PanaMaths Mars 2002
Résoudre :
4 3 7 ( )
2 8
3 4 1
S
x z
x z
x y z
⎧⎪⎪
⎨⎪
⎪⎩
+ =
+ =
+ + =
Analyse
Le système proposé est en fait constitué d’un sous-système de deux équations à deux inconnues (les deux premières lignes avec les inconnues x et z) et d’une troisième équation (troisième ligne) permettant d’exprimer l’inconnue y en fonction des deux premières. On commence donc par résoudre le sous-système.
Résolution
Nous commençons donc par résoudre le système (S’) suivant :
( ) ( )
124 3 7 L
L
2 8
x z
x z
+ =
⎧⎨ + =
⎩
On peut, par exemple, éliminer l’inconnue x en considérant l’opération suivante sur les lignes :
( ) ( )
L1 −4 L2 . On obtient ainsi :3z− ×4 2z= − × ⇔ −7 4 8 5z= − ⇔ =25 z 5
L’équation correspondant à la ligne
( )
L2 de (S’) nous permet alors d’obtenir l’inconnue x :2 8 2 5 8 2
x+ z= ⇔ + × = ⇔x x= −
On peut maintenant considérer la troisième ligne du système initial (S) pour calculer y :
( )
13 4 1 4 3 2 5 1 4 2
x+ y+ = ⇔z y+ × − + = ⇔ y= ⇔ y= 2
L’unique solution du système (S) est donc le triplet : 1 2, , 5
2
⎛− ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠.
PanaMaths Mars 2002
Résultat final
L’unique solution du système (S) est le triplet : 1 2, , 5
2
⎛− ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠.
