A NNALI DELLA
S CUOLA N ORMALE S UPERIORE DI P ISA Classe di Scienze
G. B OULIGAND
Sur une classe d’équations aux dérivées partielles du premier ordre
Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze 3
esérie, tome 7, n
o3-4 (1953), p. 287-299
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AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE
par G. BOULIGAND
(Paris)
, 1. - Lit
géométrie
infinitésimaledirecte
m’apermis
de lier à la théorie2022 1. - La
géométrie
infinitésimale directe m’apermis
de lier â la théoriedes ensembles divers
sujets classiques,
entre autres :a)
Le théoréme de Meusnier et ses’applications
auxéquations
différen-°
tielles ;
lanotion
decontingent
cit-culaire les ramene à une forme ensembliste(1).
b)
Lecomportement d’intégra les
d’une famillef (x,
y, z, p,q)
- Âqui p our Â
tendant verozéro~
estinfininent équation
auxdifféren- tiélles
totalesdépourvue
desurfaces intégrales. Cela, grâcé
aux notions para-tingent, integrale paratingente (~).
La définition de celles-ci serarappelée plus
loin(cf.
n°6).
c)
Lestransformations
de contact : dansl’espace
ordinai.re parexemple,
on cherche si le continu
image
d’une surface àparatingent partout plan peut
avoir despoints
intérieurs.Ayant
obtenu des cas d’exclusion(3), j’ai
formulé des
hypotbèF3es, plus larges,
entrainant que ce continu estaplati
en
chaque point,
en un sensprolongeant
celui de G.CHOQUET
dans leplan (4).
Siles principes
de définitionpermettant
d’étendre les notions tan-gente
à unecourbe, plan tangent
à u,ne sont nombreux(contigent, paràtingent,
idée de différentielleapproximative,
recours à une droite ou àun
plan qui
minimise le moment inertie d’uneportion
infinimentpetite
dela variété a,utour d’un
point) (5),.
les transformations de contact valorisent l’idéed’aplatissement.
(1) G.
B. Journ. Math., 9, t. XI, 1932, p. 137-151 et 385-387. Act. se. Hermann, fasc.184,
p. 3,2-34 Math (Genève) t. 36, 1937, p. 5-27.(2)
G. B. Bull. Sc. Math. 2, t. LX, 1936, t. 203-224; Journ. Math. 9, t. XVI,1937,
p. 251-260.
,
(3)
G. B., C. R. Ao. Se., t.232,
1951, p. 911 et 1791.(4) G. CHOQUET. Mathematica (Cluj) 20, 1944 ; p. 36-47,
(5) G.
B., C. R. Ac. Sc; t. 236, 1953, p. 1217 et2136
t.237, 1953,
p. 772.2. - Dans
l’esprit indiqué,
laprésente
recherche concerne lessystè- triples orthogonaux (8 T 0). Ayant
deux il y a enchaque point
M
(x,
y ,z)
un cône du seconddegré portant
les six arêtes de leurs trièdres à facestangentes.
C’est le cône des normales en M pour uneéquation f (x , y , x ~ p , q)
=0 , ayant
les six familles de ces 8 T 0 pourintégrales.
Asavoir,
en coordonnéesrectangulaires
où les coefficients sont
soumis,
pour l’existence des deux S T0, à
des con-ditions un peu
compliquées. Si, indépendamment d’elles,
onenvisa,ge l’équa-
tion
(1),
leplan tangent
en unpoint
courant M d’uneintégrale quelconque
coupe le cône des normales suivant deux droites
rectangulaires.
Le faitqu’elles
soientconjuguées
est une des conditionssigiialées, qui
au RO4,
sera
explicitée
sur unexemple :
on obtient dans tous les cas uneéquation
du second ordre linéaire et
homogène t .
Si cetteéquation
dusecond ordre n’a pas de solutions communes avec
(1),
formant au moinssix familles à un
paramêtre,
il estimpossible
quel’equation (1)
soit fournie par dans les conditionsindiquées.
En associant à les
plans
x-a, on a uneéquation (1)
dutype
réduitEn lui associant d’autre
part
lesplans
obtient de mêmeIl suffit d’ailleurs d’avoir une famille de
LAMÉ,
celle des surfaces de niveau d’une Û(ce , y , z)
vérifiantpour
déterminer,
avec uncontenant
les 1fonctions
j4 B ~ (~ ,
.~ .~ les
quatre
3. - Cherchons les
équations qui
conditionnentcelles-ci,
enpartant
du
système (2), (3)
à coefficiènts d’abord arbitraires. Pourqu’il
existe unS T 0 dont les trois familles soient des
intégrales
communes à(2)
et(3),
il faut que,
outre
la normale aux leurs deux cônes de nor-males aient
toujours
en commun troisgénératrices
formant un triédre tri-rectangle.
Un tel trièdre(T)
une fois choisi sur le cône(2),
le cône(3)
s’endéduit.
D’où,
entre~1, B, 6 ~ H,
y la condition très immédiateEn
outre,
pour avoir desintégrés
communestangentes
en M àchaque
face de
(T),
il faut que entraine_
91P
+ P wz) +
99q(vy +
9Vz)
-+ p 99z)
yp --E- ~ wz)
~q =o ,
5relation
qui,
en tenantcompte
de(2)
et(3)~
donne iciEn
chaque point M,
y cetteéquation, qui
sera notée en bref0 = *0 ,
définitdans le
plan
des p, qune conique.
Elle doit se réduire à unehyperbole , equilatère, portant
lepoints
commnns à~==0, d’où,
en sus dela condition -
1.
,
celles
provenant
de l’ideutitéEn
définitive,
on a ainsi lesystème
euA , ~ , f~ , H
formé par(4)
et troiséquations contenant,
avec cesfonctions,
leurs dérivéespremières qui figurent
sous forme linéaire et
homogène.
De
chaque
solutionA, B,
de cesystème,
B résulte uncouple (2), (3) d’équations
aux dérivéespartielles
associant àchaque point
M troisplans
contenant ll? et formant un trièdretrirectangle,
de telle manièrequ’au.tour
dechaque M ~
y soitintégrable l’équation
aux différentielles totales9. Annali della Souola Norm. Sup. - Pif«, ,
associant a AI un de ces
plans w (M),
formée en laissant continue la dé-pendance
entre M et l’élément de contact[M;
(J)(M)].
Dechaque
solutiondu
système
enA, B ~ G ~
H rèsulte ainsi un 8 T 0.Finalement,
on obtient donc une nouvelleformulation,
en toutegéné- ralité,’ de
la recherche des en évitant d’en dissocier les trois familles.Malgré
les inconvénientsqui peuvent
enrésulter,
onpurrait
sans douteramener à ces notations divers résultats connus.
Ainsi,
pourrejoindre
les°
profonds
travaux de L.BIANCHI,
onpartirait
d’une solution dusystème
enA ~ B, G,
Hqui
assure des solutions communes auxéquations lomogéues
il faudrait ensuite
conditionner S , B , G ,
H de manière que, surchaque
surface
Û (M)
=const.,
extraite d’une des faiiiilles dù 8 T 0(cela produit
la dissociation évitée
jusqu’ici),
la courburetotale,
déduite des dérivées pre- mierès et secondes de U soit unefonction
de U(6).
4. - Sans aborder ici la réalisation de ce programme,
je
noteraique,
vu la forme
simple
del’equation (2),
il est naturel de cllercber sousquelles conditions
pourA , B
il existe nn 8 T U dont lestrois
familles soient solu- tions de(2).
Achaque
solution U del’equation
de LAMÉ ~1= 0(fin
du n°2) correspond
ainsi uncouple A, B . D’ailleurs,
enprenant
uneéquation (2)
pour
laquelle A, B
soient des fonctions continuesquelconques,
il estfacile,
selon un
principe rappelé
ou cours du n°2,
d’obtenir pourqu’elle
soit dece
type particulier
une condition nécessaire. On écrit que les deuxtangen-
tes
rectangulaires
situées sur le cône des normales de(2)
sontconjuguées,
d’où la condition nécessaire : existence de solutions communes à
(2)
et àl’équation
du second ordre ’condition
nonsuffisante,
car elle estremplie
pour uneéquation (2)
déduited’une dont les surfaces de niveau ne forment pas une famille de
en
imposant
au cône des normales enchaque
deporter
les deuxtangentes principales correspondantes.
(6) Au snjet de la
précédente
recherche des S T 0, voir aussi C. R. Ac.Sc.,
t.236,
1953, p. 2193 et 2462.Etant donnée une
équation (2),
ilpeut
y avoirplus
d’un 8 T0,
distinctdes
plans parallèles
auxplans
decoordonnées,
dont les trois familles véri-fient cette
équation. Ainsi,
lesquadriques
homofocales d’unellipsoïde donné, symétrique
parrapport
aux faces du trièdre des axes vérifient uneéqua-
tion à coefficients
c(, f3 constants,
de la formeElle
a pour intégrales,
avec les surfaces de ce S T0,
y celles de ses homo-thétiques
parrapport
au centre commun. Sans m’arrêter àl’exemple
ana-logue provenant
d’unparaboloïde,
où une infinité de S T0,
y translatés de l’und’eux,
donnent desintégrales
deje
noteraiqu’interviennent
encore les homothèties de centre Uquand
onprend Inéquation
1provenant
des surfaces dont la somneou la
différence desdistances
auxaxes
0 x,
U y resteconstante,
cequi
ne donnequ’un
seuil 8 T0, completé,
par les
paraboloïdes
Mais cetteéquation
est satisfaite par unautre formée de deux familles de cônes du second
degré
de sommet0 et des
sphères de
centre 0(7).
Cesexemples
fontévoquer
divers thèmesannexes, et en
particulier,
le calcul donnantl’équation (2)
pour un 8 T 0 formé d’une famille de surfacesparalleles
et des deux familles de normaliesdéveloppables qui
leur sont communes. Pour déterminer un_tel S T 0 ,
ilsuffit de se donner une surface 8 de la
première
famille : on la définiracomme
enveloppe
d’unplan
d’où,
pourS,
lareprésentation paramétrique
Avec ces
notations,
leséquations
(Tune normaleprennent
la forme(7) Gazeta Matematica, Lisbonne,
1950,
n. 43.Le
système (11) permet
dedéterminer, en chaque point (x ~ y, x~ , les
valeurs soit encore les
directions
des diverses normalespassant
en ce
point.
Pour l’une d’entreelles,
on déduit lestangentes principales
correspondantes
del’équation
’où l’on
égale x ,
y ,z à
leurs valeurs(10).
Sans détailler lecalcul,
on voitqu’en
donnant à(2bis)
la formeet tenant
compte
deon sera ainsi
conduit, après
transformation de(12)
en uneéquation quadra- tique en $ , q
et identification avec(13), à
évaluer les fonctionsA, B figu-
,
rant au
premier
membre’ de(2)
pourchaque couple (u , v)
déterminant unpoint
de fi. Une fois ces fonctions connues sueS,
on les ètendra à tous lespoints x, y, z
liés,à u , v
par leséquations (11). Malgré
sasèmplicité géometrique,
ce cas conduit à des calculs assezpénibles.
Onpourrait
acheverassez facilement
lorsque 8
est unequadrique
de centre0 ,
y parexemple.
Bien que
l’éq nation (6)
où l’on choisit de mamèrequ’elle
admette cettequadrique
pour solution admette en mêmetemps
pour solutions les surfa-ces
qui
lui sontparallèles, l’equation
obtenue sera distincte de(6),
du faitqu’il
passe,par chaque point
six normales à laquadrique.
Dès
lors, l’éqàation
chérche associe àchaque
M six cônes du seconddegré distincts,
dont chacun estsupport
de normales en M .A
plus
forteraison,
la formation deInéquation (2)
secomplique-t-elle
sil’ôn
prend
les 8 T 0 étudiés par DARBOUX au ch. III de sesLeçons
surles
systèmes orthogonaux (2e
ed.1910),
et dont une des fa,milles s’obtient enpassant
de chacune de ses surfaces soit S(u) à
une autre S(u +
du),
infl-niment
voisine,
par unparallélisme
infinitésimaleûectuéy
nonplus
par re- cours à des normalesrectilignes
selon les conditionsordinaires,
mais auxcercles
ayant
rôle degéodésiques
normales et obtenus en mettantl’espace
y ,
z)
sons l’influence d’unemétrique
deLOBATCHEPSKY,
pourlaqueÎle
la
sphére jouant
le rôle d’absolupeut
vitrier d’une manière continue avecle
paramètre
M-.5. - Au lieu de
m’y arrêter, je préfère
dire comment la voieprécé-
dente
rejoiut
le genre dequestions signalées
aun°
1.Reprenons
àtitre
auxiliaire un
système
dequadriques homofocales,
non réduites à des cônesou à des
cylindres.
Engénéral,
etici,
sauf unpetit
nombre d’entreelles,
ces surfaces n’ont pas
(contrairement
à cequi
seproduit
pour un S T 0contenant une famille de surfaces
parallèles)
d’arêtes derebroussement,
eten
particulier,
pas delignes d’arrêt ;
et nonplus,
depoints coniques.
Surtoute leur
étendue,
cessurfaces,
àpart
les trois d’entre ellesréduites
à unerégion plane
bordèe par uneconique,
sont donc vis-à-vis de(2)
ou de(3),
- des intégrales paratingentes
sans coupure.Avant de
préciser
la définition de ce derniérterme,
tirons des consé- quences dela
remarque ci-dessus. A cette’fin,
notons que si l’on donneune
équation f ~x ,
y , x , p ,q)
-0 ,
parexemple (2)
ou(3),
lesintégrales pri-
vées d’arète de rebroussement sont assez raréfiées. Pour
prèciser,
supposonsque/==0
ait uneintégrale complète g (x , y , x , 2c , v) = 0 .
Peut- on choisirii==99(Ù)
de manière que, surl’enveloppe
des surfacesles
caractéristiques,
ou bien n’aient pasd’enveloppe,
ou bien aient un con- tact d’ordre 2 avecl’enveloppe;
cequi
exclut l’arête derebroussement ;
en
pareille
occurrence, laquantité
doit, moyenllaut
choix de 99(u),
ou biens’annulèr
pour toutsystème
u , y , z , u , ytoutes dérivées de y par
rapport
à u étant nulles de cefait ;
$ ou bien s’an- nuler ainsi que yu et yu~+ . Le second casenglobe
donc lepremier.
De toutesmanières,
et bien que les conditionsexprimées,
etqui
sontnécessaires,
ne. soient pas
toujours suffisantes,
de tels choixde 99 (u)
ne seront réalisablesqu’à
titreexceptionnel.
Eudehors, d’eux,
on a une surfaceintégrale Sep
avecarête de
rebro.ussement,
courbequi
est uneintégrale
de17équation
de MONGEassociée à
f -
0 . ..Ainsi,
avantde rechercher,
àpartir
de(2)
ou(3),
une famille deLAMÉ,
il s’eff-ectue
donc, d’après
cequi précède,
unfiltrage préliminaire, pouvant,
faciliter
l’enquête
ultérieure.Toutefois,
ces considérations ont un inconve- nient : celui de supposer connue uneiutégrale complète
de(2)
ou de(3),
cequi,
engénéral,
n’aura pas lieu.6. - C-est
pourquoi
il estindiqué
de recourir à la notiond’intégrale paratingente
d’uneéquation f (x,
y,z, p,q)
= 0 . Pour yparvenir,
on défi-nit
d’abord,
en unpoint
A non isolé d’un ensemblefermé 03A6,
ce quej’ai appelé
uneparatingentes
de 0(notion
rencontrée aussi’par.’ M.
F.SEYERI, lorsq’il a
considéré les cordesimpropres
d’une courbealgébrique).
Une droite1
A T est une
paratingente
de 4Y en A si elle est limite d’une suite infinie de droites dont chacuneporte
unsegment Pi Qi
dont les deuxextrémités Pi
etQi appartiennent à 4Y ,
ces extrémités étant deplus
astreintes à la condition de tendre vers A. La collection de toutes lesparatingentes
en Aforme,
par
définition,
leparatingent
de 03A6 en A . Dans lagerbe
des droites issues deA,
c’est un fermé. Soncomplémentaire
est un ouvert(quand
il n’estpas
vide):
il est constitué par lesnon-paratingentes.
Dèsqu’il
existe unenon-paratingente
enA,
elle est doncplongée
dans unpinceau
de non-pa-ratingentes
en A . D’uneproprieté
facile à ètablir etqui
est la semi-conti- nuitésupérieure
duparatingent, regardê
comme une fonction de sonorigine , A ,
il découle que l’existence denon-paratingentes à 4Y ,
si elle est réaliséepour
A,
se transmet sur 4Y à un certainvoisinage
de cepoint.
Onpeut
même choisir cevoisinage
de A sur 0 de manièrequ’une
même direchon d ait rôle denon-paratingente
aux diverspoints
de ce sous-ensemble. Il en résultealors,
dansl’espace
à trois dimensions parexemple,
une corres-pondance biunivoque
entre ce nouveauvoisinage
et saprojection
faiteparal-
lèlement à LI sur un
plan
sécant à 4(lemme d’univocité).
Grâce à cettepropriété,
sedégage
la notion de surface admettant enchaque point
unenon-paratingente
aumoins,
avec lapossibilité
dereprésenter
une telle sur-face,
autour dechaque point,
par uneéquation z
- g(x , y),
l’axe des zayant
la direction d’unenon-paratingente
dans tout levoisinage
ainsi re-présenté,
surlequel
lafonction g est,
enoutre,
àpentes
bornées. Celaposé,
on dira
dans le cas où sont réalisées les conditions suivantes :
a)
Leparatingent
de la surface z = g(x ~ y)
estformé,
en chacun deses
points,
par toutes le directions d’unplan ;
celui-cijouera
le rôle deplan tangent (à
définitionprécisée)
et seraréparti
d’une manièrecontinue,
commeil résulte de la semi-continuité
supérieure
duparatingent.
b)
La normale en unpoint ,courant M
à z = g(ce , y)
sera située surle cône des normales en M pour
l’equation
y ?q)
= 0 .Cette définition ne se
distingue
de celled’integrale (G’) (ou :
au sensde
CAUCHY)
que par le faitd’y
substituer auplan tangent, pris
au sensvulgaire,
unplan tangent
introduit par une définitionprècisée.
Or cettenuance a des
répercussions profondes,
car en cheminant sur une courbeportée
par uneintégrale (C),
onpeut
y rencontrer et y franchir des arêtes derebroussement,
cequi,
sur uneintégrale paratingente,
n’àplus
lie a : unetelle
intégrale
est en effet contrainte àprésenter
deslignes d’arrêt, qui
rsont
justement
les courbesqui
auraient rôle d’arêtes de rebroussement surl’intégrale (C)
dontl’integrale paratingente
n’estqu’une portion.
Aussibien,
doit-on
supprimer
unpetit voisinage
dechaque point conique,
en vue d’ob-tenir une
intégrale paratingente.
7. - Ces remarques
permettent d’analyser
le mécanisme de laproduc-
tion des arêtes de rebroussement sur une
intégrale (C)
d’uneJe vais d’abord
montrer,
sur unexemple,
que de tellessingularités peuvent ,
B être très resserrées sur uneintégrale (C).
Dans cebut, partons
del’équation
de PFAFF
qui,
y dans lechamp réel, peut
s’écrire sous forme d’uneéquation
aux déri-vées
partielles
,Soit maintenant la famille
d’équations
où intervient le
paramètre
e, yqui
dans lasuite,
teudra vers zéro. Les inté-grales
de cetteéquation passant
par l’axe des x sont descylindres
dontles sections x = const. sont déterminées par
l’équation
différentielleLes droites
y = ± E portent (les
rebroussements de cescourbes,
faciles àconstruire
d’après (es)
et cela confirme lecomportement annoncé.
Plusgénéralement~
soit uneéquation
de PFAFF .pour
laquelle
laquantité
V.rotY
n’est pas nulle. Soitune famille
d’équations ayant
cettepropriété : quand
e tend verszéro,
lecône des
normales, supposé
convexe et contenantV
à son intérieur devient, de
plus
enplus effilé, l’angle aigu
maximum d’unegéneratrice
avec Vtendant vers zéro. Pour
qu’une
courbe 0393 livre passage, pour 8 arbitrairementpetit,
à desintégrales
réelles def = 0 ~
y il faut queY
soitpartout
normalà
F, laquelle
sera donc uneintégrale
de Celaposé,
l’absence ,de
quelque
morceau de surfacequi,
pour1~. dl~ = 0
serait uneintégrale
pa-ratingente (c’est-à-dire,
dont leparatingent, partout plan,
serait normal àY)
ne seproduit
pas seulement pour E =0 ,
ylorsqu’on
essaie de réalisercette
iutégrale
sous forme d’une surface transverse auxlignes intégrales
du
champ V, bflayant
l’intérieur d’unpetit
tube donné dontla nparoi
estaussi un lieu de telles
lignes ;
enappelant
ces dernièresles Â.,
1les trajectoires orthogonales
des À sur laparoi
ne se fermentpas,
et cela seproduit
encoresi l’on
remplace l’orthogonalité rigoureuse
par uneorthogonalité suffisam-
ment
approchée.
On n’aura donc ponr
intégrales paratingentes
lorsque
a tend vers zéro que des rnba11s /deplus
enplas étroits,
et donnantlieu, domine configuratious limites,
à des courbesintégrales
deCet
exemple typique
montre bien le rôle devolu auxintégrales paratingen-
’tes
dans l’économie deséquations
aux dérivéespartielles
dupremier
ordre.8. ~ Revenons maintenant à la recherche dont
l’opportunité
a étéreconnue à la fin du n°
5,
en vue d’obtenir des STOprivés
de certainessingularités.
Ces STO sont à construire au moyend’iutégrales
communes àune
équation (2)
et à uneéquation (3),
dont estgarantie
lacompatibilité;
une étude
complète
duproblème
doit doncpartir
d’unesolution
dusystème
en
A ,
H et ducouple (2), (3) correspondant. Toutefois,
et c’est à cetobjet
queje
me borneraiici,
cette étude bénéficiera des informations obte-nues sur les
intégrales paratingentes
d’uneéquation
dutype (2), prise isolément,
en cherchant àséparer
l’ensemble de tellesintégrales. Essayons
de faire les
premiers
pas dans la voie de cefiltrage. L’équation (2)
résultede l’élimination de co entre les suivantes
On est donc ramené à choisir une Q)
(x ,
y ,z)
telle quel’équation
de PFAFFsoit
complètement intégrable. Or,
soit engénéral
uneéquation
à
laquelle
onpuisse
substituer unsystèine
de la formece
qui conduit à
un nouveauproblème
dansl’espace (x , y , z , w) ~
avec re-tour
possible
auproblème
initial parprojection
sur la variété cu - 0. Ils’agira
deprendre
unevariété
-
laquelle
soit une solution del’équation
.
linéaire par
rapport
aux trois dérivéespremières
de 0153 y et où les indicesinférieurs opposés
auxa , P, indiquent
des dérivéespartielles portant
surcelles-ci. Cette variété à trois dimensions
ayant
étéfixée,
il faudraprélever
sur elle des surfaces (j satisfaisant à
l’équation,
rendue ainsiintégrable
et
prendre
les surfaces (O, déduites de ces a parprojection
sur w = 0. Ace
tournant,
il faut noterqn’en
toutpoint
d’uneintégrale quelconque
code f = 0 ~
les deuxéquations
de(s)
ont une solution commune en w. C’elaintroduit,
dansl’espace (Q)
dupoint (x ,
y , x ,w)
une surface 0 déduite de(0 en
associant à
unpoint
couraùt de cette dernière unequatrième
coor-donnée à
laquelle
onassigne
laprécédente
valeur w . Enchaque point
decette surface a ,
laquelle
seprojette
sur la variété co-0 suivant (O, il passe unecaractéristique
de(l), projetée
sur w = 0 suivant une caractéri-stique, portée
par de notreéquation initiale 99
= 0.D’ailleurs,
a livrepassage à
un ensembled’hypersurfaces h qui
sont desintégrales paratin-
Jgentes
de(Â); l’importance
de cet ensemblepeut
s’estimercomparativement
en réduisant de 1 le
nombre
des dimensions etprenant
lesintégrales
pa-ratingentes
d’uneéquation
linéaire en p, qpassant par
unecaractéristique
isolée de cette dernière
équation.
Vis-a-vis de(1),
bien que ’0 ne soit pasune
hypersurface,
et ainsi n’ait pas le nombre de dimensions ordinairementrequis
d’uneintégrale,
onpeut
dire que cette ajone
encore le rôle d’uneintégrale paratingente
enadaptant
à ce cas la notiond’intégrale
au sens de.Lie,
et notant que leparatingent
de 0 enchaque point
est formé avec lesdiverses
directions d’unplan qui
contienttoujours,
en cepoint,
le vecteurde
l’espace (il)
déterminant(Â).
, , ’Voici
mâintenant
lepoint
essentiel :Les
intégrales paratingentes
del’équation
s’obtiennent enprojetant
sur (0 =0,
lesintégrales paratingentes
de(~) formées
par des variétés bidimensionnelles del’espace (Q),
obtenues par le processusindiqué ci-d essus,
et en
out1’e, dépourvues
detangentes parallèles
à l’axe B des 00.De telles
tangentes interviendraient justenent,
si définissant les inté-grales de 99
= 0 au sens deCAUCHY,
onprenait
une telleintégrale
offrantdes arêtes de rebroussement,
’
En
définitive,
l’énoncé obtenu à l’instant fournit donc une conditionnécessaire, qui à partir
de(Â), permettra d’accomplir l’operation
defiltrage annoncée,
pouraboutir à
desintégrales paratingentes de (p
_ (I . Naturelle-ment,
dans le casprésent, l’application simultanée.
de cette mèthode à(2)
et
(3)
donnera unfiltrage plus complet.
Je tiens à
souligner qu’on
reste ainsi au seuil d’une terrain difficile d’accès. On ne le rendraitproductif qu’en
trouvant des classesparticulières
de
systèmes (2), (3)
pourlesquels
la condition nécessaire ci-dessus donnerait lieu à desapplications
substantielles.9. - Autre remarque. Une
équation
dutype (2)
est fixée en se donnantune fonction de
point U (M)
solution de(2 bis)
et enchaque point
d’unesurface
U= const.,
uncouple
detangentes rectangulaires
astreintes à setrouver sur le cône des normales en 1~1. En choisissant
pour U
une fonctionayant,
sanspliis,
des dérivespremières ,continues,
et en assurant la conti- nuité des deuxtangentes
en~~1,
on a uneéquation
dutype (2) à
coefficients continus sansplus. Le choix
de U pourra se faire encomplétant
les con-ditions qui précèdent
par la suivante : c’est que les surfacesU = const.,
aient en
chaque point,
au moins dans unerégion R,
leurparatingent plan,
et soient ainsi des
intégrales paratingentes
de(2)
dans R. Le fait que les coefficients de(2)
soient continus sansplus
rend alorsplausible
uneraréfaction assez
poussée
desintégrales paratingentes
de(2)
et l’onpressent
des cas, oùseules,
les surfacesU=const.,
auraient ce caractère.En
particulier,
pour uneéquation (2) provenant
d’un STOqui
en livretrois familles
d’intégrales paratingentes
avec le moinspossible
d’attributs dedérivabilité,
il y a lieud’approfondir
leproblème.
Les directions destangentes principales
sont alorsréparties d’aprés
une loicontinue,
mais nondérivable,
cequi
se transmet aux coefficients de(2).
D’où le thème d’une étudedélicate,
à mener en liaison avec des travaux récents deG.
LLENSA (8)
et J.COLMEZ (9).
10. - En terminant
je
remercie le Professeur S.CHERUBINO,
directeurde l’Institut Léonida Touelli de m’avoir
encouragé
à faireconnaître,
auxréunsions de Pise du 26
septembre 1953,
ces vues quesoulignent,
sansplus,
des relations entreproblèmes. L’exposé plus
détailléqui j’en présente
ici cherche à favorier des recherches ultérieures. En
consacrant,
voiciquel-
ques années
(1°)
un court travail ausujet
que résume ci-dessus le n°8, je
(8) G. LLENSA, C. R. Ac. Sc.. t.
220,
1945, p. 297, et t. 222, 1946, p. 845.(9) J.
COLMEZ,
Ann. Ec. N. Snp. 3, t. XLV, 1848, p. 71-99.j’°)
(~,B.,
Ann, Soc, Polon, Math. t.XX,
1947 (à 14 memoire de St, Zaremba),n’avais pas en l’occ~asion de
produire,
faute deposséder
la liaisonexplicitée
au 110
2,
e cesaspects
en devenir relatifs à unethéorie,
enstyle junktion theoretisch,
des queje signale
ici.1 D’autres voies vers un telobjectif pourront
êtreproposées
et s’affirinerplus
fécondes. De tontesmanières,
laliaison sur
laquelle j’ai
insistésuggère
desproblèmes
d’un genreplus
clas-sique,
et parexemple,
au bénéfice de la notiond’intégrale complète,
larecherche des
équations (2), qui
àl’exemple
de(6)
et(7),
conviennent àune famille continue à un
paramètre
D’autres voies s’ouvrent en
partageant
leséquations (2),
selon diversprincipes,
en classesd’équivalence,
parexemple,
en associant cellesprovenant
d’uu même
auquel
on attribue toutes lespositions possibles
parrapport
aux axes, ou encore en associant cellesprovenaut
d’un et deceux