II - Fonctions de classe C

Dans tout le chapitre,Edésigne unR-espace vectoriel de dimension finiep(en pratique, on aura souvent E =R² ou R³). Sauf indication contraire, les applications étudiées sont définies sur un ouvertU deE, à valeurs dans R.

· désignera, en cas de besoin, une norme surE.

Les notions définies dans ce chapitre sont indépendantes du choix des normes.

II - Fonctions de classe C

— Généralités

1) Différentielle en un point

Propriété — définition: soientf :U →Reta∈U ;f est ditedifférentiable en asi et seulement s’il existe une application linéaire ϕ∈ L(E,R) telle que l’on ait ledéveloppement limité à l’ordre 1

f(a+h) =

h→0f(a) +ϕ(h) +o( h ).

Si c’est le cas, ϕ est unique, notée df(a) appelée différentielle de f en a (ou encore forme linéaire tangente à f en a).

Par commodité, ϕ(h) est noté df(a)·h(lire “df en ade h”).

On a alors

f(a+h) =

h→0f(a) + df(a)·h+o( h ) avec df(a)∈ L(E,R). NB : 1) CommeU est ouvert et a∈U,a+h∈U pour h assez petite.

2) Sif est différentiable ena, alors f est continue ena (réciproque fausse déjà pourp= 1).

Exemples :

1) Cas p= 1: lorsqueE=R, “différentiable” équivaut à “dérivable” et, sif est dérivable ena, df(a) est l’application linéairedf(a) : R → R

h → df(a)·h=h.f^′(a)

et f^′(a) = df(a)·1.

2) Cas où f est linéaire : sif ∈ L(E,R),f est différentiable en tout point adeE et

∀a∈E df(a) =f.

3) Si · est la norme euclidienne associée à un produit scalaire (·|·), alors f :x→ x ² est différentiable en tout point adeE et

∀a∈E df(a) :h→2.(a|h)

2) Dérivée selon un vecteur

NB : U étant ouvert, pour a∈U et v vecteur non nul deE, il existe δ >0tel que

∀t∈[−δ, δ] a+t.v ∈U .

Définition :soient f :U →R, v ∈ E\ {0} et a ∈ U ; on dit que f admet une dérivée en a selon le vecteur v si et seulement si la fonction ϕ_v :t→f(a+t.v) est dérivable en 0 ; on note si c’est le cas

Dvf(a) = lim

t→0

1

t. f(a+t.v)−f(a) =ϕ^′_v(0) (Dvf(a) est un réel).

Théorème :si f est différentiable en a, alors f admet une dérivée en a selon tout vecteur non nul v avec

Dvf(a) = df(a)·v

Attention ! Réciproque fausse dès quep≥2, voir f : (x, y)→



 x²y

x²+y² si (x, y) = (0,0) 0 si x=y= 0

qui admet une dérivée en(0,0)selon tout vecteur non nul alors qu’elle n’est pas différen- tiable en(0,0).

3) Dérivées partielles

Définition :soient B = (e¹, . . . , ep) une base de E et j ∈ N_p ; on dit que f admet en a une j-ième dérivée partielle (relativement à B) si et seulement si f admet une dérivée suivant le vecteur ej ; on note si c’est le cas

∂jf(a) = ∂f

∂xj

(a) = lim

t→0

1

t. f(a+t.ej)−f(a) ∈R.

Cas particulier: lorsqueE =R^p et queB est la base canonique, la j-ième dérivée partielle s’obtient en dérivant laj-ième application partielle def ena, obtenue en fixant toutes les variables sauf laj-ième.

Théorème :sif est différentiable ena, alorsf admet des dérivées partielles enarelativement à toute base avec

∂jf(a) = df(a)·ej.

Attention ! Réciproque fausse dès quep≥2, voir l’exemple du paragraphe précédent.

NB : pour f différentiable ena, le théorème précédent fournit l’expression analytique de df(a) dans toute base B= (e¹, . . . , ep) deE :

si h=

p

j=1

hj.ej , df(a)·h=

p

j=1

hj.∂jf(a) =

p

j=1

hj· ∂f

∂xj

(a).

4) Fonctions de classe

Théorème :s’il existe une base B = (e¹, . . . , ep) de E telle que, pour tout j de N_p,∂jf est définie et continue surU, alors f est différentiable en tout point adeU avec

∀a∈U ∀h=

p

j=1

hj.ej ∈E df(a)·h=

p

j=1

hj.∂jf(a).

En outre, pour tout vecteur non nulv deE,Dvf est définie et continue surU. Dém.non exigible

Définition :f est ditede classe C¹(oucontinûment différentiable) surU si et seulement s’il existe une base BdeE telle que, pour toutj deN_p,∂jf est définie et continue surU.

NB : d’après le théorème précédentin fine, si la propriété ci-dessus est vraie pourune base deE, elle est vraie pourtoute base de E ; il est donc loisible de dire “f est de classeC¹” au lieu de “f est de classe C¹ relativement à la baseB”.

II

II - Opérations sur les fonctions de classe C

— Applications

1) L’algèbre

On note C¹(U,R) l’ensemble des fonctions de classeC¹ sur U, à valeurs dans R. Les résultats suivants s’obtiennent à partir des dérivées partielles.

Sif, g sont dans C¹(U,R) etλ∈R, alors λ.f+g est dansC¹(U,R) et

∀a∈U d (λ.f +g) (a) =λ.df(a) + dg(a). Sif, g sont dans C¹(U,R),f ×g aussi et

∀a∈U d (f×g) (a) =f(a).dg(a) +g(a).df(a) Sif ∈ C¹(U,R) ne s’annule pas, 1

f ∈ C¹(U,R) et

∀a∈U d 1

f (a) =− 1

f(a)².df(a)

2) Composition — Règle de la chaîne

Théorème :Soient ϕ:I →U de classe C¹ sur un intervalleI de R etf :U →Rde classeC¹ surU ; alorsf ◦ϕ:I →Rest de classe C¹ surI avec :

∀t∈I (f◦ϕ)^′(t) = df ϕ(t) ·ϕ^′(t)

Calcul pratique: supposons pour fixer les idées E=R³ etϕ(t) = x(t), y(t), z(t) : d

dtf x(t), y(t), z(t) =x^′(t).∂f

∂x ϕ(t) +y^′(t).∂f

∂y ϕ(t) +z^′(t).∂f

∂z ϕ(t)

Dém.Soient t∈I ethréel tel que t+h∈I ; je cherche un développement limité à l’ordre 1 en tpour g=f ◦ϕ; j’écris en vertu des hypothèses, en posant a=ϕ(t) etv=ϕ^′(t) :

ϕ(t+h) = a+h.v+h.ε(h) avec lim

0 ε= 0 f(a+k) = f(a) + df(a)·k+ k .η(k) avec lim

0 η = 0 J’ai alors

g(t+h) = f a+h.v+h.ε(h)

= f(a) + df(a)·(h.v+h.ε(h)) + h.v+h.ε(h) .η(h.v+h.ε(h))

= f(a) +h.df(a)·v+h. df(a)·ε(h) + sgn (h). v+ε(h) .η(h.v+h.ε(h))

et le contenu du dernier crochet admet pour limite 0 lorsquehtend vers 0, du fait queεetηadmettent 0 pour limite en 0 et que l’application linéaire df(a) est continue en 0 (dimension finie). J’ai donc prouvé

g(t+h) =

h→0g(t) +h.df(a)·v+o(h) ; doncg est dérivable en t(cela pour tout tdeI) avec

g^′(t) = df(a)·v= df ϕ(t) ·ϕ^′(t).

En particulier, si B= (e¹, . . . , ep) est une base deE et si ϕse décompose sous la forme ϕ:t→

p j=1

xj(t).ej alors ϕ^′(t) =

p j=1

x^′_j(t).ej

et j’obtiens par linéarité :

∀t∈I g^′(t) =

p j=1

x^′_j(t).df ϕ(t) ·ej =

p j=1

x^′_j(t).∂jf ϕ(t)

Il en résulte que g est de classeC¹ et le théorème est démontré.

Interprétation géométrique

La fonctionϕpeut être considérée comme définissant un arc paramétré dansE, la dérivée de f◦ϕ est parfois appelée dérivée le long de l’arc C¹ défini par ϕ.

Exemples d’utilisation(hypothèses à préciser)

Le théorème précédent permet de calculer des dérivées partielles, en fixant toutes les variables sauf une.

•sig(u, v) =f(a.u+b.v, c.u+d.v), alors

∂g

∂u(u, v) = a.∂f

∂x(a.u+b.v, c.u+d.v) +c.∂f

∂y(a.u+b.v, c.u+d.v)

∂g

∂v(u, v) = b.∂f

∂x(a.u+b.v, c.u+d.v) +d.∂f

∂y(a.u+b.v, c.u+d.v)

•Coordonnées polaires : sig(r, θ) =f(rcosθ, rsinθ), alors

∂g

∂r(r, θ) = cosθ.∂f

∂x(rcosθ, rsinθ) + sinθ.∂f

∂y(rcosθ, rsinθ)

∂g

∂θ(r, θ) = −rsinθ.∂f

∂x(rcosθ, rsinθ) +rcosθ.∂f

∂y(rcosθ, rsinθ) On écrit souvent abusivement :







 r.∂g

∂r =x.∂f

∂x+y.∂f

∂y

∂g

∂θ =−y.∂f

∂x +x.∂f

∂y et









∂f

∂x = cosθ.∂g

∂r −sinθ.1 r.∂g

∂θ

∂f

∂y = sinθ.∂g

∂r + cosθ.1 r.∂g

∂θ

Application : changement de variables dans une équation aux dérivées partielles.

III

III - Gradient et applications

Dans cette section, E désigne un espace vectoriel euclidien, (·|·) le produit scalaire et · la norme associée.

1) Gradient d’une fonction de classe

Propriété et définition : soientU ouvert deE etf ∈ C¹(U,R).

Pour tout adeU,df(a) est une forme linéaire surE ; on appellegradient de f en al’unique vecteur deE ∇f(a) (noté aussigradf(a)) tel que

∀h∈E df(a)·h= (∇f(a)|h). SiB= (e¹, . . . , en) est une base orthonormale deE, alors

∇f(a) =

n

j=1

∂f

∂xj

(a).ej.

L’application ∇f :U →E est continue surU. Exemple : “gradient en coordonnées polaires”.

2) Inégalité des accroissements finis

Théorème :soientU ouvert convexe deE,M ∈Retf ∈ C¹(U,R) tels que :

∀x∈U ∇f(x) ≤M ; alors

∀(a, b)∈U² |f(b)−f(a)| ≤M. b−a .

Dém.Fixons(a, b)∈U² ; je définis sur[0,1]les applicationsϕ:t→(1−t)·a+t·betg:t→f ϕ(t) . ϕ est à valeurs dans U car U est convexe, de classe C¹ (TOC), donc g: [0,1]→R est de classe C¹ en tant que composée de fonctions de classeC¹. De plus

∀t∈[0,1] g^′(t) = df ϕ(t) ·ϕ^′(t) = ∇f ϕ(t) |b−a d’où (inégalité de Cauchy-Schwarz) : ∀t∈[0,1] |g^′(t)| ≤M. b−a .

L’inégalité des accroissements finis (pour les fonctions numériques d’une variable réelle) appliquée à g sur [0,1]donne donc le résultat, puisque g(1) =f(b)et g(0) =f(a).

Définition :une partieAdeEest diteétoilée par rapport àω ∈E si et seulement si∀u∈A [ω, u]⊂A.

Une partie A de E est dite étoilée si et seulement s’il existeω ∈E tel que A soit étoilée par rapport à ω.

Propriété : sif ∈ C¹(U,R)oùU est un ouvert étoilé deE, alorsf est constante surU si et seulement si df(a)est nulle pour toutadeU (i.e. toutes les dérivées partielles def sont identiquement nulles sur U).

Attention ! Résultat faux sur un ouvert quelconque (cf. une fonction “en escalier” sur une réunion d’ouverts disjoints).

Exemple : étudier f : (x, y)→arctanx+ arctany−arctan x+y 1−xy.

3) Points critiques — Extremums locaux

Définition :soientf :U →Reta∈U.

1) f admet un maximum local en asi et seulement si : ∃δ >0 ∀u∈B(a, δ) f(u)≤f(a). 2) f admet un minimum local en asi et seulement si : ∃δ >0 ∀u∈B(a, δ) f(u)≥f(a).

3) Si en outref est de classeC¹,aest un point critique de f si et seulement si df(a) = 0(i.e. toutes les dérivées partielles def sont nulles en a).

Condition nécessaire d’extremum local

Sif ∈ C¹(U,R) admet un extremum local ena∈U (U ouvert), alors aest un point critique def. Attention ! Réciproque fausse ! (cf. f : (x, y)→x²−y² en (0,0)).

Remarques pratiques

1) On commence par rechercher les points critiques à l’aide des dérivées partielles def, puis on étudie localement le signe def(a+h)−f(a) au voisinage de chaque point critique a.

2) Penser à utiliser lesextremums globaux pour une fonction continue sur une partie fermée bornée.

Exemples : 1) Déterminer les extremums def : (x, y)→x²+ x²+y² sur le disque fermé D= (x, y)∈R²/ x²+y² ≤9 .

2) Déterminer le maximum du produitxyz pour x, y, z réels positifs de somme 1.

3) Déterminer les extremums def : (x, y)→xy²+ ln 1 +y² .

IV

IV - Dérivées partielles d’ordre k ≥ 2

Comme les dérivées partielles d’une fonction f de C¹(U,R) sont encore des fonctions deU dansR, on définit par récurrence les dérivées partielles successives et les fonctions de classe C^k. On définit enfin les fonctions de classe C^∞ comme étant les fonctions de classeC^k pour toutk dansN.

Pour tout k∈N∪ {∞}, l’ensembleC^k(U,R) des applications de classe C^k sur U est une R-algèbre.

Notations : si f admet une dérivée partielle seconde

∂i(∂jf) = ∂

∂xi

∂f

∂xj

, cette dernière est également notée

∂²_i,jf ou ∂²f

∂xi∂xj

(les “opérateurs de dérivation” s’appliquent successivement, le plus à droite en premier).

Théorème de Schwarz : sif ∈ C²(U,R) et si Best une base de E on a

∀(i, j)∈N²

n

∂²f

∂xi∂xj

= ∂²f

∂xj∂xi

. Dém.Hors programme.

Contre-exemple: soitf :R²→Rdéfinie par

f(x, y) = 0 si y= 0 et f(x, y) =y²sinx

y si y = 0.

Montrer que ∂²f

∂x∂y(0,0)et ∂²f

∂y∂x(0,0)existent et sont distinctes.

V

V - Applications géométriques

1) Notion de nappe paramétrée (complément hors programme)

a) Vocabulaire

On appelle nappe paramétrée de classe C^k (k∈N^∗) tout couple Σ = (U, φ) où φest une application de classe C^k deU, ouvert deR², dansR³.

On appelle point de la nappe tout couple (u, v), M où M =φ(u, v).

Lesupport de la nappe estS = φ(u, v), (u, v)∈U (c’est une surface, dansR³).

Les courbes paramétrées par u → φ(u, v) (v fixé) (resp. v → φ(u, v), u fixé) sont appelées lignes coordonnées. Elles sonttracées sur S.

Le point (u, v), M est dit régulier si et seulement si ∂φ

∂u(u, v),∂φ

∂v(u, v) est libre (ces vecteurs dérivées partielles sont définis par leurs coordonnées, qui sont les dérivées partielles des applications coordonnées de φ).

Si c’est le cas leplan tangent à Σen (u, v), M est M+ Vect ∂φ

∂u(u, v),∂φ

∂v(u, v) et la normale à Σen (u, v), M est M+R. ∂φ

∂u(u, v)∧∂φ

∂v(u, v) .

NB : 1) On parle souvent du plan tangent (resp. de la normale) à S en M.

2) En éliminantu, ventre les trois relations fournies parφ(u, v) = (x, y, z), on peut parfois obtenir uneéquation cartésienne deS, c’est-à-dire une condition nécessaire et suffisante sur(x, y, z)pour que le point de coordonnées (x, y, z) appartienne àS.

3) Dans le cas particulier oùφ: (x, y)→(x, y, f(x, y)), on parle deparamétrage cartésien ; S admet trivialementz=f(x, y) pour équation cartésienne. Tout point est régulier.

4) Pour un autre éclairage sur ces remarques, voir le paragraphe sur les fonctions implicites.

b) Exemples

1) φ: (ϕ, θ)→(Rsinθcosϕ, Rsinθsinϕ, Rcosθ) (oùR >0est fixé)

IciS est la sphère d’équation cartésiennex²+y²+z²=R², les lignes coordonnées sont lesparallèles (pourθ fixé) et lesméridiens (pour ϕfixé).

2) φ: (r, θ)→ rcosθ, rsinθ,r²

2p etψ: (x, y)→ x, y,x²+y²

2p (oùp >0 est fixé)

IciS est le paraboloïde de révolution d’équation cartésiennex²+y² = 2pz, dontφetψ fournissent deux paramétrages.

On peut noter que l’origine est un point régulier pour ψ mais pas pour φ (alors qu’il y a bien un plan tangent, au sens géométrique du terme. . . ).

2) Tangente à une courbe plane en un point régulier

a) Le théorème des fonctions implicites dans le plan (hors programme) Soient U un ouvert de R²,f :U →R, de classe C^k sur U (k≥1) et(a, b)∈U tel que

f(a, b) = 0 et ∂f

∂y(a, b) = 0.

Alors il existe :

•deux intervalles ouvertsI, J deRtels que :

(a, b)∈I×J ; I×J ⊂U ; ∀(x, y)∈I×J ∂f

∂y(x, y) = 0 ;

•une applicationϕ:I →J, de classeC^k sur I telle que

∀(x, y)∈I×J f(x, y) = 0⇔y=ϕ(x).

On dit que la relation f(x, y) = 0 définit (localement) y comme fonction implicite de x.

Pour les courbes, le programme officiel se limite aux b) et c) ci-dessous.

b) Application : tangente à une courbe plane

Soient C la “courbe plane” d’équation f(x, y) = 0, oùf :U →Rest de classe C¹ surU ouvert deR². Définition :soit A= (a, b) un point de C, c’est-à-dire que A ∈U et f(A) = 0. On dit que A est un

point régulier de C si et seulement si ∇f(A) = 0, auquel cas la tangente à C en A est la droite d’équation

∂f

∂x(A).(x−a) +∂f

∂y (A).(y−b) = 0 (c’est la normale à ∇f(A) passant parA).

NB : la notion depoint régulier a déjà été définie au chapitre9, sur un arc paramétré, mais le contexte doit permettre de lever les ambiguïtés et l’on obtient bien la même tangente dans les cas où les deux définitions s’appliquent.

Exemple : tangentes à l’ellipse E / x² a² +y²

b² = 1.

c) Lignes de niveau

Avec les notations ci-dessus, je poseλ=f(A), de sorte que le pointAest sur laligne de niveauLλ de f, d’équation f(x, y) =λ. Alors, si le vecteur ∇f(A) n’est pas nul, il est orthogonal àLλ (c’est-à-dire normal à sa tangente en A) et “orienté dans le sens des valeurs croissantes de f”, c’est-à-dire que, si B=A+h.∇f(A), avech >0(suffisamment petit, c’est un résultat local !), alorsf(B)> λ(autrement dit Best sur une ligne de niveau Lµ avecµ > λ).

Noter que la commande contour dematplotlib.pyplot permet de tracer les lignes de niveau d’une fonction de deux variables réelles.

3) Plan tangent à une surface en un point régulier

a) Le théorème des fonction implicites dans l’espace (hors programme) Soient U un ouvert de R³,f :U →R, de classe C^k sur U (k≥1) et(a, b, c)∈U tel que

f(a, b, c) = 0 et ∂f

∂z (a, b, c) = 0.

Alors il existe :

•un ouvert V deR² et un intervalle ouvertJ deRtels que :

(a, b, c)∈V ×J ; V ×J ⊂U ; ∀(x, y, z)∈V ×J ∂f

∂z (x, y, z) = 0 ;

•une applicationϕ:V →J, de classe C^k surV telle que

∀(x, y, z)∈V ×J f(x, y, z) = 0⇔z=ϕ(x, y).

On dit que la relation f(x, y, z) = 0 définit (localement) z comme fonction implicite de (x, y).

Pour les surfaces, le programme officiel se limite aux b) et c) ci-dessous.

b) Application : plan tangent à une surface

Soient S la “surface” d’équationf(x, y, z) = 0, oùf :U →R est de classeC¹ sur U ouvert deR³. Définition :soitA= (a, b, c) un point deS, c’est-à-dire queA∈U etf(A) = 0. On dit queA estun

point régulier de S si et seulement si ∇f(A) = 0, auquel cas le plan tangent à S en A est le plan d’équation

∂f

∂x(A).(x−a) +∂f

∂y(A).(y−b) +∂f

∂z (a, b, c).(z−c) = 0 (c’est le plan normal à∇f(A) passant parA).

NB : la notion depoint régulier a déjà été définie au§V-1, sur une nappe paramétrée, mais le contexte doit permettre de lever les ambiguïtés et l’on obtient bien le même plan tangent dans les cas où les deux définitions s’appliquent.

c) Courbes tracées sur une surface

On dit qu’un arc paramétré par t→F(t), est tracé sur la surface S lorsque, pour toutt,F(t)∈ S.

Par exemple, si S est le support d’une nappe paramétrée par φ : (u, v) → φ(u, v), alors les courbes coordonnées, paramétrées par u → φ(u, v) (v fixé) et v → φ(u, v) (u fixé), sont tracées sur S.

En particulier, si S admet une équation cartésienne de la forme z = g(x, y), elle est le support de la nappe paramétrée par(x, y)→ x, y, g(x, y) et les courbes coordonnées sont tracées dans des plans parallèles à xOz (poury fixé) etyOz (pourx fixé). Ce sont ces courbes que tracent les machines pour afficher un “maillage” de la surface :

Paraboloïde hyperbolique, d’équation : z=x²−y²

Si S a pour équation cartésienne f(x, y, z) = 0, où f : U → R est C¹ sur U ouvert de R³, et si F :t→ x(t), y(t), z(t) est à valeurs dansU etC¹ sur I, intervalle de R, telle que

∀t∈I f F(t) = 0 (courbe tracée sur S),

alors en tout point M =F(t) on a F^′(t) et ∇f(M) orthogonaux, c’est-à-dire que, si M est un point régulier de la courbe et de la surface, alors la tangente enM à la courbe est incluse dans le plan tangent enM à la surface. En effet, en dérivant par rapport àt la relation ci-dessus, on obtient

∀t∈I df(F(t))·F^′(t) = 0 soit ∇f F(t) |F^′(t) = 0.

4) Calcul pratique des dérivées de fonctions implicites

On obtient les expressions des dérivées des fonctions “implicites” ci-dessus par la règle de la chaîne (la dérivabilité est fournie par le théorème des fonctions implicites correspondant).

Les dérivées sont toutes nulles puisque les expressions que l’on dérive sont constantes ! En effet, dans le premier cas,

d

dx f(x, ϕ(x)) = ∂f

∂x(x, ϕ(x)) +ϕ^′(x)∂f

∂y(x, ϕ(x)) = 0 ; dans le second cas,

∂

∂x f(x, y, ϕ(x, y)) = ∂f

∂x(x, y, ϕ(x, y)) +∂ϕ

∂x(x, y)∂f

∂z (x, y, ϕ(x, y)) = 0

et ∂

∂y f(x, y, ϕ(x, y)) = ∂f

∂y(x, y, ϕ(x, y)) +∂ϕ

∂y (x, y)∂f

∂z (x, y, ϕ(x, y)) = 0.