Le formulaire officiel de mathématiques est distribué en même temps que le sujet.
EXERCICE1 5 points
Soit i le nombre complexe de module 1 et d’argument π
2. Pour tout nombre complexez, on pose P(z)=2z3−10z2+21z−18.
1. CalculerP(2), puis déterminer les réelsa,betctels que pour tout nombre complexezon ait P(z)=(z−2)¡
az2+bz+c¢ .
2. Résoudre dans l’ensembleCdes nombres complexes, l’équation 2z2−6z+9=0, puis en dé-duire les solutions de l’équationP(z)=0.
3. Le plan est muni d’un repère orthonormal³ O ;→−
u,−→ v´
(unité graphique 2 cm).
On considère les pointsAetB, d’affixes respectiveszA=3 2+3
2i etzB=zA, ainsi que les points CetDd’affixes respectiveszCetzDtelles quezC= −zAetzD=izA.
a. Écrire les nombres complexeszCetzDsous forme algébrique.
b. Sur la copie, placer les pointsA,B,C, etDdans le repère³ O ;→−
u,−→ v´
. c. Quelle est la nature du quadrilatèreABC D? Justifier la réponse.
EXERCICE2 4 points
Une entreprise fabrique quatre type de pièces notéesP1,P2,P3etP4et possède trois machinesA,B etCpour procéder à leur conception.
• La fabrication de la pièceP1nécessite l’utilisation de chacune des machinesAetB.
• La fabrication de la pièceP2nécessite l’utilisation de chacune des machinesBetC.
• La fabrication de la pièceP3nécessite l’utilisation de chacune des machinesAetC.
• La fabrication de la pièceP4nécessite l’utilisation de chacune des trois machinesA,BetC. On considère un échantillon de 2 000 pièces où il y a 700 pièces de typeP1, 1 000 pièces de typeP2, 200 pièces de typeP3et 100 pièces de typeP4.
On choisit au hasard une pièce dans l’échantillon. Il y a équiprobabilité des choix.
1. Calculer la probabilité des événements suivants : a. « la pièce choisie est de typeP1».
b. « la fabrication de la pièce choisie a nécessité l’utilisation de la machineB».
2. Pour produire une pièce, l’utilisation de la machine Acoûte 5(, celle de la machineBcoûte 4(et celle de la machineCcoûte 2(. On appelleXla variable aléatoire qui, à chaque pièce choisie dans l’échantillon, associe son coût de réalisation. Ainsi la réalisation de la pièceP1
coûte 9(.
a. Déterminer le coût de réalisation de chacune des piècesP2,P3etP4.
b. Donner, sous forme d’un tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoireX. c. Quel est le coût moyen de fabrication d’une pièce dans l’échantillon ?
PROBLÈME 11 points Partie A :
Soitgla fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par : g(x)=x−2+1
x.
1. Déterminer les limites de la fonctiongaux bornes de l’intervalle ]0 ;+∞[.
2. Calculer la dérivéeg′de la fonctionget étudier le signe deg′(x) pourxappartenant à l’inter-valle ]0 ; +∞[.
3. Construire le tableau de variations de la fonctiong.
4. Déterminer, en justifiant votre réponse, le signe de la fonctiongsur l’intervalle ]0 ;+∞[.
Partie B :
Soitf la fonction définie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par
f(x)=x2−4x−1+2lnx.
On appelleCla courbe représentative de la fonction f dans un plan muni d’un repère orthonormal
³O ;−→ ı ,→−
´
d’unité graphique 1 cm.
1. Déterminer la limite de la fonctionf en 0. Interpréter graphiquement ce résultat.
2. En remarquant quef(x) peut s’écriref(x)=x2 µ
1−4 x− 1
x2+2lnx x2
¶
, déterminer la limite de la fonctionf en+∞.
3. Montrer que pour toutxde l’intervalle ]0 ;+∞[, on af′(x)=2g(x) (donner le détail des cal-culs).
4. étudier les variations de la fonctionf et dresser son tableau de variations sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
5. a. Montrer que l’équationf(x)=0 admet une solution unique notéeαdans l’intervalle [3 ; 4].
b. Donner un encadrement deαà 10−1près.
6. a. Préciserf′(1) et la tangenteT à la courbeCau point d’abscisse 1.
b. Représenter graphiquement la tangenteT et la courbeCdans le repère³ O ;→−
ı,−→
´.
Partie C :
1. Soit la fonctionHdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par H(x)=xlnx−x.
a. Montrer que la fonctionHest une primitive de la fonction logarithme népérien sur l’inter-valle ]0 ;+∞[.
b. En déduire une primitiveFde la fonctionf sur l’intervalle ]0 ;+∞[.
2. Calculer la valeur moyenne de f sur l’intervalle [1;3] : donner la valeur exacte, puis la valeur arrondie au centième.
Nouvelle Calédonie 35 novembre 2005
[ Baccalauréat STI Antilles–Guyane juin 2005 \ Génie mécanique, génie des matériaux
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
EXERCICE1 5 points
Le plan complexe est muni du repère orthonormé³ O ;→−
1. a. Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexeszAetzB. b. Que vaut la distance OA ? En déduire une construction du point A. (On expliquera la
mé-thode de construction utilisée) Placer le point B.
2. a. Démontrer que le triangle OAB est isocèle.
b. Donner une mesure de chacun des angles de vecteurs³−→ u,−−→OA´
et³−→ u,−−→OB´
. En déduire la mesure de l’angle géométriqueAOB, puis la mesure de chacun des angles géométriques
ABC etOAB.
3. Soit F le point d’affixezF=4p 3i.
a. Placer le point F.
b. Démontrer que le triangle OBF est équilatéral.
c. Calculer|zA−zF|. Que représente le point A pour le triangle OBF ?
EXERCICE2 5 points
Dans une foire un forain propose le jeu suivant.
On lance un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6, puis on fait tourner une roue portant les numéros 0, 1, 2, 3. On obtient ainsi un couple (a;b) où le nombreaest lu sur la face supérieure du dé, le nombrebest indiqué par la roue.
On suppose dans tout l’exercice que tous les couples (a;b), aveca∈{1, 2, 3, 4, 5, 6} etb∈{0, 1, 2, 3}, ont la même probabilité d’être obtenus.
Le résultat du jeu est le nombrea×b, produit des nombresaetbdu couple (a;b) obtenu.
1. Recopier le tableau suivant et le compléter en indiquant les résultats possibles pour un jeu.
Nombrealu sur le dé :
2. Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :
— A: « Le résultat du jeu est un nombre qui appartient à l’intervalle [5; 9]. » ;
— B: « Le résultat du jeu a été obtenu à partir d’un numéro impair sur la roue. » ;
— C=A∩B;
— D=A∪B.
3. Si le résultat du jeu est égal à 18, le joueur reçoit 10(; si le résultat du jeu appartient à l’inter-valle [10; 17] , le joueur reçoit 5(; si le résultat du jeu appartient à l’intervalle [5 ; 9], le joueur reçoit 1(; dans les autres cas le joueur ne reçoit rien et ne perd rien.
Soit X la variable aléatoire qui, pour chaque jeu, prend pour valeur la somme reçue par le joueur.
a. Donner, sous forme de tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoireX. b. Calculer l’espérance mathématique, notéeE(X), de la variable aléatoireX.
c. Sur l’ensemble de la durée de la foire, le forain compte avoir 2 000 participants à ce jeu.
S’il demande 2(de participation à chaque joueur, quel gain net pourra-t-il espérer à l’is-sue de la foire ?
PROBLÈME 10 points
Le plan est rapporté à un repère orthogonal³ O ;−→
ı,→−
´
d’unités graphiques : 2 cm sur l’axe des abs-cisses et 4 cm sur l’axe des ordonnées.
On considère les deux fonctionsf etgdéfinies pour tout nombre réelx, par : f(x)=2xex−x2−2x et g(x)= −x2−2x.
On nomme (C) et (P) les courbes représentatives respectives des fonctions f etg relativement au repère orthogonal³
O ;−→ ı ,→−
´ . Partie A - Étude de la fonctiong
1. Calculer la limite de la fonctiongen+∞et sa limite en−∞.
2. On noteg′la fonction dérivée de la fonctiong. Calculerg′(x) pour tout nombre réelx.
3. Donner le tableau des variations de la fonctiong. Partie B - Étude de la fonctionf
1. a. Vérifier que, pour tout nombre réelxnon nul,f(x)=x2 µ
2ex−1−2 x
¶
. En déduire la limite de la fonctionf en+∞.
b. Calculer la limite de la fonctionf en−∞. 2. a. On notef′la fonction dérivée de la fonctionf.
Montrer que, pour tout nombre réelx, f′(x)=2(x+1)(ex−1).
b. Résoudre dans l’ensemble des nombres réels l’inéquation : ex−1>0.
En déduire, à l’aide d’un tableau de signes, le signe def′(x) pourxréel.
c. Établir le tableau des variations de la fonctionf; y faire figurer les valeurs exactes des ex-tremums.
Partie C - Tracé des courbes (C) et (P)
1. a. Pour toutxréel, calculerf(x)−g(x), puis lim
x→∞[f(x)−g(x)]. Quelle conclusion peut-on en tirer pour les courbes (C) et (P) ?
b. Étudier le signe def(x)−g(x) selon les valeurs du réelx. En déduire les positions relatives de (C) et (P).
Antilles–Guyane 37 juin 2005
2. On nommeαl’unique solution non nulle de l’équationf(x)=0, et A le point de la courbe (C) d’abscisseα.
À l’aide d’une calculatrice, donner une valeur approchée décimale deαarrondie à 10−2. 3. Recopier le tableau suivant et le compléter avec les valeurs approchées décimales de f(x) et
g(x) arrondies à 10−2.
x −2,5 −2 −1 −0,5 0 0,5 1
f(x) g(x)
4. Dans le repère³ O ;−→
ı,→−
´
, placer le point A défini à la question C. 2., puis tracer les courbes (C) et (P).
Partie D - Calcul d’une aire
1. Soithla fonction définie par : pour tout nombre réelx,h(x)=(x−1)ex. a. On noteh′sa fonction dérivée. Pour toutxréel, calculerh′(x).
b. En déduire une primitive surRde la fonction :x7−→ −2xex.
2. SoitS la surface plane délimitée par les courbes (C) et (P) et les droites d’équations respec-tivesx= −1 etx=0. On noteAl’aire, exprimée en cm2, de la surfaceS.
Hachurer la surfaceS sur le graphique de la partie C.
CalculerA. En donner la valeur exacte, puis une valeur décimale approchée à 10−2près.
Antilles–Guyane 38 juin 2005