Réunion Génie civil juin 2005 . . . . ??

Métropole Génie civil juin 2005 . . . . ??

Polynésie Génie civil juin 2005 . . . . ??

Métropole Génie civil septembre 2005 . . . . ??

Nouvelle-Calédonie Génie civil novembre 2005 . . . . ??

Antilles Génie électronique juin 2005 . . . . ??

Métropole Génie électronique juin 2005 . . . . ??

Polynésie Génie électronique juin 2005 . . . . ??

Antilles-Guyane Génie électronique septembre 2005 . . . . ??

Métropole génie électronique septembre 2005 . . . . ??

Nouvelle-Calédonie Génie électronique nov. 2005 . . . . ??

Antilles–Guyane Génie des matériaux juin 2005 . . . . ??

Métropole Génie des matériaux juin 2005 . . . . ??

Antilles-Guyane Génie des matériaux septembre 2005 . . . . ??

Métropole Génie des matériaux septembre 2005 . . . . ??

(2)

2

(3)

EXERCICE1

Lors d’un concours de karaoké, le public, composé de 450 jeunes, dont 150 garçons, a voté pour l’un des trois finalistes, Hatxi, Élodie et Machyl.

Les voix sont réparties de la façon suivante :

• 45 garçons ont voté pour Hatxi ;

•35 % des filles ont voté pour Élodie.

• Parmi les 165 jeunes qui ont voté pour Machyl, il y a 20 % de garçons.

1. Reproduire puis compléter le tableau suivant :

Hatxi Élodie Machyl Total

Garçons Filles Total

2. On choisit au hasard un jeune du public. On suppose que tous les choix sont équiprobables et on considère les évènements suivants :

A: « le jeune choisi est un garçon » ; B: « le jeune choisi a voté pour Machyl ».

Les résultats demandés seront donnés sous forme décimale arrondie au centième.

a. Calculer les probabilitésP(A) etP(B).

b. Définir par une phrase les évènements suivants :A∩BetA∪B.

c. CalculerP(A∩B), en déduireP(A∪B).

EXERCICE2

Un club sportif confie l’élaboration d’un logo à une agence. Celle-ci choisit un « drapeau » pour motif.

Partie A

On considère la fonctionf définie sur l’intervalle [−1 ; 1] par f(x)=x³−x+2.

Le plan est muni d’un repère orthonormal³ O ;−→

ı,−→

´

d’unité graphique 5 cm. On appelle C_f la courbe représentative def dans ce repère.

1. f^′désigne la fonction dérivée def ; calculerf^′(x).

2. Déterminer le signe def^′(x) sur [−1 ; 1] sachant quef^′(x)=3 µ

x+ 1 p3

¶µ x− 1

p3

¶

et dresser le tableau de variations def sur cet intervalle.

On indiquera pour f µ 1

p3

¶ et f

µ

− 1 p3

¶

des valeurs approchées décimales arrondies au cen- tième.

3. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant :

(on donnera des valeurs approchées décimales arrondies au centième).

x −1 −0,8 −0,6 −0,4 −0,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

f(x) 2,38 1,66

(4)

4. TracerC_f sur la feuille de papier millimétré.

5. Calculer l’intégrale I= Z1

−1f(x)dx.

Partie B

On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle [−1 ; 1] par g(x)=(x−1)e^x+2.

On appelleC_gla courbe représentative degdans le plan muni du repère³ O ;−→

ı ,−→

´ .

1. Montrer que pour tout réelx de l’intervalle [−1 ; 1],g^′(x)=xe^x oùg^′désigne la fonction dérivée deg.

2. Étudier le signe deg^′(x) sur [−1 ; 1] et dresser le tableau de variations deg.

3. Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on donnera des valeurs approchées décimales arrondies au centième).

x −1 −0,8 −0,4 0 0,4 0,6 0,8 1

g(x) 1,19 1,27

4. TracerC_gdans le même repère³ O ;−→

ı,→−

´

que précédemment.

5. On considère la fonctionGdéfinie sur l’intervalle [−1 ; 1] par G(x)=(x−2)e^x+2x.

a. Montrer queGest une primitive degsur [−1 ; 1].

b. Calculer l’intégrale J= Z₁

−1g(x)dx.

Partie C

La partie du planA limitée par les courbesC_f,C_g et par la droite d’équationx= −1 représente la toile du drapeau.

1. Placer les points P(−1 ; 2) et Q(−1 ; 0) puis tracer le segment [PQ] pour achever le motif.

2. On suppose que, pour toutxde l’intervalle [−1 ; 1], f(x)>g(x) et que l’aire de la partieA du plan est donnée, en unités d’aires, par A =

Z1

−1[f(x)−g(x)]dx.

a. Calculer la valeur exacte de A.

b. En déduire une valeur approchée à 10⁻²près de l’aire deA exprimée en cm².

Métropole 4 juin 2005

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[ Baccalauréat STI Génie mécanique, énergétique, civil \ La Réunion juin 2005

EXERCICE1 4 points

Une urne contient six billets numérotés de 1 à 6.

On tire au hasard deux billets successivement et sans remise. On suppose que tous les tirages sont équiprobables.

1. Chaque tirage peut être modélisé par un couple (a;b) de deux nombres distincts. Par exemple le tirage du billet numéroté 3 suivi du billet numéroté 5 sera noté (3; 5).

a. Justifier qu’il y a 30 couples possibles.

b. Soit A l’évènement : « les deux numéros tirés sont pairs ».

Vérifier que la probabilité de A est égale à1 5.

c. Calculer la probabilité de l’évènement B : « au moins l’un des numéros est impair ».

2. SoitD la variable aléatoire, qui à chaque tirage associe la différence entre le plus grand et le plus petit des deux nombres du couple. Ainsi au couple (3; 5) comme au couple (5; 3) la variable aléatoireDassocie le réel 5 - 3 = 2.

a. Quelles sont les valeurs possibles de la variable aléatoireD? b. Calculer les probabilitésP(D=1) etP(D=3).

c. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoireD.

d. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoireD.

Soit l’équation différentielle (E) :y^′′+9y=0, oùyest une fonction de la variablexdéfinie surR. 1. Résoudre l’équation différentielle (E).

2. La courbeC, donnée ci-dessous, représente une solution particulière notée f de l’équation différentielle (E). La courbeC passe par le point A(0; 1) et le coefficient directeur de la tangente en A à la courbeC est égal à−3p

3.

a. En déduire les valeurs exactes def(0) et def^′(0).

b. Déterminer cette solution particulièref. c. Vérifier que, pour tout réelx, f(x)=2cos³

3x+π 3

´.

3. a. Montrer que7π 18 et13π

18 sont deux solutions de l’équation, d’inconnuex, f(x)=0.

Déterminer deux autres solutions de cette équation.

b. Calculer la valeur moyenne de la fonctionf sur l’intervalle

·7π 18 ;13π

18

¸ .

(6)

-3 -2 -1 0 1 2 3

-2 -1 0 1 2

1 2 3

−1

−2

−3

−1

−2 1 2

0 1

x y

PROBLÈME 12 points

Soitf la fonction définie surRpar

f(x)=4−e⁻^x.

On appelleC la courbe représentantf dans un repère orthogonal³ O ;→−

ı,−→

´

d’unités graphiques 4 cm en abscisses et 2 cm en ordonnées.

Partie A : étude d’une fonction

1. a. Déterminer la limite def en−∞.

b. Déterminer la limite def en+∞. En déduire l’existence d’une asymptote∆à la courbeC et donner son équation.

2. a. Déterminer la dérivéef^′de la fonctionf et justifier son signe surR. b. Donner le tableau de variations def.

3. a. Résoudre surRl’équation d’inconnuex,f(x)=0.

b. Déterminer le signe def(x) suivant les valeurs dex.

4. Tracer la courbeCet la droite∆dans le repère³ O ;−→

ı,→−

´

défini ci-dessus.

Partie B : Résolution d’une équation

Soit (E) l’équation d’inconnue réellex:f(x)=2x+3.

1. Vérifier quex=0 est une solution de (E).

2. a. Tracer la droiteDd’équationy=2x+3 sur le même graphique que la courbeC. b. Justifier graphiquement l’existence d’une deuxième solution notéeαde l’équation (E).

Placerαsur l’axe des abscisses.

3. À l’aide de la calculatrice, déterminer un encadrement d’amplitude 10⁻³deα.

Partie C : Calcul d’une aire

La Réunion 6 juin 2005

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1. Hachurer le domaine plan limité par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équation x=αetx=0. On appelleAl’aire en cm²de ce domaine plan.

2. a. Vérifier queA=8 Z0

α

f(x)dx.

b. CalculerA en fonction deα.

c. En utilisant l’équation (E) de lapartie B, justifier que e⁻^α=1−2α.

En déduire queA= −16α.

d. à l’aide du résultat obtenu dans lapartie B, déterminer une valeur deA arrondie au dixième.

La Réunion 7 juin 2005

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[ Baccalauréat STI Métropole juin 2005 \ Génie mécanique, énergétique, civil

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.

Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct³ O ;→−

u,−→ v´

d’unité graphique 1 cm.

Le nombre i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. 1. a. Déterminer sous forme algébrique le nombre complexez1, vérifiant :

z1(1+i)+3+i=0.

b. Déterminer sous forme algébrique les nombres complexesz2etz3vérifiant le système :

½ 2z2+z3 = 5 z2+3z3 = −10i

2. Soient A, B et trois points du plan d’affixes respectiveszA=3+2i,zB= −1−4i etzC= −2+i.

a. Placer ces trois points dans le plan complexe.

b. Calculer, les longueurs AB, BC et CA.

c. En déduire la nature du triangle ABC, puis calculer son aire.

Le Comité des fêtes d’un village organise une loterie à l’aide de deux urnes.

L’urne U1contient trois boules rouges notéesR1,R2,R3et deux boules jaunes notéesJ1etJ2. L’urne U2contient quatre boules bleues notéesB1,B2,B3,B4et une boule verteV.

Pour participer à cette loterie, un joueur doit d’abord miser 3(. Il tire ensuite au hasard une boule dans U1, puis une boule dans U2. Les boules sont indiscernables au toucher. On suppose que tous les tirages de couples de boules sont équiprobables.

1. À l’aide d’un tableau ou d’un arbre montrer qu’il y a 25 couples de boules possibles.

2. Une boule rouge fait gagner 2(. Une boule jaune fait gagner 3(. Une boule bleue fait gagner 1(. La boule verte fait gagner 5(. À chaque tirage de 2 boules la variable aléatoire X associe le gain finalement réalisé par le joueur. Ainsi, en tenant compté de. la mise de 3(, le tirage d’une boule rouge et d’une boule verte occasionne finalement un gain de 4(.

a. Déterminer l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X.

b. Démontrer queP(X=5)= 2 25.

c. Présenter en tableau la loi de probabilité de la variable aléatoire X.

d. Quelle est la probabilité que le gain du joueur ne dépasse pas finalement 1(? 3. a. Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X.

b. Le Comité s’aperçoit que son jeu est déficitaire. Expliquer quelle est, en nombre entier d’euros, la mise minimale qu’il faudrait demander afin de rendre le jeu favorable au Co- mité.

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PROBLÈME 11 points L’objectif est de déterminer une fonction dont la représentation graphique est donnée sur la page annexe à joindre à la copie, puis d’étudier certaines propriétés de cette fonction.

Partie A

Sur la page annexe, on a représenté dans le plan muni d’un repère orthonormal³ O ;−→

ı,−→

´ d’unité graphique 2 cm, la courbeC d’une fonctionf définie surR.

La courbeC passe par les points de coordonnées A(0; 4) et B(−1,5 ; 1).

1. Donner les valeurs def(0) et def(−1,5).

2. On suppose que pour tout nombre réelx, f(x) s’écrit sous la forme suivante : f(x)=(ax+b)e⁻^x+1, oùaetbsont deux nombres réels.

Utiliser les résultats de la question1.pour déterminer la valeur des nombres réelsaetb.

Partie B

Dans toute la suite du problème on étudie la fonctionf définie surRpar f(x)=(2x+3)e⁻^x+1.

1. Déterminer la limite def en−∞.

2. a. Montrer que pour tout nombre réelx:f(x)=2x e^x + 3

e^x +1.

b. Déterminer alors la limite def en+∞.

En déduire que la courbeC a une asymptote (D) dont on donnera une équation.

c. Démontrer que cette asymptote (D) coupe la courbeC au point B.

d. Étudier, en le justifiant soigneusement, la position de la courbeC par rapport à la droite (D).

3. Prouver que la dérivée f^′de la fonctionf est définie pour tout nombre réelxpar : f^′(x)=(−2x−1)e⁻^x.

4. Étudier le signe def(x) surR, puis dresser le tableau de variations de la fonctionf. 5. Déterminer une équation de la droite (T) tangente à la courbeC au point A.

Partie C

1. On rappelle que, sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la courbe dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm.

Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbeC au point E d’abscisse (−0 ; 5).

Tracer sur la feuille annexe la tangente A.

Compléter cette figure en représentant l’asymptote (D) et la tangente (T).

Hachurer la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbeC et les droites d’équa- tionx= −1 etx=0.

2. Montrer que la fonctionFdéfinie par

F(x)=(−2x−5)e⁻^x+x est une primitive de la fonctionf surR.

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3. SoitAl’aire en cm²de la partie hachurée précédemment. Calculer la valeur exacte deA, puis en donner une valeur arrondie au centième.

Annexe du problème à rendre avec la copie

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

-1 0 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6

−1

−2

−1 1 2 3 4 5

0 1

b

A

B

O

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[ Baccalauréat STI Polynésie 8 juin 2005 \ Génie mécanique, énergétique, civil

On note i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. I. Résolution d’une équation

On considère l’équation (E) d’inconnuez:

z³−2z²+25z−50=0.

1. Vérifier que 2 est solution de l’équation (E).

2. En déduire que (E) peut s’écrire (z−2)¡

αz²+βz+γ¢

=0 oùα,β,γsont trois nombres réels que l’on déterminera.

3. Résoudre alors l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes.

II. étude d’une configuration du plan 1. Dans un repère orthonormé direct³

O ;−→ u,−→

v´

, unité graphique 1 cm, placer les points A et B d’affixes respectivesa=2 etb=5i.

2. Soit M le milieu du segment [AB]. Placer M dans le repère et déterminer son affixem.

3. Soit P le point d’affixep=7p 2 2 eⁱ^π⁴.

Donner l’écriture algébrique depet placer P dans le repère.

4. Démontrer que le triangle BMP est rectangle et isocèle.

Un mobile, de masse 1 kg, est attaché à un ressort dont la constante de raideur vautk=9 N/m.

Si l’on écarte le mobile de sa position d’équilibre O, il effectue des oscillations autour de cette position.

À chaque instantt, la position du mobile est repérée par son abscissef(t) dans le repère³ O;→−

ı´ . Les lois de la Physique montrent que la fonctionf est solution de l’équation différentielle (E) :1

9y^′′+y=0.

1. Trouver la solution générale de l’équation différentielle (E).

2. On suppose qu’à l’instant t=0, le mobile est au point f(0)= 0,5 m et a une vitesse initialef^′(0)=1,5 m/s.

Montrer que la fonctionf est définie par : f(t)=1

2(cos3t+sin 3t).

3. Vérifier que, pour tout nombre réelt:f(t)= p2

2 cos³ 3t−π

4

´. 4. Résoudre l’équationf(t)=0 dans l’intervalle [0 ;π].

5. À partir de l’instantt=0, au bout de combien de temps le mobile repassera-t-il pour la première fois à sa position d’équi- libre ? (On donnera la réponse arrondie au millième de seconde.)

O

−

→ı

f(t)

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PROBLÈME 10 points Partie APréliminaires

On appellef la fonction définie pour tout nombre réelxpar f(x)=(ax+b)e⁻^x

oùaetbsont deux nombres réels , qu’on se propose de déterminer.

On noteC sa courbe représentative dans un repère orthonormal³ O ;−→

ı ,→−

´

, unité graphique : 2 cm.

1. Sachant queC passe par Ie point A de coordonnées (0; 2) et admet en ce point une tangente parallèle à la droite d’équationy= −x, déterminerf(0) etf^′(0).

2. En déduire quea=1 et queb=2.

Partie BÉtude de la fonctionf 1. Étude des limites

a. Déterminer les limites def en+∞et en−∞.

b. En déduire la présence d’une asymptote à la courbeC et en donner une équation.

2. Étude des variations def

a. Déterminer la dérivéef^′def, puis étudier son signe.

b. Dresser le tableau de variations def. 3. Étude d’un problème de tangente

a. Déterminer une équation de la droite (T), tangente àC au point d’abscisse−2.

b. Factoriser l’expressionf(x)−xe²−2e²et en déduire son signe.

c. En déduire la position de la courbeC par rapport à la tangente (T).

4. Tracer dans le repère³ O ;−→

ı,→−

´

les tangentes et asymptote connues puis la courbeC.

Partie CUn calcul de volume

SoitS le solide obtenu par rotation de la courbeC autour de l’axe³ O−→

ı´

, sur l’intervalle [0; 3].

On se propose de calculer le volumeV du solideS. On rappelle queV =

Z₃

0 π[f(x)]²dxen unités de volume.

1. SoientgetGles fonctions définies pour tout nombre réelxpar : g(x)=(x+2)²e⁻^2x et G(x)=

µ

−1 2x²−5

2x−13 4

¶ e⁻^2x. Montrer queGest une primitive degsurR.

2. CalculerV en cm³.¡

On donnera la valeur exacte du résultat puis une valeur arrondie au mm³¢ .

Polynésie 12 8 juin 2005

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[ Baccalauréat STI Métropole septembre 2005 \ Génie mécanique, civil, énergétique

Une feuille de papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

1. Soit (E) l’équation différentielle

y^′= −1 ay

oùyest une fonction de la variablexdéfinie et dérivable surRetaune constante réelle non nulle. Résoudre cette équation.

2. Déterminer la solutionpde (E) qui vérifiep(0)=1.

3. La pression atmosphérique de l’air (en bar) à l’altitudex(en mètre) au-dessus du niveau de la mer est donnée par

p(x)=e⁻^x^a.

a. Déterminer la constanteasachant que la pression au sommet de l’Éverest à l’altitudex= 8848 est de 0,331 bars.

On arrondiraaà l’entier le plus proche.

b. On prenda=8003. On mesure, en un lieu, une pression atmosphérique de 0,548 bars, Calculer l’altitude du lieu.

On désigne pat i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. Le planP est rapporté à un repère orthonormal³

O ;→− u,−→

v´

On considère les points A, B et C d’affixes respectives zA= −1−i, zB=3p

2eⁱ^π⁴ et zC=7−i.

1. a. ÉcrirezBsous forme algébrique.

b. Placer les points A, B et C dans le planP.

2. Déterminer les longueurs AB, AC, BC et en déduire la nature du triangle ABC.

3. Déterminer l’affixe du point D tel que le quadrilatère ABCD soit un carré.

4. Soit I le point d’affixezI=3−i.

On considère l’ensemble (E) des pointsMdeP dont l’affixezvérifie

|z−(3−i)[=4.

a. Les points A, B, C et D appartiennent-ils à (E) ? b. Quelle est la nature de (E) ?

c. Tracer l’ensemble (E).

(14)

PROBLÈME 11 points Partie A

Soitgla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par g(x)=lnx− 1

x²+1.

1. a. Montrer que la dérivéeg^′de la fonctiongest définie sur ]0 ;+∞[ par

g^′(x)=x²+2 x³ .

b. Montrer que la fonctiongest strictement croissante sur ]0 ;+∞[.

2. a. Calculerg(1).

b. En déduire que

½ g(x)>0 pour x>1 g(x)<0 pour 0<x<1.

Partie B

On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par f(x)=xlnx+1

x.

On appelleΓ sa courbe représentative dans un repère orthonormal³ O ;→−

ı,−→

´

1. a. On admet que lim

x→0xln(x)=0; déterminer la limite def(x) lorsquextend vers 0; en déduire queΓadmet une asymptote verticale que l’on précisera.

b. Déterminer la limite def(x) lorsquextend vers+∞.

2. a. Montrer que la fonction dérivéef^′de la fonctionf est définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par f^′(x)=g(x).

b. À partir des résultats de lapartie Adresser le tableau de variations def. 3. Tracer la courbeΓ.

Partie C

SoitHla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par H(x)=x²

2 lnx+lnx−x² 4 .

1. ComparerH^′(x) etf(x). En déduire une primitive de la fonctionf sur ]0 ;+∞[.

2. Montrer que Z_e

1 f(x) dx=e²+5 4 .

3. Calculer l’aire exprimée en cm²de la partie du plan délimitée par la courbeΓ, l’axe des abscisses et les droites d’équationx=1 et=e.

On donnera la valeur exacte, puis approchée à 1 mm²près par excès.

Métropole 14 septembre 2005

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[ Baccalauréat STI novembre 2005 Nouvelle-Calédonie \ Génie Mécanique - Génie énergétique - Génie Civil

Un formulaire de mathématiques est distribué en même temps que le sujet. Une feuille de papier mil- limétré sera mise à la disposition des candidats.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct³ O ;−→

u,→− v

´, unité graphique 2 cm.

On note i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. 1. Résolution d’une équation.

a. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : z²−2p

3z+4=0 b. Calculer le module et un argument de chacune des solutions.

SoientAetMles points d’affixes respectivesa=p

3+i etm=p 3−i.

2. Mise en place d’une configuration géométrique.

a. PlacerAetMdans le repère³ O ;−→

u,→− v´

, en indiquant une méthode de construction.

b. On appelleBetCles points d’affixes respectivesb=iaetc=ib.

Calculerbetcsous forme algébrique, puis placerBetCdans le repère³ O ;−→

u,→− v

´. c. Démontrer que le triangleABCest rectangle et isocèle.

d. Déterminer l’affixe du pointDtel queABC Dsoit un carré. PlacerDsur la figure.

3. SoientN etPles points d’affixes respectivesn=e^2iπ³ metp=e^2iπ³ n a. Déterminer la forme algébrique den, puis démontrer queP=C.

b. Démontrer que le triangleM N Pest équilatéral.

4. Calculer en cm²l’aire du carréABC D, puis l’aire du triangleM N P. On donnera les valeurs exactes puis les valeurs approchées à l’unité.

Un sac contient des boules indiscernables au toucher : 1 boule rouge, 3 boules jaunes etn boules noires. (ndésigne un entier naturel strictement positif).

Un club sportif organise un jeu consistant, pour chaque joueur, à prélever dans le sac une boule au hasard. Si la boule tirée est rouge, le joueur reçoit 5(, si la boule est jaune, il reçoit 2(et si la boule est noire, il reçoit 1(. Pour participer au jeu, le joueur doit acheter un billet d’entrée coûtant 1,70(. On noteXn la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée dans le sac, associe le gain algébrique du joueur c’est à dire la somme reçue diminuée du prix du billet.

1. Dans cette question seulement, on supposen=6.

a. Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoireX₆? b. Déterminer la loi de probabilité de la variable a aléatoireX6. c. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoireX6.

Dans toute la suite de l’exercice, on suppose que l’entier naturelnest quelconque.

2. Étude de la variable aléatoireXn.

(16)

a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoireXn.

b. Déterminer en fonction denl’espérance mathématique de la variable aléatoireXn

c. Le club souhaite que l’espérance deXnsoit strictement négative. Quel doit être le nombre minimal de boules noires contenues dans le sac pour que cette condition soit remplie ?

Le plan est rapporté à un repère orthonormal³ O ;−→

ı ,→−

´

, unités graphiques : 2 cm en abscisses et 1 cm en ordonnées.

Partie A :

On appellef la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : f(x)=1

x+lnx.

On appelleCsa courbe représentative dans le repère³ O ;−→

ı ,→−

´ . 1. Déterminer la limite def en+∞.

2. étude de la limite def en 0 a. En utilisant le résultat : lim

x→0xlnx=0, déterminer la limite def en 0.

b. En déduire queCadmet une asymptote dont on donnera une équation.

3. Étude des variations def.

a. Calculerf^′(x) pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[.

b. Étudier le signe def^′(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[ et dresser le tableau de variation def. 4. TracerCdans le repère³

O ;−→ ı,→−

´ .

Partie B :

kdésigne un entier naturel non nul. On appellegla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par g(x)=1

x+klnx.

On appelleC_kla courbe représentative degdans le repère³ O ;→−

ı,−→

´

. En particulier la courbeC₁_est la courbe tracée à la fin de la première partie.

1. Étude des variations deg.

a. Calculerg^′(x) pour tout réelxappartenant à l’intervalle ]0 ;+∞[

b. Démontrer queg^′(x) s’annule pourx=1

k. Exprimerg µ1

k

¶

en fonction dek.

c. Étudier le signe deg^′(x) sur l’intervalle ]0 ;+∞[ et dresser le tableau de variations deg. On admettra quegadmet en 0 comme en+∞les mêmes limites quef.

2. On posexk=1

k etyk=g µ1

k

¶

. On appelleSkle point deC_kde coordonnées¡ xk;yk

¢. a. Déterminer la limite de la suite (xk).

b. Déterminer la limite de la suite¡ yk

¢.

c. Vérifier que, pour tout entier naturel non nulk, le pointSkest situé sur la courbeΓd’équa- tiony=1+lnx

x .

Nouvelle-Calédonie 16 novembre 2005

(17)

Partie C :

1. SoitHla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : H(x)=xlnx−x.

Déterminer la fonction dérivée deHet en déduire une primitive de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

2. Calcul d’aire.

a. Démontrer que la fonctionf est positive sur l’intervalle [1 ; 2].

b. Calculer l’aire du domaine plan compris entre la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équationx=1 etx=2. On donnera le résultat final arrondi au mm².

Nouvelle-Calédonie 17 novembre 2005

(18)

[ Baccalauréat STI Génie électronique Antilles \ juin 2005

Soit (E) l’équation différentielle : 9y^′′+π²y=0 oùydésigne une fonction de la variable réellexdéfinie et deux fois dérivable surRety^′′sa fonction dérivée seconde.

1. Résoudre l’équation (E).

2. Déterminer la solution particulièref de (E) dont la courbe représentative passe par le point A de coordonnées¡

0 ;p 3¢

et admet en ce point une tangente parallèle à la droiteDd’équation y= −π

3x.

3. Montrer que, pour tout réelx, f peut s’écrire sous la forme :f(x)=2cos³π 3x+π

6

´. 4. Déterminer la valeur moyenne de la fonctionf sur l’intervalle [0; 3].

Le plan est muni d’un repère orthonormal³ O ;−→

u,−→ v´

On note i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. Soit le nombre complexez=1−ip

3 et soit A le point d’affixez.

1. Calculer le module et un argument dez, donner leur interprétation géométrique puis en utilisant ces deux valeurs, placer le point A.

2. On considère les points B et C d’affixes respectivesz²et2 z.

a. Calculer le module et un argument de chacun des nombres complexesz²et2 z. b. Écrire sous forme algébrique les nombres complexesz²et2

z. c. Placer dans le plan les points B et C.

3. Montrer que les points A, B et C appartiennent à un cercle dont le centreΩa pour affixeω=

−3 2−i

p3 2 .

Le plan est rapporte à un repère orthonormal³ O ;→−

ı,−→

´

On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]−3 ; 2[ parf(x)=ln¡

ax²+bx+c¢ . On appelleC sa courbe représentative.

Partie A

Le but de cette partie est de déterminer les réelsa betc.

1. Montrer que : pour toutx∈]−3 ; 2[, f^′(x)= 2ax+b ax²+bx+c.

(19)

2. a. Traduire les données ci-dessous par des relations entrea,betc.

• La courbeC passe par les points A(0 ; ln6) et B µ

−1 2; 2ln

µ5 2

¶¶

.

• Au point B, la courbeC admet une tangente horizontale.

b. Déterminera,betc.

Partie B - étude de la fonctionf Soitgla fonction définie surRpar

g(x)= −x²−x+6

etf la fonction de la partie A définie sur ]−3 ; 2[ parf(x)=ln[g(x)]. La courbeC représentative def dans le repère précédent est donnée enANNEXE.

1. a. Étudier le signe degsurR.

b. Déterminer les limites suivantes : lim

x→−3 x>−3

f(x) et lim

x→2 x<2

f(x).

c. En déduire les équations des asymptotes à la courbeC 2. Montrer que : pour toutx∈]−3 ; 2[, f^′(x)=−2x−1

g(x) .

3. Étudier le signe def^′(x), puis dresser le tableau de variations def. 4. Déterminer une équation de la tangente âC au point d’abscisse 0.

5. a. Montrer que, sur l’intervalle [0; 1,9], l’équationf(x)=0 admet une unique solutionx0. b. À l’aide de la calculatrice, donner un encadrement dex0d’amplitude 10⁻².

Partie C - Calcul d’aire

SoitFla fonction définie sur ]−3 ; 2[ par :

F(x)=(x+3)ln(x+3)+(x−2)ln(−x+2)−2x.

1. Montrer queFest une primitive def sur ]−3 ; 2[.

2. a. Préciser à l’aide du graphique le signe def sur l’intervalle [0; 1].

b. Calculer la valeur exacteA (en unités d’aire), de l’aire de la partie du plan comprise entre la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équationx=0 etx=1.

ANNEXE : courbeCreprésentative de la fonction f

-3 -2 -1 0 1 2

-3 -2 -1 0 1 2 3

−

→ı

−

→

O C

Antilles 19 juin 2005

(20)

[ Baccalauréat STI Génie électronique Métropole \ juin 2005

1. Le nombre i est le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. On considèreP(z)=z³−4z²+6z−4 oùzest un nombre complexe.

a. CalculerP(2).

b. Déterminer les nombres réelsa,betctels queP(z)=(z−2)¡

az²+bz+c¢ . c. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexesCl’équationP(z)=0.

2. Le plan est muni d’un repère orthonormal direct³ O ;−→

u,→− v´

d’unité 5 cm.

a. Placer les points A, B et C d’affixes respectiveszA=2,zB=1+i,zC=1−i.

b. Déterminer le module et un argument dezA,zBetzC.

c. Montrer que C est l’image de B par une rotation de centre O dont on précisera l’angle.

d. Déterminer les affixes des points I et J, milieux respectifs des segments [OA] et [BC].

e. Quelle est la nature du quadrilatère OBAC ? Justifier la réponse.

1. On considère la fonctionf définie sur l’ensembleRdes nombres réels par f(x)=3x−1+ 1

e^2x.

a. Montrer que la fonction dérivéef^′est telle quef^′(x)=3e^2x−2 e^2x .

b. Résoudre l’équationf^′(x)=0, puis justifier l’existence d’un minimum et en donner la valeur exacte.

c. Dresser le tableau de variations def (les limites en−∞et+∞ne sont pas demandées).

2. On considère l’équation différentielle (E) :y^′+2y=6x+1 oùyest une fonction de la variable réellexety^′sa dérivée.

a. Résoudre l’équation différentielley^′+2y=0.

b. Démontrer que la fonctiongdéfinie surRparg(x)=3x−1 est solution de l’équation (E).

c. Vérifier que la fonctionf est solution de (E) et quef(0)=0.

Partie A : étude d’une fonction auxiliaire

On donne dans le plan muni d’un repère orthonormal³ O ;→−

ı,−→

´

la représentation graphiqueΓ d’une fonctiong, définie, dérivable et strictement croissante sur l’intervalle ]0 ;+∞].

La droite T passant par O et A(1; 1) est tangente en A à la courbeΓ.

La courbeΓadmet pour asymptote verticale l’axe des ordonnées.

(21)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

−2

−3

−4

−1

−2

−3

−4 1 2 3 4 5

−

→ı

−

→

Γ T

1. Déterminer graphiquement :

a. lim

x→0g(x) b. g(1) c. g^′(1).

2. On admet que, pour tout réel de l’intervalle ]0 ;+∞], g(x)=lnx+a

x+ b

x², oùaetbsont deux nombres réels.

a. Exprimerg(1) etg^′(1) en fonction deaetb.

b. Détermineraetben utilisant les résultats précédents.

3. On suppose quegest définie sur ]0 ;+∞] parg(x)=lnx+2 x− 1

x².

a. Montrer que l’équationg(x)=0 admet une solution uniqueαdans l’intervalle [0,2; 0,8] ; déterminer un encadrement deαd’amplitude 0,01 et en déduire une valeur approchée de αà 10⁻²près par excès.

b. En déduire, en utilisant le sens de variations deg, le signe deg(x) sur ]0 ;+∞].

Partie B : étude d’une fonction

Soitf la fonction définie sur ]0 ;+∞] par f(x)=e^x

µ lnx+1

x

¶ .

On noteC la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormal

³O ;−→ ı ,→−

´ .

1. a. Déterminer la limite def en+∞.

b. Vérifier que l’on peut écrire, pour toutx, appartenant à l’intervalle ]0 ;+∞], f(x)=e^x

x(xlnx+1).

c. En déduire la limite def en 0 (on admettra que lim

x→0xlnx=0).

(22)

2. a. Déterminer la fonction dérivéef^′de la fonctionf et vérifier que, pour tout réelxde l’intervalle ]0 ;+∞[, f^′(x)=g(x)e^x.

b. En utilisant le signe deg obtenu précédemment, étudier le sens de variations de f sur ]0 ;+∞[.

3. a. Déterminer une équation de la tangente∆à la courbeC au point d’abscisse 1.

b. Sur la feuille annexe jointe, à rendre avec la copie, on a représenté la courbeC. Sur cette figure, tracer la droite∆.

Partie C : Calcul d’une aire

1. On noteaun nombre réel tel que 0<a<1.

a. Montrer que la fonctionh, définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par h(x)=e^xlnxest une primitive de la fonctionf sur ]0 ;+∞[.

b. En déduire que Z1

a

f(x)dx= −e^alna.

2. D désigne la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe C et les droites d’équationsx=1

2 etx=1.

a. Sur la feuille annexe, hachurer le domaineD.

b. Calculer la valeur exacte de la mesure, exprimée en unités d’aire, de l’aire deD.

(23)

Feuille annexe

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

−2

−3

−4

−5

−6

−1 1 2 3 4 5 6 7 8

0 1

−

→ı

−

→

(24)

8 juin 2005

Un établissement scolaire propose à chaque élève des sorties culturelles. Celles-ci sont de trois types : théâtre, sport ou cinéma.

On considère que chaque élève choisit de façon aléatoire deux sorties culturelles. On suppose l’équi- probabilité des choix.

1. On s’intéresse aux différents choix possibles qui s’offrent à un élève. Ainsi participer à une sortie sport et une sortie théâtre correspond au choix [S ; T]. De même participer à deux sorties cinéma correspond au choix [C ; C]. On ne tient pas compte de l’ordre des sorties. Dresser la liste des six choix possibles.

2. Une sortie théâtre coûte 12(, une sortie sport coûte 8(et une sortie cinéma coûte 4(. On définit une variable aléatoireX qui, à chaque choix, associe la dépense totale pour l’élève.

Ainsi, au choix [S ; T], la variable aléatoireXassocie 20.

a. Déterminer l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoireX.

b. Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant, donnant la loi de probabilité de la variable aléatoireX:

xi

P[X=xi]

c. Calculer l’espérance mathématiqueE(X) de la variable aléatoireX. Que représenteE(X) ?

La figure sera construite sur la copie et complétée au fur et à mesure de la résolution de l’exercice. On note i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ

2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal³

O ;−→ u,→−

v´

Soit A le point d’affixezAde module 1 et d’argument π

3, B le point d’affixezBégale à i et C le point d’affixezCégale à 1.

1. a. Placer les points A, B et C (la construction du point A se fera uniquement avec le compas et on laissera apparents les traits de construction sur la copie).

b. Construire le pointEtel que−−→OE=−−→OA+−−→OB.

c. Prouver que le quadrilatère OAEB est un losange.

2. On notezEl’affixe du pointE. écrire le nombre complexezAsous forme algébrique, en déduire quezE=1

2+2+p 3 2 i.

3. a. On considère l’application f définie dansCparf(z)=e⁻ⁱ^π⁶z. Caractériser la transforma- tion géométriquerassociée àf.

b. Le pointE^′est l’image du pointEpar la transformationr. On notezE^′l’affixe du pointE^′. Sachant qu’un argument dezE est5π

12 justifier qu’un argument dezE^′estπ

4 et construire le pointE^′.

(25)

PROBLÈME 11 points Partie A

Soit une fonctionf définie sur l’intervalle ]−1 ;+∞[ dont la courbe représentativeCest tracée dans l’annexe 1 (à remettre avec la copie). Les droitesD₁etD₂sont asymptotes à la courbeC.

1. Déterminer une équation de chacune des droitesD₁etD₂. 2. En déduire lim

x→−1 x>−1

f(x) et lim

x→+∞f(x).

3. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l’équation f(x)=0.

Partie B

La fonction de lapartie Aest définie sur l’intervalle ]−1 ;+∞[ par f(x)= 2x

x+1−e⁻^x. 1. a. Retrouver par le calcul lim

x→+∞f(x).

b. Retrouver par le calcul lim

x→−1 x>−1

f(x).

2. a. On notef^′la dérivée de la fonctionf, déterminerf^′(x) et étudier son signe sur l’intervalle ]−1;+∞[.

b. En déduire le tableau de variations de la fonctionf sur cet intervalle.

c. Déterminer une équation de la tangenteT à la courbeC au point A d’abscisse zéro ; tracer cette tangenteT sur l’annexe 1 (à remettre avec la copie).

3. Montrer que l’équationf(x)=0 admet dans l’intervalle [0; 1] une solution uniqueαet donner une valeur du nombre réelα, arrondie à 10⁻².

Partie C

1. Montrer que pour toutxde l’intervalle ]−1 ;+∞[ on a : f(x)=2− 2

x+1−e⁻^x.

2. Déterminer une primitiveFde la fonctionf sur l’intervalle ]−1 ;+∞[.

3. En déduire la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [0; 2]. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à 10⁻¹.

Polynésie 25 8 juin 2005

(26)

[ Baccalauréat STI Génie électronique Antilles \ septembre 2005

Un professeur d’Éducation Physique et Sportive s’adresse à un groupe de vingt élèves au sujet de leurs loisirs : intérêt pour le football dans la pratique de ce sport ou comme spectacle à la télévision.

Parmi ces vingt élèves, on sait que quinze regardent des matches à la television, huit pratiquent ce sport et cinq font les deux.

1. Montrer que deux élèves dans ce groupe ne s’intéressent au football ni dans la pratique, ni à la télévision.

2. Un élève de ce groupe est choisi au hasard.

a. Quelle est la probabilité qu’il ne s’intéresse au football ni dans la pratique ni à la télévision ? b. Quelle est la probabilité qu’il s’intéresse au football à la télévision sans le pratiquer ? 3. On interroge au hasard un élève qui regarde les matches à la télévision.

Quelle est la probabilité qu’il pratique le football ?

4. On attribue au hasard un numéro à chacun des vingt élèves. Une urne comporte 20 jetons avec les numéros en question.

On tire deux fois au hasard un jeton en le remettant dans l’urne après le premier tirage.

À chaque tirage, l’élève désigné gagne un billet d’entrée au match de son choix à condition qu’il pratique le football et le suive à la télévision.

a. Déterminer le nombre total de tirages de deux jetons.

b. Déterminer le nombre total de tirages permettant d’obtenir deux billets.

c. Soit X la variable aléatoire définie par le nombre de billets gagnants.

Définir la loi de probabilité de X et son espérance mathématique.

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions suivantes, au moins une réponse est exacte. Indiquer la (ou les) réponse(s) exacte (s) sur votre copie. Aucune justifica- tion n’est demandée.

1. On considère l’équation différentielley^′= −2+lnx. Parmi les courbes ci-dessous, où la droite T représente chaque fois la tangente à la courbe considérée au point d’abscisse 1, quelle est celle susceptible de représenter une solution de cette équation différentielle ?

(27)

a.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

T

e² O −→

ı

−

→

b.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

T

e² O −→

ı

−

→

Antilles-Guyane 27 septembre 2005

(28)

c.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2

T

e² O −→

ı

−

→

2. Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormal direct ³ O ;−→

ı,−→

´

, on considère les points A et B d’affixes respectivesZA= −1+i etZB=I+i.

On appelleC le cercle de centre A et de rayon I etC′le cercle de centre B et de rayon I.

Soitnun entier naturel non nul etZn= Ã

− p2

4 − p2

4 i

!n

.

Pour quelles valeurs den, parmi celles proposées ci-dessous, l’image deZnappartient-elle au domaine grisé ?

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1 0 1 2 3

O

A B

−

→u

−

→v

C C′

a. n=1.

b. n=2.

c. n=3.

3. La solution particulièref, définie surR, de l’équation différentielle y^′′+9y=0

telle quef(π)= −p

3 etf^′(π)=3 est : a. f(x)=p

3cos(3x)−sin(3x).

b. f(x)= −p

3cos(3x)+3sin(3x).

(29)

c. f(x)=3sin³x 3

´ +p

3cos³x 3

´.

4. Soitf la fonction définie surRparf(x)=e^2x.

La valeur moyenneµde la fonctionf sur l’intervalle [ln 5 ; ln10] est : a. µ=2ln 2

75 . b. µ= 75

2ln 5. c. µ= 75

ln4.

Partie A

On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : g(x)=x²+1−2lnx.

1. On désigne parg^′la fonction dérivée deg.

Déterminerg^′(x) et étudier son signe sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

2. Dresser le tableau de variations de la fonctiong.

(L’étude des limites aux bornes de l’ensemble de définition n’est pas demandée.) 3. Calculerg(1). En déduire quegest strictement positive sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

Partie B

On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[, par : f(x)=

µ 1+ 1

x²

¶ lnx.

Le plan est muni d’un repère orthogonal³ O ;→−

ı,−→



´d’unités graphiques graphiques 2 cm sur l’axe des abscisses et 4 cm sur l’axe des ordonnées.

On désigne parC la courbe représentative def et parΓla courbe d’équationy=lnx.

1. Déterminer la limite de la fonctionf en zéro. Que peut-on en déduire pour la courbeC? 2. Déterminer la limite de la fonctionf en+∞.

3. On désigne parf^′la fonction dérivée def.

a. Montrer que, pour tout réelxstrictement positif : f^′(x)=g(x)

x³ .

b. Étudier le signe def^′(x) et dresser le tableau de variations de la fonctionf. 4. On définit sur l’intervalle ]0 ;+∞[, la fonctionhpar :

h(x)=f(x)−lnx.

a. Déterminer la limite en+∞de la fonctionh.

b. Étudier le signe de la fonctionhsur l’intervalle ]0 ;+∞[.

En déduire la position relative de la courbeC et de la courbeΓ.

5. Déterminer une équation de la tangente∆à la courbeC au point A d’abscisse 1.

6. Tracer les courbesC,Γet la droite∆dans le repère³ O ;−→

ı,−→

´ .

(30)

Partie C

1. SoitHla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[, par : H(x)= −

µ1+lnx x

¶ . Montrer queHest une primitive dehsur l’intervalle ]0 ;+∞[.

2. Soitαun nombre réel strictement supérieur à 1.

Calculer l’aireA(α), en cm², du domaine limité par la courbeC, la courbeΓet les droites d’équationsx=1 etx=α.

3. Déterminer la limite deA(α) quandαtend vers+∞.

(31)

[ Baccalauréat STI Métropole septembre 2005 \ Génie électronique, électrotechnique, optique

Une feuille de papier millimétré est mis à la disposition des candidats.

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d’argumentπ 2. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct³

O ;−→ u,−→

v´

d’unité 2 cm.

Γest le cercle de centre O et de rayon 1.

A est le point d’affixea= p3

2 −1 2i.

1. Démontrer que le point A appartient au cercleΓ.

2. Soitrla transformation qui, à tout pointMd’affixez, associe le pointM^′d’affixez^′=e⁻ⁱ^π³z.

a. Démontrer que l’affixebdu point B image de A parrest égal, à−i.

b. Le point B appartient-il au cercleΓ?

c. Démontrer que le triangle OAB est équilatéral.

3. Donner l’affixecdu point C diamétralement opposé au point A sur le cercleΓ.

4. Soit tla transformation du plan qui, à tout point Md’affixe z, associe le pointM^′ d’affixe z^′=z+

p3 2 −1

2i.

Démontrer que l’affixeddu point D image de C par la transformationtest égale à i.

5. Tracer le cercleΓet placer les points A, B, C, D dans le repère³ O ;−→

u,→− v´

. 6. Démontrer que le quadrilatère ABCD est un rectangle.

a. Écrire le nombre complexeasous forme exponentielle.

b. Déterminer la forme algébrique dea⁶. c. Le point d’affixea⁶appartient-il àΓ?

Un circuit est composé d’une bobine d’inductanceL, mesurée en farads, d’un condensateur de ca- pacité C, mesurée en henrys, et d’un interrupteur. L’unité de temps est la seconde

L C

u(t) i(t)

(32)

On sait que :

C=125·10⁻⁶et L=200·10⁻³.

À l’instantt=0, on ferme l’interrupteur, le circuit est alors parcouru par un courant.

On désigne parq(t) la charge, mesurée en coulombs, du condensateur,i(t), l’intensité, mesurée en ampères, du courant qui parcourt le circuit etu(t) la tension, mesurée en volts, aux bornes de la bobine à l’instantt.

À l’instantt=0, la charge du condensateur, mesurée en coulombs, est 10⁻³et l’intensité du courant qui parcourt le circuit est nulle. On a donc les conditions initiales suivantes :q(0)=10⁻³etq^′(0)=0.

1. On admet que la charge du condensateur est solution de l’équation différentielle (E) : q^′′(t)+ 1

LCq(t)=0.

a. Résoudre l’équation différentielle (E).

b. Démontrer que l’unique solution de l’équation différentielle (E) vérifiant les conditions initiales est la fonctionqdéfinie parq(t)=10⁻³cos(200t) oùtest un réel positif.

2. Les fonctionsi etudéfinies dans le préambule vérifient pour toutt:i(t)= −q^′(t) etu(t)=

−L^′(t), oùi^′est la dérivée dei.

a. Montrer que, pour toutt,u(t)= −8cos(200t).

b. La tension efficace U_effaux bornes de la bobine est définie par : (Ueff)²=100

π Z₁₀₀^π

0 [u(t)]²dt.

Déterminer la valeur exacte de Ueff

µ

on pourra utiliser la relation cos²a=1+cos 2a 2

¶ .

A. étude d’une fonction auxiliaire

On considère la fonctiongdéfinie sur l’ensemble des réels par g(x)=3

2e^2x−5e^x. 1. Montrer que :g(x)=e^x

µ3 2e^x−5

¶ . 2. Étudier le signe deg(x) surR.

B. Étude def et tracé de sa courbe représentative Soit la fonctionf définie surRpar

f(x)=3

2e^2x−5e^x−2x+1.

On noteC sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthogonal³ O ;−→

ı ,→−

´

d’unités graphiques : 2 cm sur l’axe des abscisses et 1 cm sur l’axe des ordonnées.

1. Vérifier que pour tout réelx:

f(x)=e^x µ3

2e^x−5−2x e^x + 1

e^x

¶ . En déduire la limite def en+∞.

(33)

2. a. Déterminer la limite def en−∞.

b. Montrer que la droiteDd’équationy= −2x+1 est une asymptote à la courbeC au voisi- nage de−∞.

c. Montrer que pour tout réelx,g(x)=f(x)−(−2x+1).

En déduire la position de la courbeC par rapport à la droiteDsurR. 3. a. Calculerf^′(x) et vérifier que, pour tout réelx,

f^′(x)=¡

3e^x+1¢¡

e^x−2¢ . b. Étudier le signe def^′(x) et dresser le tableau de variations def.

On précisera la valeur exacte du minimum.

4. a. Résoudre dansRl’équation 3e^2x−5e^x=0.

b. En déduire qu’il existe un unique point A de la courbeC où la tangenteTest parallèle à la droiteD.

5. a. Montrer que l’équationf(x)=0 admet une solution uniqueαdans l’intervalle [1 ; 2].

b. Donner un encadrement deαd’amplitude 10⁻². 6. Sur une feuille de papier millimètre, tracerD,T etC. C. Calcul d’aire

On considère le domaine∆du plan compris entre la droiteD, la courbeC_f et les droites d’équations x=0 etx=λoùλest un réel strictement négatif.

On noteA(λ) la mesure, exprimée en unités d’aire, de l’aire de ce domaine.

1. Hachurer sur le graphique le domaine∆.

2. Démontrer que, pout tout réel strictement négatifλ, A(λ)=

µ17 4 +3

4e^2λ−5e^λ

¶ . 3. Calculer lim

λ→−∞

A(λ).