Sur une classe particulière d'équations aux dérivées partielles dont les invariants sont égaux

(1)

A NNALES SCIENTIFIQUES DE L ’É.N.S.

C. G

UICHARD

Sur une classe particulière d’équations aux dérivées partielles dont les invariants sont égaux

Annales scientifiques de l’É.N.S. 3^e série, tome 7 (1890), p. 19-22

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(2)

SUR UNE

CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS

AUX DÉRIVÉES PARTIELLES,

D O N T LES I N V A R I A N T S¹ S O N T É G A U X ,

PAR M. G. GUICHARD,

C H A R G É D ' U N C O U K S A L A F A C U L T E DE CUS H M O N T - FEÏUU N I ) .

Les équations qui sont étudiées dans cette Note sont

/ ^ ^P

( 0 —— ==p,3ino, àuûv • •

dans lesquelles ç est une solution quelconque de l'équation

, , ^o

( 9- ) , -——— •+• CÔS © = 0.

àudv T

Si l'on differentie l'équation (a), soit par rapport à a, soit par rap-

port à P, on voit immédiatement que -^ et -,° sont des solutions parti-

culières de l'équation (ï). Je vais démontrer de plus qu'étant donnée

une solution de l'équation (ï), on peut, en général, et en effectuant

seulement des quadratures, en déduire une inimité d'autres.

(3)

^20 C. GUICHARO.

Soit, en effet, p une des solutions d e ( r ) . Posons

(3)

ai _ àp à<f au ~" au àu^

— == pcoso.àt àv i

Les deux équations (5) sont compatibles, car elles d o n n e n t toutes deux, en tenant compte des relations (i) et (2),

à^ . <)c? . au

—-— •=: •— p sin © -J- -h cos cp "•,1- ;

^//</F • • ' au T <}//?

elles permettent de déterminer \ par une q u a d r a t u r e . Cela posé, j t » dis que

( f \ <^P ". à^

( 4 ) /• •— — _L »{- A _1.

\ i / ' "—- i t> ' " ^

^^2 OU,

est une solution de l'équation (ï). En effet,

àr à . <}cp ()), , ()ï^

— •=- — — (p sin 9) -h" —^ — -h A -—-

^ ^^

^•^T <^/ ()^ ( ) ( { ( ) ^

^ ""

sin ?

^ ~

p cos ç

^ "^P

c0

^ Sil ~

À cos c/

<)o , g i n © -i- — A coso' /)// i

et

à1 r . <Pû ÔQ ()rj ()\ , ()^

^ ^ smy ^ - cosç ^ ^ ^ cos ^ ^ 4- /. sh^ ^; ::::.: .sin 9.

Il est aussi évident maintenant que, si l'on pose

(3Q

— •=: p c o s o ,àO r^/ 1 '

^ _ ^ ^? ^p e)^1 '"1""" ^^ î??

(4)

SUR UNE CLASSE PARTICULIÈRE D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. 21

et

«•> —^n-

.y est encore une solution de l'équation (i).

Appliquons m a i n t e n a n t la transformation (4') à la s o l u t i o n r. On

;i ura pour déterminer 6

àô ( ^p . à^\ à [ à:. ., . 1

^ _- - l 4. }, __ C O S O : = : — - - " C O S Q •—— -h A SU» ^ ,

au \ àu^ a u } ' on \ ' ^^ t |

()Q r • ^° i 1^? • ^

ÔQ r • ^

⁰

-. 1^9 ' ^ ^p ". • '

— ^ s i n o — -h Àcoscp — --= — — cosc? — -l- / si il o ; à^ | ' ^/,z - J û^ ôv ' ou ' -,— == sm o — -h Àcoscp — -~= —

^(? | ' au • ] û^ ôv

(l'Olî

f] — _ r" n <.; en _L.

0 =. — cosç "r1 +• À s i n œ 4- K , ' au '

K étant une constante.

On aura ensuite

(Fr . (Y1? ()û ÔQ . ()^ ()^

—— :=: sin 9 -—— + coscp -,L y'- — À sm y — + — ces o

^t'2 • <^<^t' T au à^ T r}r à^

<)o (}^ . . ()Q ---== p -{- ces 9 — — — À s'in 9 — »

et alors

à1 r . ào -, à(D^ Q r ^ p ^ g ^ r .

^t5 2 <}(' • ^t5

En faisant abstraction du ternie K ^ on p e u t dire q u e les transfor- mations (4-) et (/t.') sont inverses l'une de l'autre. L'application répétée

;les transformations (4) ou des transformations (4Q donnera, en gé~

ue

néral, u n e infinité de solutions nouvelles.

Si l'on prend

p = —(?)çT,

• (h'

(5)

22 C. GUICIIA.IU). — SUR UNE CLASSE PARTÎClîLÏ^riE I) KQUATIONS, ET(Î.

on trouverci aussi

^ yJû)

la métiiode ne donne rien de nouveau. Au contraire, la valeur de s est une nouvelle solution.