PanaMaths Mars 2012
Calculer, pour tout entier naturel n, la dérivée n-ième de x 6 e
3xsin x .
Analyse
On notera dans un premier temps que la fonction considérée est de classe
C
∞ sur \ commeproduit de deux fonctions de classe
C
∞ sur cet intervalle. Ensuite, on peut se « précipiter » sur la formule de Leibniz mais … il vaut mieux remarquer que la fonction sinus n’est pas très« éloignée » d’une exponentielle … complexe !
Résolution
En notant f la fonction x6e 3xsinx et Ψ la fonction complexe de la variable réelle définie par : Ψ:x6Ψ
( )
x =e 3x(
cosx i+ sinx)
=e 3x ixe =e( 3+i x) , on a f x( )
=Im(
Ψ( )
x)
puis, pour tout entier naturel n : f( )n( )
x =Im(
Ψ( )n( )
x)
.La fonction Ψ se dérive facilement. Pour tout entier naturel n et tout réel x, on a :
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
3
3
3
6 3
6 3
3 6
3
3
3 1
2 2 2
2 cos sin
6 6
2 2 2
2 cos sin
6 6
n i x
n
n i x
n n i x
n
i i x
n
in i x
n
i x n
n x
n x
x i e
i e
i e
e e
e e e e
e x n i x n
π
π π
π π
π π
+
+
+
+
+
⎛ + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ψ = +
⎡ ⎛ ⎞⎤
=⎢⎢⎣ ⎜⎜⎝ + ⎟⎟⎠⎥⎥⎦
⎛ ⎞
= ⎜⎝ + ⎟⎠
⎛ ⎞
= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
=
⎡ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎤
= ⎢⎣ ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎜⎝ + ⎟⎠⎥⎦
D’où :
( )n
( )
Im(
( )n( ) ) 2n 3xsin 6
f x = Ψ x = e ⎛x+nπ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
PanaMaths Mars 2012
Résultat final
La dérivée n-ième de la fonction x6e 3xsinx est la fonction définie par : 2 3 sin
6
n x
x6 e ⎛⎜⎝x n+ π ⎞⎟⎠
